Многомерное моделирование на основе метода главных компонент
Многомерное моделирование на основе метода главных компонент (МГК) можно разделить на следующие этапы: 1. Представление исходных данных наблюдений. Пусть имеется матрица наблюдений Х, порядка (n
![]() ![]() объекты Будем обозначать через Столбцы матриц X размерности (nxN), представленной в виде (2.5), есть координаты N точек (объектов) в n- мерном пространстве переменных (признаков). Эти N точек в n -мерном пространстве можно рассматривать как выборку из распределения случайного n -мерного вектора X. Таким образом, j -й столбец матрицы X - это n -мерный вектор Исследуются реализации случайных графиков электрической нагрузки
реализации
![]() Рис. 3.4 Представление графиков электрической нагрузки в моделях многомерного статистического анализа: а - реализация решетчатых моделей графиков
Столбцы матрицы Р являются дискретными реализациями j -ro графика нагрузки
В зависимости от целей исследования матрицы исходных данных X, Р используются непосредственно, либо преобразуются в матрицы центрированных Y /4/ или нормализованных Z /11/ данных. В матрице Y элемент где В матрице нормализованных данных Z элементы
![]() Где Нормализация данных используется в тех случаях, когда размерности компонент векторов Xi различны /4/. 2) Ортогональное преобразование для центрированных данных.
KY=YYT/(N-1), где YT - транспонированная матрица Y. Для перехода к отображению N объектов в новом n -мерном пространстве с ортогональными переменными, которые называют также факторами /11,13/, необходимо выполнить ортогональное преобразование (вращение в n -мерном пространстве факторов). Предварительно необходимо определить собственные числа Далее собственные числа упорядочиваются в порядке убывания следующим образом:
В таком же порядке располагаются соответствующие собственным числам
Y=UF, где U - матрица (n Для любого элемента
если Yj- это n -мерный случайный вектор, то матрица U является детерминированной и состоит из n линейно независимых векторов-столбцов. Матрица U является орто-нормированной, т.е.:
где Е - диагональная единичная матрица. По матрице U и диагональной матрице собственных чисел можно воспроизвести ковариационную матрицу KY:
![]() Сумма диагональных элементов матрицы
![]() Произведение собственных чисел
![]() В матрице F(n
![]() ![]() Объекты Новые переменные
![]()
![]() ![]() Выражение (2.15) описывает преобразование подобия симметричной матрицы
Для любого элемента Эффективность каждого признака Если выполнить разложение (2.3) по m<n компонентам, то абсолютная
![]() Собственные векторы Собственные векторы Если в качестве ортогональных функций выбираются функции разложения Фурье, для нестационарных и непериодических процессов коэффициенты разложения Фурье становятся линейно-зависимыми, что уменьшает их информативность в смысле классификации и требует увеличения размерности признакового пространства.
Как известно, ковариационная матрица Характеристическое уравнение, определяющее значения собственных чисел det( Собственные числа и соответствующие им собственные векторы упорядочиваются по описанному выше правилу:
В этом случае векторы объектов Yj, j=1,2,...,N после преобразования (2.3) отображаются в подпространство размерности (n-r): Ln-r<Ln с базисными векторами 3) Преобразование для матрицы нормализованных данных Z. Для матрицы нормализованных данных Z, элементы которой определяются по формуле (2.7), вычисляется корреляционная матрица Rz порядка (n
![]() Для матрицы Rz, имеющей вид (2.18), вычисляются диагональная матрица собственных чисел
![]() Z=UF, где F - матрица ненормированных главных компонент. Для перехода к нормированным компонентам необходимо выполнить преобразование матрицы F в матрицу нормированных главных компонент
Тогда выражение (2.19) примет вид:
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
А=U —матрица, называемая факторной структурой.
где Для любого элемента
Элемент В данном выражении Можно также сказать, что А - это матрица коэффициентов корреляции между главными компонентами Следовательно, с помощью элементов факторной структуры А определяются переменные (факторы, признаки) Zk, наиболее тесно связаны с главными компонентами Вклад i -й компоненты в общую дисперсию n компонент определяется как норма вектора А i и равен собственному числу
![]()
Из (2.23) следует, что столбцы матрицы А ортогональны, но не ортонормированы. Так как на главной диагонали матрицы Rz стоят единицы, то формула (2.11) в данном случае примет вид:
![]() В соответствии с (2.24) сумма диагональных элементов всегда равно целому числу n. Таким образом, применение разложения (2.9) в виде (2.19) к матрице Z дает другие собственные векторы U и, следовательно, другие признаки F и V, чем при применении этого же разложения (2.9) к матрицам X или Y.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|