Экстремум ФНП. Теорема о необходимом условии существования экстремума (доказать)
Функция z=f(x,y) имеет max в точке М0(х0,у0), если f(x0,y0)>f(x,y) для любого(х,у), достаточно близких к (.)(х0,у0) и отличных от нее. Функция Z=f(x,y) имеет min в точке М0(х0,у0), если F(x0,y0)<f(x,y) выполняется для любых точек (х,у), достаточно близких к точке (х0,у0), но отличных от нее. Точки максимума и минимума функции называются экстремумами функции z=f(x,y); точки в которой частные производные dz/dx=0 dz/dy=0 или не существуют называются критическими. Т. Если функция z=f(x,y) достигает экстремума при х=х0, у=у0, то каждая частная производная первого порядка от Z либо обращается в нуль при этих значениях, либо не существует. Дадим переменному у определенное значение, именно у=у0. Тогда функция f(x,y0) будет функцией одного пременного х. Т.к при х=х0 она имеет экстремум (max или min), то следовательно (dz/dx)x=x0 y=y0 или равно нулю или не существует. Аналогично можно доказать, что (dz/dy)x=x0 y=y0 или рано нулю или не существует. Замечание: Данное условие не является достаточным условием экстремума в т. Х0, у0.
Пусть в некоторой области, содержащей (.) М0(х0,у0) функция z=f(x,y) имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно. Пусть, кроме того точка М0 является критической точкой функции z=f(x,y), т.е: (df(x0,y0))/dx=0; (df(x0;y0))/dy=0, тогда при х=х0, у=у0: 1) f(x,y) имеет минимум, если a11>0, δ>0 (d2f(x0,y0)>0) 2) f(x,y) имеет максимум, если a11<0, δ>0 (d2f(x0,y0)<0) 3) функция F(x,y) не имеет ни максимума ни минимума, если δ<0 (d2f(x0,y0) меняет знак) 4) если δ=0, то экстремум в точке (х0,у0) может существовать, а может и нет 33. Квадратичные формы. Положительно определенная, отрицательно определенная, квазизнакоопределенная, неопределенная квадратичная форма. Достаточное условие существования экстремума в терминах квадратичной формы (сформулировать).
Некоторые сведения о квадратичных формах [к.ф.] Опр. К.ф. от n-переменных называется функция вида Q(x1,x2,…,xn)=a11x12+a12x1x2+…+a1n+x1xn+ a2nx2x1+a22x22+…+a2n+x2xn+…+an1xnx1+an2xnx2+…+annxn2, где аi,j – действительные числа aij=aji Краткая запись аi,j – это коэффициенты квадратичной формы и из этих коэффициентов составляют матрицу
Опр. Миноры матрицы образованные строками и столбцами с одинаковыми номерами на главными (угловыми) минорами Обозначаются Виды квадратичных форм.
Т3. Достаточный признак (условие) локального экстремума (в форме дифференциалов) Пусть задана функция U=f(x1,…,xn) дифференцируема в некоторой окрестности т. М0 и дважды дифференцируема в т. М0, и М0 – стационарная точка du(M0)=0 Тогда если 1) d2u|Mo положительно отрицательный к.ф., то М0 – точка локального минимума 2) если d2u|Mo – отрицательно определенная квадратичная форма, то М0 – точка локального максимума. 3) d2u|Mo – знакопеременная к.ф. то экстремум в точке М0 отсутствует. 4) d2u|Mo – квазизнакопеременная к.ф. то в т. М0 может быть экстремум, может и не быть.
34. Понятие дифференциального уравнения первого порядка, решение ДУ, интегральная кривая, частное решение, начальные условия, задача Коши. Определение: Дифференциальным уравнением называется уравнение в котором неизвестная функция входит под знак производной или дифференциала. Если неизвестная функция зависит от одной переменной то диф. ур. называется обыкновенным. Если от нескольких, то диф. ур. частных производных. Общий вид обыкновенного диф. ур. n-го порядка: где, F – заданная функция связывающая независимую переменную x, независимую функцию Порядок старшей производной входящей в диф. ур. называется порядком этого уравнения. Пример: 1. 2. 3. Общий вид обыкн.диф.ур. I-го порядка:
Общим решением диф.ур.(1) 1-го порядка называется функция Общее решение, заданное в неявном виде Геометрическое общее решение (общий интеграл) представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости, зависящих от График решения
Определение: Частным решением д.у. (1) называется решение полученное из общего решения (2) при фиксированном значении Частный интеграл получается из уравнения (3) при фиксированном значении
Задача Коши: Найти решение диф.ур. (1) удовлетворяющее заданным начальным условиям Теорема(Коши): (о существовании и единственности решения д.у.): Пусть заданно д.у.
Геометрически теорема означает, что через каждую внутреннюю точку
Определение: Общее решение д.у.(1) называется функция 1. она является решением д.у.(1) при любом значении 2. каковы бы ни были начальные условия Найти решение д.у. значит найти частное решение (интеграл) или общее решение (интеграл).
Определение: Решением д.у. (1) называется особым решением если соответствующая интегральная кривая обладает тем свойством, что через любую её точку проходит, кроме неё, ещё и другая касающаяся её интегральная кривая данного уравнения. Пример: Общий интеграл этого уравнения имеет вид: Проверим условие теоремы:
36. Основные виды ДУ: с разделяющимися переменными, однородные, линейные первого порядка, Бернулли, в полных дифференциалах. Определение: Д.У.
Решение д.у. с разделяющими переменными осуществляется поэтапно: 1) Пусть исходное уравнение имеет вид а) Представляем функцию в виде произведения F(x,y)= b) Заменяем производную отношением c) Умножаем обе части уравнения на dx и, одновременно, делим на функцию d) Интегрируем обе части полученного уравнения: 2) Если уравнение задано в неявной форме, то следует из него выразить y’ в явном виде и далее действовать как уже было сказано. 3) Если уравнение задано в форме а) переносим второе слагаемое в правую часть; b) каждую из двух функций представляем в виде произведения (или отношения) сомножителей. с) Делим обе части уравнения на произведение функции
d) Общий интеграл находим интегрированием Определение: Д.У. Для преобразования однородного уравнения к виду, с которого начинается использование подстановки, необходимо: 1)выразить в явном виде производную искомой функции из любой исходной формы записи уравнения. 2)преобразовать функцию 3)Сделать замену К однородным могут относиться уравнения, в которых отношения
Определение: Д.У. Другими словами: всякое уравнение 1-го порядка будет линейным, если искомая функция и ее производная входят в уравнение в первых степенях и не перемножаются. Для решения линейных уравнений используют два метода: метод Бернулли (подстановки) и метод Лагранжа (вариации произвольной постоянной) МЕТОД БЕРНУЛЛИ (метод подстановки): Этот метод позволяет с помощью подстановки МЕТОД ЛАГРАНЖА (вариации произвольной постоянной): Решение линейного уравнения 1) находим общее решение однородного уравнения 2) Подставляем функцию Определение: уравнение Форма уравнения Бернулли: Замечание: Данное уравнение сводится к линейному следующим образом. Сначала делим уравнение на а затем делаем замену Уравнение примет вид Однако, при решении конкретных примеров можно предварительно не сводить уравнение Бернулли к линейному, а сразу решать его как линейное. Определение: Уравнение Интегрирование уравнения в полных дифференциалах проводится следующим образом: 1) Проверяем выполнение условия 2) Если условие выполняется, то левая часть уравнения есть полный дифференциал некоторой пока неизвестной функции
Таким образом, решение уравнения сводится к нахождению функции 37.Определение общего решения ДУ порядка выше первого, частное решение. Д.У. n-го порядка называется уравнение, которое содержит независимую переменную x, искомую функцию у, ее производную n-го порядка. Уравнение n-го порядка может быть записано в явной форме, если оно разрешено относительно старшей производной Решение Д.У. n-го порядка называется любая n раз дифференцируемая функция y=y(x), которая при подстановке в уравнение, обращает его в тождество. Каждое уравнение n-го порядка имеет бесконечное множество решений. Выбрать из этого множества конкретное решение можно, если задать n дополнительных условий, например начальных. Начальными условиями для уравнений n-го порядка являются задания значений искомой функции и ее производных до (n-1)-го порядка включительно при заданном значении Общим решением уравнения называется функция 1) Функция содержит произвольные постоянные, количество которых равно порядку уравнения; 2) Эта функция является решением уравнения при любых значениях произвольных постоянных; 3) При заданных начальных условиях произвольные постоянные можно определить единственным образом так, что полученное частное решение будет удовлетворять заданным начальным условиям. Если решение записано в неявном виде, то оно называется общим интегралом этого уравнения. Всякое решение, которое полученное из общего решения при конкретных значениях, называется частными решениями. 38.Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши Д.У. порядка выше первого (без.док.) Если функция (n+1)-й переменной Определенное на Д.У. 2-го порядка
39. Понятие линейного ДУ n-го порядка (×)
Линейным дифференциальным уравнением высшего порядка называется уравнение, в котором искомая функция y(x) и ее производная входят в первых степенях и не перемножаются. Общий вод такого уравнения a0y(n)+a1y(n-1)+ a2y(n-2)+…any=f(x), где а0, а1, … - либо функция от х, либо постоянные числа. Линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид ay’’+by’+cy=f(x). Если f(x)=0, то уравнение называется однородным, уравнением без правой части. Если f(x)≠0, то уравнение называется неоднородным, или уравнением с правой частью.
