 |
КЕЙС «Решение задач теории вероятностей с применением формул полной вероятности, Байеса, условной вероятности»
|
|
|
|
1.Тема: «Практическое применение теории вероятности в различных сферах жизни людей»
2. Цели занятия:
Уметь: устанавливать события вероятности и применять вероятностные законы к прогнозированию событий.
Перед началом выполнения кейса необходимо знать: определение события, относительной частоты события,вероятности невозможного события,вероятности достоверного события, предела нахождения вероятности, равновероятностных событий,формул условной вероятности, Байеса, полной вероятности.
3. Режим работы.
| № | Этапы работы | Время на этап |
| 1. 2. 3. 4. 5. 6. | Представление кейса. Решение заданий тестового типа.. Индивидуальное изучение кейса каждым учеником. Разработка вариантов групповых решений. Релаксация. Защита вариантов индивидуальных решений в каждой группе. Подведение итогов. | 2 мин 5 мин 5 мин. 15 мин 1 мин 15 мин 2 мин |
Информационная карта кейса
1. В данном кейсе нельзя писать решения!
За консультацией можно обращаться только к преподавателю или к эксперту-консультанту.
Внимательно рассмотрите решение задачи, представленной в справке.
Изучите, предложенную Вам, исследовательскую работу.
Следите за временем, отведенным на каждый этап работы.
Выполните поиск решения задачи,опираясь на сведения справочного материала,
Схема оформления мини-проекта в презентации
Слайд.
Тема_________________
Проблема_____________
Объект исследования________________
Слайд.
Цель, задачи________________
Слайд.
Рабочая гипотеза__________________
Слайды.
Результаты исследований_______________________
Слайды.
Сделайте вывод следующего содержания:
- что нового удалось узнать из сегодняшнего урока;
|
|
|
- что сделано за сегодняшний урок;
- что из этого является результатом, о котором можно написать в тексте своего отчета;
- что не понятно, какие проблемы возникли;
- какие есть идеи их решения, включая возможность изменения постановки всей задачи или её частей;
Слайд.
план работ на следующий период (например, две недели).
Вариант
Тема исследовательской работы «Спортивные ставки и теория вероятностей»
Ход работы
Справка
Формула полной вероятности
Формула Байеса
Формула условной вероятности
1.4 Разбор решения практической задачи по теме варианта
Выполнение теста
Самостоятельная работа
- Справка
1.1 Формула полной вероятности
Допустим, что проводится опыт, об условиях которого можно заранее сделать взаимо исключающие друг друга предположения (гипотезы):
Мы предполагаем, что имеет место либо гипотеза 
, либо 
… либо 
. Вероятности этих гипотез известны и равны:
Тогда имеет место формула полной вероятности:
Вероятность наступления события А равна сумме произведений вероятности наступления А при каждой гипотезе на вероятность этой гипотезы.
1.2 Формула Байеса
Она позволяет пересчитывать вероятность гипотез в свете новой информации, которую дал результат А. Формула Байеса в известном смысле является обратной к формуле полной вероятности.
1.3 Условная вероятность
У словной вероятностью 
(два обозначения) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.
Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е.
В частности, отсюда получаем:
1.4 Рассмотрим следующую практическую задачу
Возьмем любой матч из любого европейского чемпионата из футбола. Например, матч Ньюкасла против ЛестеравПремьер Лиге. Для этого введем ряд понятий и обозначений:
|
|
|
А – состоялся матч (событие);
Н1 – гипотеза, что победит домашняя (первая - 1) команда;
Н2 – гипотеза, что победит гостевая (вторая - 2) команда;
Н3 – гипотеза, что будет ничья между данными командами;
Р(Н1)=Р(Н2)=Р(Н3)=1/3, то есть это одинаковая вероятность событий (победа 1, победа 2, ничья);
РН1(А) – так называемая статистическая вероятность, то есть это отношения количества выигранных дома матчей первой команды к общему количеству матчей;
РН2(А) - отношение количества выигранных на выезде матчей второй команды к общему количеству матчей;
РН3(А) – суммарная статистическая вероятность,
то есть (ничьи 1 + ничьи 2) / общее количество матчей одной из команд.
