Определение зависимости вязкости газа от температуры

Цель работы: установить зависимость коэффициента вязкости газа

от температуры; оценить точность эксперимента.

Теоретический материал: Столкновение молекул. Средняя скорость, средняя частота столкновений, средняя длина свободного пробега, поперечные газокинетические сечения. Процессы переноса в газах. Физическая сущность процессов переноса – диффузии, теплопроводности и внутреннего трения. Стационарные и нестационарные процессы и их уравнения. Элементарная теория явлений переноса. Выражение коэффициентов диффузии, теплопроводности и вязкости через величины, характеризующие молекулярное движение. Связь между коэффициентами. Измерение коэффициента вязкости. Физические явления в ультраразреженных газах. Трение при малых давлениях. Течение в тонких трубах. Формула Пуазейля.

 

Механизм молекулярного перемешивания в газах приводит к выравниванию в пространстве неоднородности какой-либо физической характеристики φ.

В однородной, по концентрации молекул, системе может оказаться неравномерно (например по оси х) распределенным импульс молекул. В этом случае с течением времени будет наблюдаться процесс перераспределения импульса, стремящийся выравнять его значение в среднем по всему объему.

Свойство системы выравнивать возникающие неоднородности распределения импульса молекул называется вязкостью.

Возникающий при этом поток импульса І_р в соответствии с общим уравнением переносом определяется выражением

Здесь n₀ – средняя числовая концентрация молекул, – средняя скорость молекул, - длина свободного пробега молекул, mu – импульс молекулы.

Коэффициент, стоящий в этом выражении перед градиентом величины скорости, принято называть динамической вязкостью

здесь ρ = n₀m – плотность газа.

Кроме динамической вязкости для описания свойств газа (жидкостей) используют также кинематическую вязкость ν, определяемую как отношение динамической вязкости к плотности среды

Заметим, что для газов кинематическая вязкость совпадает с выражением для коэффициента диффузии

Проще всего свойство вязкости проявляется при ламинарном течении двух слоев газа, перемещающихся в пространстве с различными скоростями V₁ и V₂. Пусть для определенности V₁>V₂, препад скоростей происходит на толщине Δх, а площадь поверхности раздела слоев S.

В результате обмена молекулами между слоями импульс быстродвижущегося слоя уменьшается, а более медленного увеличивается, то есть происходит торможение быстрого слоя и ускорение медленного.

В соответствии со вторым законом Ньютона скорость изменения импульса определяется силой, действующей на систему . В данном случае – это сила трения, действующая между слоями жидкости. Ее величина определяется вязкостью газа. Действительно, по определению поток импульса можно записать:

и так как , то .

С другой стороны, для достаточно близких слоев (Δх → dx) поток импульса с точки зрения молекулярно-кинетической теории строения вещества выражается через коеффициент переноса

,

где под dV надо понимать перепад в скоростях движения газа, происходящего на толщине dx. С учетом последнего соотношения получаем выражение

,

представляющее формулировку закона Ньютона для вязких газов (жидкостей).

 

Для экспериментального определения вязкости газа используется методика продувки газа через капилляр длиной l и внутренним сечением S. Схема установки изображена на рис. 1.

Рис. 1

Когда из аспиратора 1 через кран 2 выливается вода, давление в нем понижается и через капилляр 3 засасывается воздух, приходящий через осушительный фильтр 4 с CaCl₂. Вследствие внутреннего трения (вязкости) давление на концах капилляра разное. Их разность Δр измеряется монометром 5. Объем, прошедшего через капилляр воздуха определяется по мерной шкале 6 аспиратора, проградуированной в литрах. Для изучения зависимости вязкости от температуры капилляр 3 помещают в термостат.

В соответствии с этой методикой для определения вязкости газа η используется формула Пуазейля:

(1)

где R – внутренний радиус капилляра, Δр – перепад давлений на концах капилляра, l – его длина, Q – объем прошедшего газа, t – время прохождения объема Q.

Все величины, входящие в формулу Пуазейля, экспериментально измеряемые. Формула справедлива для ламинарного течения несжимаемой жидкости (газа).

 

Рекомендуемый порядок проведения опыта

1. Параметры капилляра, его длина l и радиус R, измерены заранее. Их значения приводятся в паспорте установки вместе с ошибкой измерений.

2. Объем воздуха Q_а,, вошедшего в аспиратор, измеряют по водомерной шкале. Используя его значение, по формуле рассчитывают объем воздуха Q, прошедшего через капилляр. Температуры капилляра Т и окружающего воздуха Т₀ определяют по показаниям термометров и термостата установленного в лаборатории.

3. Время прохождения через капилляр объема Q отсчитывают по секундомеру с точностью до 0,2 с.

4. Перепад давлений Δр рассчитывается по разности столбов жидкости Δh в манометре по формуле Δр = ρ_жgΔh, где ρ_{ж –} плотность жидкости манометра при температуре проведения опыта Т.

5. Налейте воду в аспиратор до уровня несколько превышающего отметку 0 мерной шкалы. Герметично закройте пробкой аспиратор.

6. Откройте кран аспиратора и, когда уровень воды подойдет к отметке 0, включите секундомер. В момент подхода уровня жидкости к отметке 0,5 л выключите секундомер и запишите его показания t

7. Для измерения перепада давлений Δр зафиксируйте показания манометра Δh₁ и Δh₂ в моменты прохождения уровнем жидкости в аспираторе нулевой отметки и отметки 0,5 л. Тогда

8. Повторите измерения t и Δр пять раз, каждый раз доливая воду выше нулевой отметки. По средним значениям t и Δр рассчитайте по формуле (1) коэффициент вязкости η и определите погрешность определения вязкости.

9. Изучите по техническому описанию правила работы с термостатом. Убедитесь в его готовности к работе.

10. Проведите измерения t и Δр и рассчитайте η при температурах 35, 45, 55 С

11. Постройте график зависимости η от T.

12. Вычислите скорость газа при разных температурах

и соответствующие им числа Рейнольдса

сравните с критическим значением R_e = 1100. Сделайте вывод о структуре течения газа через капилляр.

13. С помощью оценки атм проверьте справедливость допущения о несжимаемости жидкости.

14. Рассчитайте коэффициенты диффузии и кинематической вязкости газа

D = ν = η/ρ

15. Определите длину свободного пробега молекул

где в соответствии с распределением Максвелла равно

16. Расчитайте эффективный диаметр d молекул газа по формуле

Контрольные вопросы:

1. Какие процессы в газах объединяются общим понятием "явления переноса"? Что общего во всех этих процессах? Получите общее уравнение переноса. Какие условия налагаются на газ при выводе этого уравнения? Являются ли процессы переноса обратимыми?

2. В чем сущность явления внутреннего трения (вязкости)? Запишите уравнение, определяющее силу внутреннего трения (закон Ньютона). Каков физический смысл коэффициента внутреннего трения? В каких единицах он измеряется? Какая связь между коэффициентами динамической и кинематической вязкости?

3. Получите из общего уравнения переноса уравнение вязкости. Объясните механизм возникновения вязкости в газах. От чего зависит коэффициент динамической вязкости газа?

4. Объясните, как меняется коэффициент вязкости газа при изменении давления, если газ находится:

a) в состоянии, далеком от физического вакуума;

b) в состоянии физического вакуума.

5. Как меняется коэффициент вязкости газа при изменении температуры, если газ находится:

a) в состоянии, далеком от физического вакуума;

b) в состоянии физического вакуума?

Сравните с зависимостью вязкости жидкости от температуры.

6. Запишите связь между коэффициентами вязкости, теплопроводности и диффузии газа.

7. На чем основан метод определения вязкости газа в данной работе? Для какого течения газа справедлив этот метод? Запишите формулу Пуазейля.

8. Какие из величин, входящих в расчетную формулу для коэффициента вязкости, вносят наибольший вклад в ошибку измерений?

 

Литература:

1. Физический практикум под редакцией В.И. Ивtроновой, -М/, Наука, 1967.

2. А.Н. Матвеев. Молекулярная физика. –М., Высшая школа, 1981, § 50-54.

3. А.К. Кикоин, И.К. Кикоин. Молекулярная фнзика. -М., Наука, 1976, §35-37, 48-50, 52.

4. С.Э. Хайкин. Физические основы механики. –М., Физматгиз, 1963, §127.