40. Однородные линейные ДУ n-го порядка. Две теоремы о свойствах решений ОЛДУ (док.) (×) a0y(n)+a1y(n-1)+ a2y(n-2)+…any=f(x) где а0, а1, … - либо функция от х, либо постоянные числа. Если f(x)=0, то уравнение называется однородным, уравнением без правой части. Пусть a0y(n)+a1y(n-1)+ a2y(n-2)+…any=0 => у(n) + P1y(n-1) +…+ Pn-1 y’ + Pn y = 0 где Pn=an/ a0 1) Если у1(х) – частное решение ЛОДУ у(n) + P1y(n-1) +…+ Pn-1 y’ + Pn y = 0 (2), то функция С *у1(х), где С=const, также является решением этого ЛОДУ. Док-во: Су(n) + P1Сy(n-1) +…+ Pn-1 С y’ + Pn С y = 0 С(у(n) + P1y(n-1) +…+ Pn-1 y’ + Pn y) = 0 у(n) + P1y(n-1) +…+ Pn-1 y’ + Pn y = 0
2) Если у1(х) и у2(х) – решение ЛОДУ, то функции у1(х) + у2(х) также являются решениями этого ДУ Док-во: (у1+у2)(n) + P1(у1+у2) (n-1) +…+ Pn-1 (у1+у2)’ + Pn (у1+у2) = = [у1 (n) + P1 у1 (n-1) +…+ Pn-1 у1’ + Pn у1] + [у2 (n) + P1 у2 (n-1) +…+ Pn-1 у2’ + Pn у2] = 0
3)Если у1(х) и у2(х)... уn(х) решение ЛОДУ, то их линейная комбинация С1 у1(х) + С 2у2(х)... Сn уn(х) – так же является решение этого уравнения.
41. Определитель Вронского. Теорема о равенстве нулю вронскиана линейно-зависимых функций (док.). Определение: Определитель Вронского (или вронскиан) функций y1,y2,…,yn – это определитель вида: (где y1, y2, yn - ФСР C1,C2,…,Cn - const) Определителем этой системой является определитель Вронского Теорема: (Необходимое условие линейной зависимости функции, но не являются достаточным) Если функции y1, y2, …,yn - линейно зависимы и имеют производные до (n-1) порядка, то их определитель Вронского тождественно равен 0. Док-во: Так как y1, y2, …, yn - линейно зависимы, то существуют числа α1, α2, …, αn (то есть все равные нулю одновременно) такие что α1y1 + α2y2 + …+ αnyn = 0 на x Продифференцируем равенство (n-1) раз и получим линейную однородную систему уравнений:
α1y1’ + α2y2’ + …+ αnyn’ = 0 α1y1’’ + α2y2’’ + …+ αnyn’’ = 0 => …………………………….. α1y1(n-1) + α2y2(n-1) + …+ αnyn(n-1) = 0 Система имеет нетривиальное решение любых Х из (а,b), определитель этой системы – определитель Вронского. W[y1, y2, …,yn ] = 0 для любых Х из [а,b]
42. Теорема о неравенстве нулю вронскиана линейно-независимых решений ЛОДУ(без док.). Если n решений y1, y2, …,yn ЛОДУ у(n) + P1y(n-1) +…+ Pn-1 y’ + Pn y = 0 линейно-независимы, на интервале (а,b) то определитель Вронского не может обращаться в ноль (0) ни в одной точке х Следствие: Определитель Вронского системы решений [y1, y2, …,yn ] не равен 0 если система линейно независима, либо 43. Теорема о структуре общего решения ЛОДУ (док). Понятие ФСР. Опр: Система n линейно-независимого решения ЛОДУ n-го порядка называется ФСР Теорема о структуре общего решения ЛОДУ Если функции y1(х), y2(х), …,yn(х) – образует ФСР ЛОДУ у(n) + P1y(n-1) +…+ Pn-1 y’ + Pn y = 0, то y(х) = C1y1(x) + C2y2(x) + … + Cnyn(x) = Док-во: Из теоремы о неравенстве нулю вронскиана линейно-независимых решений ЛОДУ: Если n решений y1, y2, …,yn ЛОДУ (2) и они линейно-независимы, на интервале (а,b) то определитель Вронского не может обращаться в ноль (0) ни в одной точке х ð что (4) являются решением у(n) + P1y(n-1) +…+ Pn-1 y’ + Pn y = 0 остается доказать, что можно подобрать const-ты то С1, С2, … Сn, таким образом что функция (4) удовлетворяет любой системе начальных условий [н.у.] Задаем н.у., при x0
C1y1(x0) + C2y2(x0) + … + Cnyn(x0) = y0 C1y1’(x0) + C2y2’(x0) + … + Cnyn’(x0) = y0’, где y1, y2, yn ФСР C1 C2 Cn const ………………………………………….. (5) C1y1(n-1)(x0) + C2y2(n-1)(x0) + … + Cnyn(n-1) (x0) = y0(n-1) Определителем этой системы является определитель Вронского W[y1, y2, …,yn] Построим согласно свойству (если y1) α1y1 + α2y2 + …+ αnyn = 0 причем хотя бы одно hi
Следствие: 1) максимальное число линейно-независимых решение ЛОДУ, коэффициенты непрерывны на (a,b) равно порядку этого уравнения. 2) независимо от н.у. все другие решения таких уравнений ЛОДУ является линейной комбинацией этих независимых решений (решений ФС) 3) Пространство решений ЛОДУ n-го порядка имеет базис из n-векторов, т.е. пространство n-мерное. 4) Для решения ЛОДУ n-го порядка необходимо найти ФСР. Общее решение получается как линейная комбинация решений ФС. 4 4. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Вид частных решений, характеристическое уравнение (×) ЛОДУ с постоянными коэффициентами у(n) + P1y(n-1) +…+ Pn-1 y’ + Pn y = 0, где все Pi (i= будем искать частное решение y=ekx, к – неизвестная постоянная y’=kekx y’’=k2ekx …… y(n)=k(n) ekx
k(n) ekx + P1k(n-1) ekx + … + Pnekx = ekx(k(n) + P1k(n-1) + … + Pn) = 0 ekx ð y=ekx - решение ДУ (1) – характеристическое уравнение для ЛОДу с постоянными коэффициентами, выражения слева характеристический многочлен. Решением характеристич уравнения (1) дает систему частных решений ЛОДу, структура ФСР зависит от вида корней характер уравнения. (1) – алгебраическое уравнение n-ой степени, может иметь не более, чем n корней, обознач-м эти корни характеристического уравнения через k1,k2 …kn Возможны случай 1)все корни хар-го уранения вещественны и различны 2)все корни различны, но среди них есть комплексные 3)среди действительных корней имеются кратные 4)среди комплексных корней есть кратные Общий алгоритм решения ЛОДу с постоянным коэффициентом 1) составим характер уравнение: y=ekx, k(n) + P1k(n-1) + … + Pn = 0 2) найти корни характер уравнения k1,k2 …kn 3) по характеру корней находим частное линейно-независимое решение по таблице 1 4) подставляем частное решение
4 5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка. Теорема о структуре общего решения (док. для n=2). Теорема о суперпозиции решений (док. для n=2). ЛНДУ у(n) + P1y(n-1) +…+ Pn-1 y’ + Pn y = f(x) (1) Pi – непрерывна на отрезке (a,b) Теорема о структуре общего решения ЛНДУ Общее решение ЛНДУ есть сумма частного решения и общего решения соответственного ему однородного уравнения Док-во: Для уравнения 2-го порядка (но теорема применима для уравнений любого порядка) n=2 (1’) y” + P1(x) y’ + P2(x) y = f(x) Обозначим у*(х) – частное решение ЛНДУ
Показать, что (2) у= у*+ Найдем: Дважды дифференцируем функцию (2) и подставляем у, y’,y” в (1’) у*”(x) + = [у*”(x)+ P1(x) у*’(x)+ P2(x) у*(x)] + [
C1C2 – подбираем так, чтобы они удовлетворяли начальным условиям
C1y1(x0) + C2y2(x0) + у*(x0) = y0 C1y’1(x0) + C2y’2(x0) + у*(x0) = y0’ Линейная неоднородная система, определитель этой системы, определитель Вронского W[y1, y2]≠0 =>система имеет единственное решение при любых Теорема2 принцип суперпозиции (принцип сложения решений) Если функция yi(x) является решением ЛНДУ (3) y(n) + P1y(n-1) + … + Pny = fi(x) то функция Док-во: для n=2 Подставим y, y’, y”, в (4), учитываем что y1 y2 решение соответственного уравнения (3) α1y1” + α2y2” + P1(x)[ α1y1+ α2y2] = = [α1y1” + P1(x)α1y’1 + P2(x)α1y1] + [α2y2” + P1(x)α2y’2 + P2(x)α2y2] = α1f1(x) + α2f2(x) 46. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов для уравнений со специальной правой частью. Метод вариации произвольных постоянных (вывод рабочей формулы). Рассмотрим ЛНДУ с постоянными коэф-ми. Ур-е у(n) + P1y(n-1) +…+ Pn-1 y’ + Pn y = f(x): Pi=const Метод неопр-х коэф-в можно применять если правое ур-е имеет следующий вид: f(x)=
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|