Р(А) – полная вероятность наступления события (см. выше в формуле - множитель);
Наша цель – определить или оценить (для игроков спрогнозировать), например, победу первой команды (Ньюкасл) или найти Ра(Н1). Для этого, воспользовавшись статистической информацией (в данном примере - за предшествующий сезон; желательно - наибольшее число сезонов), найдем РН1(А), РН2(А), РН3(А):
РН1(А) =11 побед (дома) / 21 (общее количество матчей, проведенных дома);
РН2(А) =5 побед (на выезде) / 21 (общее количество матчей, проведенных на выезде);
РН3(А) =5 ничей (Ньюкасл) + 2 ничьи (Лестер) / 21.
Соответственно:
РН1(А)=0,52381;
РН2(А)=0,238095;
РН3(А)=0,(3).
Потом найдем Р(А):
Р(А) =Р(Н1)*РН1(А)+ Р(Н2)*РН2(А)+ Р(Н3)*РН3(А)
Р(А) =0,365079
Теперь можем найти Ра(Н1):
Ра(Н1) =Р(Н1)*РН1(А) / Р(А)
Ра(Н1) =0,478261 (или приблизительно 48%)
Аналогично найдем Ра(Н2) и Ра(Н3): Ра(Н2) =22% и Ра(Н3)=30%
Итак, 48% того, что Ньюкасл победит Лестер
22% - Лестер победит Ньюкасл
30% - будет ничья
Следует сказать, что точность такого прогнозирования составляет приблизительно 65%-70%. То есть, шансы оцениваются как 7 до 10, что есть довольно неплохо. Стопроцентного прогноза данный способ не может дать (как и любой другой), но, сопоставив свой собственный опыт, здравый смысл и данный метод, можно получить незаурядные результаты в игре. Не забывайте, что сама рассчитанная вероятность ничего не даст, если не сравнивать ее с коэффициентами конторы.
Выполнение теста.
Самостоятельная работа
|
|
|
Задача № 4.
Задание. Попробуйте спрогнозировать результат матча Спартак-ЦСКА, который состоится 21 ноября 2013 года.
Турнирная таблица 1 (дома, на выезде)
| # | Спартак М | И | В | Н | П | ГЗ | ГП | Очки | Форма |
| 4 | Общий | 12 | 7 | 3 | 2 | 22 | 13 | 24 | |
| Дома | 5 | 3 | 2 | 0 | 8 | 3 | 11 | ||
| В гостях | 7 | 4 | 1 | 2 | 14 | 10 | 13 |
Турнирная таблица 2 (дома, на выезде)
| # | ЦСКА | И | В | Н | П | ГЗ | ГП | Очки | Форма |
| 5 | Общий | 13 | 6 | 3 | 4 | 12 | 15 | 21 | |
| Дома | 6 | 4 | 1 | 1 | 6 | 4 | 13 | ||
| В гостях | 7 | 2 | 2 | 3 | 6 | 11 | 8 |
Описание таблиц:
Таблица отображает в первой строке турнирное положение команды в чемпионате:
- содержит информацию о результатах матчей команды в чемпионате (И - количество проведенных матчей, В - выигранных матчей, Н - матчей завершившихся в ничью, П - количество поражений, ГЗ - количество забитых голов, ГП - количество пропущенных голов, Очки - очков набранных командой: "Спартак М");
- вторая строка отображает таблицу выступлений команды "Спартак М" в домашних матчах;
- содержит такие же столбцы, как и таблица турнирного положения в первой строке;
- третья строка отображает выступление команды "Спартак М" в гостевых матчах.
Вариант
|
|
|