 

Лабораторная работа №6

Определение отношения удельных теплоёмкостей газов

Цель работы: определить отношение удельных теплоемкостей C_P/C_V для воздуха, уяснить процессы в газах и законы, характеризующие эти процессы, ознакомиться с методом Клемана-Дезорма, оценить точность эксперимента.

Теоретический материал: Равнораспределение кинетической энергии по степеням свободы движения молекул. Внутренняя энергия газа. Теплоемкость газов. Недостатки классической теории теплоемкости. Термодинамическое равновесие. Внешняя работа. Количество теплоты. Первый закон термодинамики. Применение первого закона термодинамики к рассмотрению различных процессов в идеальном газе (изотермическому, изобарическому, изохорическому, адиабатическому и общему случаю политропических процессов).

Основные представления из теории теплоёмкости.

При сообщении системе теплоты ее температура изменяется на dT. Величина

(1)

называется теплоемкостью и, по определению, есть отношение количества теплоты, переданной телу, к повышению температуры, вызванному этой теплотой.

Теплоемкость зависит от массы тела. Теплоемкость единицы массы вещества называют удельной теплоемкостью, а теплоемкость одного моля вещества- молярной теплоемкостью.

Между молярной С и удельной с теплоемкостями имеет место соотношение:

, (2)

где μ - молярная масса.

B тех случаях, когда теплоемкость рассматривается как характеристика вещества, мы будем всегда подразумевать молярную теплоемкость С.

Если известна зависимость теплоемкости от температуры С(Т), то можно, воспользовавшись определением теплоемкости, найти

и (3)

Необходимо помнить. Что теплоемкость, как и работа, является функцией процесса.

В самом деле, так как согласно первому началу термодинамики количество теплоты, полученное системой, зависит от вида процесса, который происходит с системой, то теплоемкость также должна зависеть от вида процесса. Так как различных процессов может быть бесконечно много, то существует и бесконечное количество теплоемкостей. При этом теплоемкость может изменяться от бесконечных отрицательных до бесконечных положительных значений. Из этого следует, что выражение (1) может быть равным любому значению. Для придания теплоемкости (1) определенного значения необходимо указать условия, при которых идет процесс. Эти условия обозначаются в виде индексов у величин, входящих в (1). В физике наиболее важную роль играют две теплоемкости: (при изохорическом процессе) и (при изобарическом процессе). Выделение теплоемкости среди других теплоемкостей связано главным образом с тем, что чаще всего опыты производятся при постоянном атмосферном давлении.

Из определения внутренней энергии следует, что она имеет вполне определенное значение в любом состоянии системы. Это означает, что внутренняя энергия U является функцией состояния, а dU - полным дифференциалом.

Теплоемкость при постоянном объеме.

Предположим, что нагревание тела происходит при постоянном объеме. Тогда молярная теплоемкость при изохорическом процессе определяется как

(4)

При постоянном объеме dV = 0 и, следовательно, уравнение первого закона термодинамики

(5)

принимает вид

Это означает, что при -полный дифференциал. Формула (4) принимает вид:

(6)

Отсюда видно, что функция состояния, что обуславливает важное значение этой величины. В частности, из (6) следует, что при V=const

(7)

Внутренняя энергия идеального газа не зависит от объема или давления, а лишь функцией его температуры. Поэтому формула (7) в случае идеального газа справедлива для любого процесса.

Теплоемкость при постоянном давлении.

При P =const уравнение (5) может быть записано в виде

(8)

Это означает, что - полный дифференциал, а

- функция состояния. (9)

Входящая в (8) функция состояния

(10)

называется энтальпией. Поэтому выражение (9)можно записать в виде:

(11)

Соотношение между теплоемкостями.

Рассматриваемая нами термодинамическая система характеризуется тремя макроскопическими параметрами Р, V, Т. Эти параметры не независимы. Между ними существует соотношение, которое называется уравнением состояния. Для идеального газа уравнением состояния является уравнение Менделеева- Клапейрона:

(12)

Для произвольного случая точный вид зависимости между этими величинами неизвестен. Поэтому можно записать лишь то, что эти величины находятся между собой в функциональных связях, например,

Все зависит от того, какие переменные выбираются за независимые. Если за независимые переменные выбраны V, Т, то внутренняя энергия системы зависит от них, то есть Подставляя выражение для полного дифференциала

(13)

в (5), находим

(14)

Тогда формула (1) для теплоемкости может быть записана в виде:

(15)

где в правой части зависит от характера процесса. Для изохорического процесса (V=const) эта величина равна нулю и формула (15) превращается в (6) для , так как при

Если Р = const, то (15) превращается в выражение теплоемкости при постоянном давлении:

(16)

Следовательно, выражение (14) для dQ может быть представлено в виде

(17)

Соотношения между теплоемкостями идеального газа.

