Три свойства (о линейной комбинации членов) сходящихся рядов (теоремы доказать)
Теорема2
Если ряд
- сходящийся и его сумма равна S,то ряд
(
0) сходящийся и
=
S
Если ряд
- расходится,то
-расходится.
Док-во: Пусть
- сходящийся.
=
= 
Пусть
-расходится
=
-расходится.
Теорема3
Если ряды
и
- сходится и их суммы соответственно равны
и
, то ряд
также сходится и
= 
Док-во:
=
= 
Теорема 4
Если у сходящегося ряда
отбросить конечное число первых членов,присоединить конечное число членов ряда или произвести перестановку членов ряда, то это не повлияет на сходимость ряда.
Опр-е: Для ряда
выражение вида
называется остатком данного ряда после n-го слагаемого.
Если остаток ряда сходится,то
= 
Теорема 5 (Сходимость ряда
сходимости его остатка)
Если ряд сходится,то и любой его остаток сходится.Если какой-то остаток ряда сходится,то сам ряд сходится,причем если:
,
,
,то

Док-во:
Пусть
и
-частичная сумма ряда
и
соответственно
,
,тогда
. Для произвольного фиксированного n.
(сходится к
) и
(сходится к
)сущ-ют и несущ-ют одновременно.

Ряды с неотрицательными членами. Критерий сходимости рядов с неотрицательными членами (теор. док.)
Ряды с неотрицательными членами: Ряд
все члены которого неотрицательны
называется знакоположительным.
Критерий сходимости:
Н: Для того, чтобы знакоположительный ряд
сходился, необходимо и достаточно, чтобы его частичные суммы ограничены сверху (т.е. 
Доказательство: П. знакоположительный ряд
сходится. Это значит
.
{Sn}- последовательность ч.с. – возрастающая. Тогда Sn<S, т.е. {Sn} – огранич., S=M.
Д: Члены последовательности ч.п.
огранич. сверху. Кроме того
– возрастающая, монотонно. Поэтому, по теореме Вейерштрасса (всякая монотонная возрастающая, ограниченная сверху последовательность имеет предел):
– сходится.
Первый признак сравнения (теор. док.)
Если начиная с некоторого номера N (для
) выполняется неравенство
, то из сходимости ряда B => сходимость ряда A; из расходимости ряда A => расходимость ряда B.
Доказательство:
Не умаляя общности положим
, с n=1. Если ряд B сходится => числовые суммы ограничены (по критерию сх-ти знакопол. рядов), значит ч.с. ряда A и подавно ограничены (т.к.
) => ряд A – сходится. Ряд A расходится, тогда (по критерию сх-ти знакопол. рядов) ч.с. неогранич. => ч.с. ряда B тем более неогранич. => ряд B – расходится.
Предельный признак сравнения (теорему док.)
Пусть имеется два знакоположительных ряда 1)
2)
.
Если существует конечный предел
, то
1) если ряд (1) сходится,
,то ряд (2) сходится
2) если ряд (1) расходится,
,то (2) расходится.
В частности получаем, если
, то (1) и (2) либо вместе сходятся, либо расходятся.
Доказательство:
1) По условию теоремы

Рассматривая модуль, получим
;

2) k>0, выбираем значения
,если (1) расходится, то
, где
,
-расходится (по признаку сравнения).
Признак Даламбера, радикальный и интегральный Коши(3 теоремы док.).
Признак Даламбера.
Пусть
- ряд с неотрицательными членами.
Если
, то
а)
- ряд
-сходится;
б)
- ряд
- расходится;
в)
- о сходимости ничего нельзя сказать.
3 Эталон: обобщенный гармонический
; 
Доказательство:
По условию теоремы,
, начиная с
будет выполняться условие
;
а) Пусть
начиная с
:
; 
члены исследуемого ряда
меньше членов геометрической прогрессии
; Геометрическая прогрессия сходится.
б)
; пусть
для 
ряд сходится.
Радикальный признак Коши.
Дан ряд
,если
, то при
а)
- ряд
-сходится;
б)
- ряд
- расходится;
в)
- о сходимости ничего нельзя сказать, предполагается что предел 
Доказательство:
По условию теоремы,
, начиная с
будет выполняться условие
;


а)
- убывающая геометрическая прогрессия Þ по признаку сравнения
- сходится, начиная с
.
б) аналогично предыдущему.
Воспользуйтесь поиском по сайту: