Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Теорема об абсолютно сходящемся ряде(док).

Знакопеременные ряды - это ряды, которые содержат бесконечно много положительных и бесконечно много отрицательных членов. На ряду со знакопеременным рядом рассматривается ряд из абсолютных значений членов знакопеременного ряда.

-знакопеременный ряд.(1)

-знакоположительный ряд.(2)

Теорема (критерий сходимости знакопеременного ряда).

Если ряд (2) сходится, то и ряд (1)- сходится.

Доказательство:

частичные суммы рядов (1) (2) соответственно.

Обозначив через - сумму положительных членов ряда (1), - сумму отрицательных членов ряда(1).Тогда = - ; = -

Так как ряд (2) сходится, то существует конечный предел его частичных сумм = -ограничены.

Так как ряд (2) знакоположительный, то - будут возрастающие, следовательно по теореме Вейерштрасса существует конечный предел этих последовательностей ()

Рассмотрим - число конечное, следовательно (1)- сходится. Ч.Т.Д.

При исследовании знакопеременного ряда на сходимость нужно всегда рассматривать ряд из абсолютных величин членов этого ряда.

Определение:

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится знакоположительный ряд ,составленный из абсолютных значений его членов.

Теорема (об абсолютно сходящемся ряде).

Если ряд сходится, то знакопеременный ряд тоже сходится.

Доказательство:

для ряда ; для ряда состав. из модулей.

сходится по признаку сравнения.

Признак этой теоремы является достаточным, но не является необходимым.

Ряд -сходится; ряд - расходится.

Определение:

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если он сходится по признаку Лейбница, но ряд из абсолютных величин его членов расходится.

55. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница (док.).

Знакочередующиеся ряды - это ряды, члены которых поочерёдно то положительны, то отрицательны.

Теорема Лейбница.

Если =0 (1) и u_nu_n₊₁>0, n=1,2,…,(2) то знакочередующийся ряд

(3) сходится.

Доказательство:

Рассмотрим частичные суммы четного порядка ряда (3):

S₂_k= . Их можно записать в виде S₂_k=(u₁-u₂)+(u₃-u₄)+…+(u₂_k_-1-u₂_k), k=1,2,…

В силу условия (2) выражения в круглых скобках неотрицательны и потому S₂_kS₂₍_k₊₁₎, т.е. последовательность частичных сумм четного порядка ряда (3) монотонно возрастает.

Замечая, что частичные суммы S₂_k можно записать также и в виде S₂_k=u₁-(u₂-u₃)-…-(u₂_k_-2-u₂_k_-1)-u₂_k_,k=1,2,…, и что выражения в круглых скобках в силу условия (2) неотрицательны, а u₂_k>0, получаем, что S₂_k<u₁, т.е. последовательность {S₂_k} ограничена сверху.

Из монотонного возрастания и ограниченности сверху последовательности {S₂_k} следует, что она сходится.

Пусть =S (4). Покажем, что и частичные суммы нечетного порядка ряда (3) стремятся к тому же пределу. Действительно, S₂_k₊₁=S₂_k+u₂_k₊₁, k=1,2…(5), и так как, согласно (1), , то в силу (4) и (5) имеем (6). Из (4) и (6) следует что .

Теорема доказана.

56. Функциональные ряды. Основные понятия: область и точка сходимости, равномерная сходимость. Теорема Вейерштрасса (док.).

Функциональным называется ряд, члены которого есть непрерывные функции от x u₁(x)+u₂(x)+u₃(x)+…+u_n(x)+…= u_n (x).

Совокупность значений аргумента, при которых функ-й ряд сходится, называется областью сходимости ряда.

Функциональный ряд u_n(x) называется равномерно сходящимся в некоторой области x, если для каждого сколь угодно малого числа >0 найдётся такое целое положительное число N(), что при n>N выполняется неравенство = < для всех x из области X.

При этом сумма S(x) равномерно сходящегося функционального ряда есть непрерывная функция.

Достаточным признаком равномерности сходимости является

Признак Вейерштрасса.

Если члены функционального ряда U₁(x)+U₂(x)+…+U_n(x)+… по абсолютной величине не превышают в некоторой области соответствующих членов сходящегося знакоположительного ряда a₁+ a₂+…+a_n+…, (a_n>0) т.е.

|U₁(x)| a₁, |U₂(x)| a₂, |U₃(x)| a₃, … |U_n(x)| a_n, …

То функциональный ряд в области сходиться абсолютно и равномерно (правильно).

Знакоположительный числовой ряд называется мажорирующим рядом или мажорантой для данного функционального ряда.

Т. Вейерштрасса. Если существует такая числовая последовательность {a_n}, что =0, а_n(1), (2) для всех n=1,2… и всех х , то последовательность { } равномерно на E сходится к функции .

Доказательство. В силу условия (1) для любого существует такой номер , что a_n< для всех . Но тогда в силу условия (2) для всех и всех х , а это и означает равномерную сходимость последовательности { } к функции на множестве Е.

5 7. Свойство равномерно сходящихся функциональных рядов (без док.)

1) Сумма правильно сходящегося ряда есть функция непрерывная в области сходимости.

Свойства почленного дифференцирования и интегрирования правильно сходящихся рядов.

2) Если ряд сходится равномерно к некоторой непрерывной функции S(x), и ряд из производных так же равномерно сходится, то его сумма S^*(x) равна производной от суммы исходного ряда S*(x) = =()'= S'(x)

3) Если ряд сходится равномерно к некоторой непрерывной функции S(x), то ряд полученый из данного путем почленного интерирования равномерно сходится и имеет сумму S**(x), равную интегралу от суммы исходного ряда

S**(x)= = =

58. Степенные ряды. Теорема Абеля (док.) (×)

Функциональные ряды вида называются степенным рядом по степеням(z-z₀), где a₁ a₂... a_n R -коэффициенты степенного ряда, называются степенными рядами.

При z₀=0 получим .Степенной ряд при z=0 всегда сходится, если x не равен 0 то ряд может как сходиться так и расходиться.

Поскольку замена (z-z₀)=t может свести к виду то мы будем рассматривать ряд такого вида.

Т. Абеля. Если степенной ряд (1) сходится в точке z₁≠0, то он сходится и при том абсолютно в точке z, у которого , если степенной ряд расходится в т. z₂≠0, то он расходится в т z, .

Доказательство.

По условию - то по необходимому признаку сходимости ряда , т.к. сх-ся числ. послед. ограничена то существует M>0 | а n=0,1,2… Если , то и следовательно , являясь геометрической прогрессией со знаменателем <1, сходится. Поэтому по признаку сравнения сходится и ряд , а это означает абсолютную сходимость ряда (1) при .

Пусть числовой ряд расходится, => для любого z | . Предположим противное, те сходится. По доказательству в 1 части теоремы из сходимости ч.р. => абсолютная сходимость ,для любого , а значит этот ряд должен сходиться абсолютно, что противоречит условию => он расходится.

59. Свойства степенных рядов(без док.). Ряды Тейлора и Маклорена (×)

Свойства степенных рядов:

1) Сумма степенного ряда является непрерывной функцией в интервале сходимости.

2)Степенные ряды и имеют один и тот же радиус сходимости.

3)Степенные ряды можно почленно дифференцировать в интервале сходимости любое число раз и для S(x).

4)Степенной ряд можно почленно интегрировать по любому промежутку, принадлежащему интервалу сходимости.

Понятие о ряде Тейлора:

Всякая функция при соблюдении определённых условий в интервале, содержащем точку ,может быть представлена в нём в виде степенного ряда, и этот ряд будет её рядом Тейлора.

Опр-е: Рядом Тейлора функции f(x) называется степенной ряд вида:

Рядом Маклорена функции f(x) называется ряд:

Ряды Тейлора и Маклорена есть разложение функции в ряд по степеням () и соответственно,или представление функции в окрестности точек или степенным рядом.

Коэффициенты рядов Тейлора и Маклорена вычисляются через значения производных функции всех порядков в точках = и = 0 соответственно.Но существование производных любого порядка не является достаточным условием разложимости функции в ряд Тейлора.

Достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора:

Всякая функция ,бесконечно дифференцируемая в интервале < r,может быть разложена в этом интервале в сходящийся к ней степенной ряд, называемый рядом Тейлора,если в этом интервале остаток ряда стремится к нулю .