Одним из главных положений, лежащих в основе модели идеального газа, является возможность пренебрежения потенциальной энергии взаимодействия молекул. Поэтому внутренняя энергия идеального газа представляет собой только кинетическую энергию его молекул и, как следствие этого, она зависит только от температуры и не зависит от объема газа. Для идеального газа и Поэтому

(18)

Подставляя (18) в (16), получим

(19)

Полученное соотношение для теплоемкостей и в идеальном газе называется уравнением Майера. Из уравнения (19) следует, что универсальная газовая постоянная R численно равна работе, совершаемой одним молем идеального газа, расширяющимся при постоянном давлении при нагревании его на один кельвин.

Теплоемкость идеального газа.

Термодинамика не позволяет построить теорию теплоемкости вещества. Приближенно теорию теплоемкости удалось создать, исходя из молекулярно- кинетической теории, в которой движение молекул описывается законами классической механики Ньютона. В основе этой теории, получившей название классической, лежит закон равнораспределения энергии по степеням свободы, согласно которому на каждую из степеней свободы частицы идеального газа приходится в среднем кинетическая энергия хаотического движения . Если молекула идеального газа одноатомная, то она имеет три степени свободы поступательного движения. Ее энергия равна . Если же молекула идеального газа сложная, то она обладает большим числом степеней свободы и, следовательно, большей энергией. Энергия сложной частицы складывается из кинетической энергии движения центра масс и кинетических энергии вращения и колебаний. В общем случае, если сложная частица имеет степеней свободы, то ее энергия без учета колебательного движения равна . (На каждую колебательную степень свободы приходится энергия . Но колебательные степени свободы возбуждаются только при достаточно высоких температурах.)

В моле содержится частиц (число Авогадро), и, следовательно, внутренняя энергия моля газа

(20)

Тогда из формул (6) и (19) получаем

(21)

Во многие термодинамические соотношения входят не по отдельности, а отношение

(22)

Величина играет существенную роль при описании адиабатических процессов, поэтому ее часто называют адиабатической постоянной. Значение всегда больше единицы, так как . Из формул (21) можно выразитьчерез число степеней свободы молекулы

(23)

Так как , то выражение можно записать в виде

(24)

Итак, согласно классической теории, величины для данного газа являются константами - они не зависят от состояния газа, в частности, от его температуры, а зависят лишь от того, сколько степеней свободы имеют молекулы данного газа.

Для двухатомного газа с жесткой связью между атомами для многоатомного газа

Вычисленные по приведенным выше формулам значения , а также их соотношение согласуются с экспериментальными значениями, полученными для одноатомных и двухатомных разреженных газов при температуре, близкой к комнатной.

Однако, для некоторых двухатомных газов и для большинства многоатомных наблюдаются заметные расхождения с экспериментом. Лишь в небольшом числе случаев эти расхождения удается объяснить наличием колебательных степеней свободы. Расхождение теории с опытом особенно проявляется в обнаруженной на опыте зависимости теплоемкости газов от температуры (при изменении температуры в достаточно широких пределах), в то время как, согласно теории, такой зависимости вообще не должно быть.

Удовлетворительное объяснение всех опытных данных смогла дать только квантовая теория теплоемкости. По законам квантовой механики энергия вращательного и колебательного движений молекул изменяется лишь определенными порциями - квантами. При этом энергия вращательного и колебательного движений молекул зависит не только от температуры, но и от присущих им значений моментов инерции и частот колебаний. Энергия вращательного движения передается квантами, величина которых мала по сравнению со средней энергией, приходящейся на одну степень свободы движения молекул при комнатной температуре. Поэтому при такой температуре можно пренебречь квантовой природой энергии, связанной с вращением молекул, и пользоваться при расчете теплоемкостей классической теорией. Наоборот, кванты, которыми передается энергия колебательного движения молекул, примерно в 10 раз больше средней энергии, приходящейся на одну степень свободы движения молекул при комнатной температуре. Следовательно, при этой температуре колебательного движения молекул не возникает и при расчете теплоемкости газа можно не учитывать колебательные степени свободы.

Адиабатический процесс. Уравнение Пуассона.

Говорят, что термодинамическая система совершает адиабатический процесс,

если он обратим и если система термически изолирована, так что во время процесса не может происходить теплообмена между системой и окружающей ее средой. Так как процесс теплообмена требует некоторого времени, то адиабатическими приближенно можно считать такие процессы, происходящие достаточно быстро, то есть такие, при которых система не успевает вступить в теплообмен с окружающей средой. Примером этого могут служить процессы сжатия и расширения газа, обусловленные прохождением в нем звуковых волн.

Так как при адиабатическом процессе , то уравнение первого закона термодинамики принимает вид

(25)

то есть, работа, совершаемая системой при адиабатическом процессе, происходит за счет изменения ее внутренней энергии. Учитывая выражения , уравнение (25) можно представить в виде

.

Используя уравнение состояния идеального газа , можно исключить из приведенного выше уравнения и получить

или

Интегрирование дает

Потенцируя получаем

Рис. 1

Учитывая, что , после несложных преобразований находим

(26)

Это уравнение показывает нам количественно, как адиабатическое изменение объема идеального газа влияет на изменение его температуры. Воспользовавшись уравнением состояния идеального газа, можно в уравнение (26) заменить через , и записать его в виде

(27)

Это уравнение адиабаты идеального газа в переменных p и V получило название уравнения Пуассона.

Уравнение (27) следует сравнить с уравнением

(28)

Рис. 1

выражающим изотермический процесс. Сравнивая уравнения адиабаты (27) и изотермы (28), нетрудно прийти к выводу, что тангенс угла наклона адиабаты, изображенной в координатах должен быть в раз больше, чем у изотермы. Действительно, , в то время как по уравнению (28) .

Следовательно, адиабата круче спадает к оси объемов, чем изотерма (рис.1) Объясняют это тем, что в отличии от изотермического процесса, адиабатическое изменение объема газа сопровождается при сжатии повышением температуры, а при расширении понижением. Отметим, что поскольку при адиабатическом процессе , то в соответствии с соотношением (1) теплоемкость при адиабатическом процессе постоянна и равна нулю.

 

Политропический процесс.

Все рассмотренные раннее процессы обладают одной общей особенностью - они происходят при постоянной теплоемкости. Процесс, в котором теплоемкость является постоянной величиной называется политропическим. Изобарический, изохорический, изотермический и адиабатический процессы являются частными случаями политропического процесса.

Уравнение политропы.

Из требования чтобы теплоемкость была постоянной в процессе, в частности, не зависела от ,следует, что первое начало термодинамики должно иметь вид

или . (29)

Из уравнения состояния дифференцированием найдем выражение для

Подставив это выражение в (29) и заменив равным ему выражением получим

Отсюда легко получаем

Разделив переменные и производя простые преобразования, найдем:

Отсюда, интегрируя это уравнение, находим:

обозначим тогда

(30)

Показатель n - показатель политропы. Очевидно, что при и из (30) получается уравнение адиабаты; при - уравнение изотермы; при - уравнение изобары; при -уравнение изохоры.

Определение отношения удельных теплоемкостей газов.

Как было сказано выше, величина отношения для газов играет большую роль при описании адиабатического процесса. В частности, этой величиной определяется скорость распространения звука в газах, от нее зависит течение газов по трубам со звуковыми скоростями и достижение сверхзвуковых скоростей в расширяющихся трубах.

Рис. 2

Принадлежности: баллон с распределительным краном, v образный манометр, насос.

Описание установки.

Схема установки представлена на рис.1. Установка состоит из стеклянного баллона, который может быть соединен с помощью распределительного крана К либо с атмосферой, либо с насосом Н и манометром М, Водяной манометр измеряет разность между давлением в баллоне и атмосферным давлением в мм. вод. ст.

Рис. 2

Для определения отношения теплоемкостей с газом, находящимся в баллоне, проводят последовательность термодинамических процессов.

Пусть первоначально в стеклянном баллоне было атмосферное давление и температура равная температуре окружающего воздуха. Если с помощью насоса накачать в баллон небольшое количество воздуха и закрыть кран, то давление в баллоне повысится, однако, если это повышение было произведено достаточно быстро, манометрический столбик не сразу займет окончательное положение, так как сжатие воздуха было адиабатическим и, следовательно, температура его повысилась. Окончательная разность уровней в манометре устанавливается только тогда, когда температура воздуха внутри баллона сравняется благодаря теплообмену через стенки с температурой окружающего воздуха Обозначим через - давление газа внутри баллона, соответствующее показанию манометра ясно, что

(31)

где - атмосферное давление.

Три параметра характеризуют состояние газа, которое мы назовем первым состоянием газа. Если теперь быстро открыть кран, то воздух в баллоне будет расширятся адиабатически, пока давление его не сделается равным при этом он охладится до температуры это будет вторым состоянием газа. Если сразу после открывания закрыть кран, то давление внутри баллона начнет возрастать вследствие того, что охладившийся при расширении воздух в баллоне станет снова нагреваться. Возрастание давления прекратится, когда температура воздуха в баллоне сравняется с внешней температурой это будет третьим состоянием газа. Обозначим давление воздуха в баллоне в этот момент через и соответствующее показание манометра - через . Тогда

(32)

При адиабатическом расширении из сосуда выходит некоторая масса воздуха. Оставшаяся в сосуде масса воздуха в состоянии 1 имела объем несколько меньший, чем объем сосуда. Дальнейшие расчеты проводятся для массы, оставшейся в сосуде. Переход от состояния 2 к состоянию 3 произошел без изменения объема. Поэтому мы вправе переписать закон Гей-Люсака в форме

(33)

К процессу адиабатического расширения, то есть к переходу из состояния 1 в 2, может быть применен закон Пуассона, который удобно записать в форме

Подставляя сюда значение из уравнения (31) и переставляя члены, получим

или

Так как и величины малые сравнительно с единицей, то, разлагая оба двучлена по биному Ньютона и ограничиваясь членами первого порядка малости, получим , откуда . Но выражение, стоящее в левой части уравнения, есть не что иное, как h₂; действительно, подставив в уравнение (33) значение P₂ из (32) и разрешив его относительно h₂, получим

Следовательно, можно написать , откуда окончательно находим

(34)

Измерения. Кран ставят так, чтобы насос соединялась с баллоном Б. Действуя насосом осторожно, нагнетают воздух в сосуд. Когда разность уровней воды в манометре достигнет 8-10 см, кран поворачивают так, чтобы полость баллона полностью изолировалась от воздуха комнаты. После того, как давление установится, производят первый отсчет разности уровней в манометре .

Поворотом крана устанавливают на пару секунд сообщение полости баллона с атмосферой так, чтобы давление в баллоне стало равным атмосферному. Затем кран вновь поворачивают, изолируя полость баллона, рекомендуется закрывать кран тотчас же после прекращения звука, создаваемого выходящим воздухом. После установления давления в сосуде производят второй отсчет разностей уровней в манометре .

Опыт следует повторить не менее десяти раз, изменяя в каждом случае величину . Для каждой пары значений по формуле (34) определяют величину . За истинное значение принимают среднее арифметическое. По результатам измерений рассчитывают погрешность.

Контрольные вопросы:

1. Что называется теплоемкостью (удельной, молярной)? В каких единицах измеряется теплоемкость?

2. Получите уравнение Майера, связывающее молярные теплоемкости идеального газа при постоянном давлении C_P и постоянном объеме C_V. Почему отношение C_P/C_V – не может быть меньше единицы?

3. Что понимают под числом степеней свободы движения молекул? Выразите отношение C_P/C_V через число степеней свободы молекул идеального газа.

4. Какие процессы происходят в газе в данной работе? Какие законы характеризуют эти процессы? Выведите расчетную формулу для отношения C_P/C_V.

5. Какой процесс называется политропическим? Выведите уравнение политропы. Рассмотрите все частные случаи политропических процессов.

6. Каким путем в данной работе осуществляется процесс, близкий к адиабатическому? Какие требования предъявляются при этом к установке? Как в данной работе изменяе

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: