 |
Математика как знаковая система
|
|
|
|
Математические знаковые системы и построенные на их основе модели – это системы и модели высшего порядка абстракции. По образному выражению А.Пункаре «Математика – искусство давать различным вещам одно и тоже наименование».
Математике не важно, какие объекты закодированы символами (и закодированы ли они вообще или речь идет о решении чисто внутрисистемной задачи); система может быть задействована и решать задачу ради самой себя и дальнейшего развития математики как особой информационной технологии.
Решение внутрисистемных задач без непосредственного выхода на «практику» является вполне оправданным, так как новые математические технологии могут обеспечить решение практических проблем будущего.
Необходимость в совершенно абстрактных символах возникла из-за того, что другие знаковые системы не позволяли решать многие практические задачи.
Формула идет гораздо дальше выраженного словами. По сути, это уже жестко заданная технология обработки информации в любом конкретном случае, выраженная в компактной экономной форме. В каких-то простейших случаях формулу можно заменить словесным описанием алгоритма действий. Но это, как правило, очень неэффективно. Кроме того, словесное описание алгоритма становится непонятным для людей, говорящих на других языках.
Математические знаковые системы и технологии возникли в глубокой древности из практических потребностей счета и простейших измерений. Ученые считают, что первые знаки для отображения чисел появились до возникновения письменности.
На основе начальных «внутренних» устных моделей счета появились первые «внешние» материализованные приемы поддержки технологии расчетов в виде зарубок на деревьях, счетных камешков, пальцев рук и пр.
|
|
|
Постепенно вырабатывались правила выполнения операций сложения, вычитания, умножения чисел. Операция деления очень долго представляла значительные трудности. Но потребности в измерениях обеспечили решение и этой проблемы. Были изобретены способы обозначения простейших дробных чисел и разработаны алгоритмы действий над ними. Накопление знаний в области работы с числами привело к формированию древнейшей математической науки – арифметики.
Потребности в определении площадей и объемов, связанные со строительством и землеустройством, а несколько позднее астрономии обуславливают развитие еще одного раздела математики – геометрии.
Процессы формирования математических знаковых систем шли у многих народов независимо и параллельно.
В ходе развития письменности помимо способов отображения объектов и действий, в системах письма было необходимо создать средства обозначения чисел, мер, дат. Появились специальные слова – числительные, используемые при подсчете предметов любой качественной природы. Возникло отвлеченное понятие числа.
Первоначально для числительных в каждой письменности применяли свою собственную систему символов. Но непрерывное развитие средств производства и масштабов торговли требовали постоянного совершенствования, развития и универсализации числовой символики. Способы нумерации обнаруживают тенденцию к быстрому сближению.
В конечном счете, во всем мире утвердились универсальные системы цифр: арабская и римская. Знаки эти понятны в любом языке, но каждый читает их по-своему.
В ходе длительной эволюции математики формировался и специальный математический язык, математическая символика, которой пользуются во всех странах, независимо от того на каких естественных языках там говорят и пишут.
|
|
|
Сначала использовалась единичная система записи чисел в виде точек и черточек, сгруппированных по 3-5 штук. Такая технология давала возможность обсчета небольших совокупностей предметов. Использовались также множества, заключавшие постоянное число элементов: «глаза», как синоним числительного «два», кисть руки «пясть», как синоним числительного «пять» и т.д.
Позже появился счет групп, содержащих определенное количество предметов. Это число образовывало основание соответствующей системы счисления. Наиболее часто использовалось число 10 по числу пальцев рук.
Самые ранние математические тексты, известные в наши дни, принадлежат древнейшим цивилизациям Египта и Междуречья.
Дошедшие до нас математические тексты Древнего Египта относятся к началу 2-го тысячелетия до н.э. и представляют собой сборники примеров решения отдельных задач. Египтяне свободно оперировали действиями с целыми числами, разработали свой достаточно сложный аппарат действий с дробями, правильно вычисляли площади треугольника и трапеции и пр. Правда, имеющиеся в распоряжении ученых тексты, имели чисто учебное назначение и не отражают всей суммы знаний и методов египетских математиков.
Материалов, позволяющих судить о математической культуре в Вавилоне, значительно больше. Они говорят об очень высоком уровне развития математики и охватывают период с начала 2-го тысячелетия до н.э. до возникновения и развития греческой математики.
Математические информационные технологии достались Вавилону от шумер, которые создали развитую десятично-шестидесятеричную систему нумерации. Она содержала в себе и позиционный принцип. По мнению ученых, эта система сложилась в торговых сделках шумер и аккадцев. Денежная единица первых равнялась 60 единицам вторых (1/6 шумерской мины равнялась 10 аккадским шекелям). Поэтому широкое распространение получили знаки для чисел 1,10,60,600,3600.
В Вавилоне существовали правила работы с шестидесятеричными дробями, были разработаны методы измерения углов, имелись таблицы обратных чисел, произведений, квадратов, кубов. Широкое применение таблиц – характерная особенность их математических информационных технологий. Большое развитие получили расчеты процентов по долгам. Правила, содержащиеся в табличках, описывали технологию решения задач по схеме: делай раз, делай два, делай три. Строгих математических доказательств еще не существовало.
|
|
|
Значительный вклад в развитии математических методов моделирования действительности внесла греческая цивилизация. В середине VIII в. до н.э. греки пережили настоящую информационную революцию, связанную с появлением собственного алфавита, включавшего гласные буквы, что позволило приобщиться к грамотности большому количеству людей. В это время были достигнуты грандиозные успехи во многих областях жизнедеятельности человека. Не стала исключением и математика.
Греки первыми поняли значение абстрактных математических моделей, построенных на основе чисто логических рассуждений в рамках используемой формальной знаковой системы. Поэтому разработка математических методов в Древней Греции приняла существенно иное направление, чем на востоке.
Практическая сторона арифметики не получила у греков дальнейшего развития; применявшаяся ими технология письменной нумерации с помощью букв алфавита, взятая ими у финикийцев, была значительно менее приспособлена для выполнения сложных вычислений, чем вавилонская. Здесь получили развитие теоретические, более абстрактные разработки, учение о натуральных числах, теория пропорций, измерение величин в неявной форме, изучение понятия бесконечности.
Но значительно больший вклад был сделан в развитие геометрии – другой важнейшей составной части математики, корни которой уходят в глубокую древность. Геометрия буквально означает землемерие. Но в Греции она превращается в абстрактную математическую науку о фигурах, взаимном расположении и размерах их частей (науку о пространственных формах и отношениях). Для науки об измерении земли вводится термин «геодезия». С тех древних времен дошли до нас сохранившие свое значение до сих пор геометрические построения.
Чрезвычайно важный этап развития информационных технологий расчетов связывают с культурой Индии. Здесь была создана основа современной позиционной системы счисления (с применением 10 цифр, включая нуль для обозначения отсутствия единиц в каком-либо из разрядов), которая сделала возможной разработку сравнительно простых правил выполнения основных арифметических операций. Кроме того мир должен быть благодарен индийцам и за развитие алгебраического подхода к решению задач арифметического содержания, что дало возможность вывести используемые человеком математические модели на еще более высокий уровень абстракции.
|
|
|
Ученым Востока средних веков принадлежит заслуга перевода и сохранения наследия древнегреческих математиков и развития достижений индийцев. Разработанные ими технологии выполнения арифметических действий (еще в значительной степени далекие от современных, но уже использующие преимущества позиционной десятичной системой счисления) стали постепенно проникать в Европу и послужили важным фактором дальнейшего бурного развития математической науки.
Сравнительно медленный прогресс математики в средние века с XVII в. сменяется быстрым усовершенствованием технологий вычислений, что в первую очередь связано с бурным развитием естествознания и возросшими практическими запросами (задачи навигации, механики, усложнение коммерческих расчетов).
В процессе исследований создается совершенная алгебраическая символика, вводятся знаки сложения, вычитания, знак равенства, скобки, дроби, корни, логарифмы; в конце XVII в. появляются знаки степени, дифференциала, интеграла, производных; в XVIII в. вводятся знаки тригонометрических и других функций.
Прогресс алгебры стал возможен только после появления во всеобщем употреблении удобной символики для обозначения действий. Постепенно алгебраические методы проникали в вычислительную практику, в первое время ожесточенно конкурируя с арифметикой.
К середине XVII в. полностью сложился символьный аппарат современной алгебры – употребление букв для обозначения всех входящих в задачу величин. Ввод символических обозначений и операций над ними имел исключительно важное значение; без него были бы не мыслимы развитие высшей математики, создание математического анализа, выражение законов механики и физики. В начале XVIII в. технология выполнения расчетов и записи вычислений приобретает современную форму.
Развиваются и графические формы для отображения математических зависимостей, математическое описание пространственных форм.
Принципиальный шаг сделал Декарт, который ввел метод координат, что позволило связать геометрию с развивающейся тогда алгеброй и зарождающимся анализом.
|
|
|
Применение этих методов породило аналитическую геометрию, изучающую фигуры и образования, заданные алгебраическими уравнениями в прямоугольных координатах, и использующую при этом методы алгебры.
Роль геометрии определяется прежде всего тем, что через нее в математику было введено понятие непрерывности.
Математика, как инструмент абстрактного отражения действительности, сталкивается с двумя ее общими формами - дискретностью и непрерывностью. Счет отдельных дискретных предметов обеспечивает арифметика; пространство, непрерывность изучает геометрия. Прямая, а вместе с ней и всякая фигура рассматриваются как множество точек. Наглядная геометрическая интерпретация оказывается плодотворной во многих областях. Большое количество математических проблем могут трактоваться либо аналитически, либо геометрически, либо в соединении обоих методов, когда оказывается полезным сочетание выкладок и геометрических представлений. Графическое представление функций сыграло важную роль в выработке понятий математического анализа. Графические модели (рисунки, диаграммы, графики) часто экономят наши усилия при восприятии информации в форме письменного или устного текста, математических выкладок.
Современная математика – наука о количественных отношениях и пространственных формах мира. Описание какого-либо класса явлений, выраженное с помощью математической символики называют математической моделью. Анализ математических моделей позволяет проникнуть в суть многих объектов и процессов внешнего мира, решать задачи прогнозирования и управления.
В математической информационной технологии представления действительности можно выделить две существенные составляющие: объектную и процессную. Первая обеспечивает способы знакового обозначения понятия, а вторая отражает действия, которые можно над ними производить. История развития математики – это история создания все более сложных моделей обоих типов.
Начав с отражения небольших натуральных чисел, математики постепенно вводили все более сложные понятия числа: дробного и отрицательного, рационального и иррационального, трансцендентного, действительного и комплексного. Введение понятия функции позволило моделировать не только объекты, но и процессы реального мира. Разработка методов математического анализа, теории случайных процессов, теории множеств, математической логики и других разделов современной математики позволили описать смоделировать сложнейшие явления и процессы макро и микромира.
Высокий уровень теоретической математики дал возможность вывести на новый уровень методы вычислительной математики, которые сыграли большую роль в решении проблем атомной энергетики, авиации, космических исследований, способствовали развитию вычислительной техники.
Но, несмотря на все достоинства математических знаковых систем, использование математических методов имеет свои ограничения. Так в области социальных и гуманитарных науках их применения пока весьма ограничено. О причинах этого мы поговорим ниже.
Образные знаковые системы
В §3.2 мы уже немного касались понятия образных знаковых систем, главной характеристикой которых является внешняя похожесть объекта и модели. Это может быть рисунок, фотография и пр.
Не смотря на все технические изобретения и развитие самых передовых компьютерных технологий, одна из самых первых образных знаковых систем по-прежнему находит свое место и современном мире. Свои самые первые, еще может быть очень нечеткие замыслы, архитектор чаще отображает с помощью рисунка, а уже позднее подключает к этому процессу мощь современных программ архитектурного проектирования.
Поэтому, признавая исторические заслуги образных систем (образные знаки пиктограммы положили начало развитию более сложных знаковых систем языковых и математических), можно утверждать, что многие образные системы продолжают и на современном этапе играть важную самостоятельную роль в построении моделей действительности. К их числу относятся картографические знаковые системы, отображающие пространственное размещение объектов в виде образно-знаковых моделей.
Карта – изображение, модель естественной реально существующей системы. Потребность в изображении окружающей местности человек испытал очень давно. В результате чего появились рисунки, например, дороги, ведущей к определенному объекту, препятствий на этом пути и т.д. Проблемы первых «картографов» носили основном художественный характер, и результаты главным образом зависели от умений и опыт рисовальщика. Рисунок может сделать и неграмотный человек. Есть многочисленные свидетельства об удивительной способности совершенно необразованных людей очень точно отображать отличительные признаки знакомой им местности.
По мере развития общественной жизни, торговли, транспортных средств, требования к качеству карт-схем со стороны купцов и навигаторов постоянно возрастали и способствовали совершенствованию изобразительных средств.
Картография получила большое развитие в период и под влиянием великих географических открытий, новых достижений математической науки. Важным направлением совершенствования картографии стала работа по унификации используемых символов и условных обозначений. Значки и графика карт прошли усовершенствование в работе многих поколений картографов. Например, разработка технологии цилиндрической проекции решила многовековую проблему навигаторов, сделав возможным провести на карте курс между двумя точками сферической поверхности. Современная картография уже не может обойтись без использования аэрокосмических методов наблюдения и измерений.
В строительстве картографические знаковые системы широко применяются при решении задач геодезии. Автоматизация решения геодезических задач – очень важное направление компьютеризации информационных технологий строительства.
Важным инструментом отображения пространства являются не только географические, но и геологические карты.
Важной знаковой системой, базирующейся на использовании геометрических методов, является техническая графика, развитие которой тесно связано и с сооружением сложных объектов строительства. В эпоху промышленной революции техническая графика стала основным инструментом изобретательской деятельности.
Язык чертежа доступен всем, кто разбирается в технике. Благодаря ему, проектировщики, инженеры и рабочие легко понимают друг друга. Но для того, чтобы чертёж, выполненный в одной стране, был понятен техническим специалистам других государств, было необходимо выработать соответствующие технические стандарты. В 1946 г. была создана специальная Международная организация стандартизации (ISO), разрабатывающая и поддерживающая такие стандарты. Они должны соблюдаться инженерами и конструкторами стран, вступивших в ISO. Установлены единые нормы для условных обозначений, линий; правила простановки размеров, внесения изменений и др.
Наличие хорошо развитого международного языка технической графики ускорило работы по автоматизации обработки этого вида информации. В настоящее время созданы и успешно эксплуатируются удобные программы архитектурно-строительного проектирования (САПР).
Перечисляя современные образные знаковые системы, которые находят применение в строительстве, необходимо сказать о фотографии.
Многие научные достижения в самых разных областях знаний обязаны своим появлением фотографии. Без нее уже немыслима и современная картография. Существует множество ситуаций, в том числе и в процессе управления строительными организациями, когда фотографии являются незаменимыми элементами информационной технологии для обеспечения принятия правильных решений. Во многих случаях информативность фотографии гораздо выше всех прочих знаковых систем, поскольку обеспечивается наглядность: «лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать». Современные электронные технологии получения фотоизображения и мобильные средства их передачи становятся все более и более востребованными при решении самых разных задач управления строительством.
Следующим шагом в развитии образных знаковых систем вполне логично стало изобретение информационных технологий, фиксирующих окружающий мир в движении.
Механические устройства позволяющие демонстрировать движущиеся рисунки были изобретены давно. Изобретение фотографии открыло на этом пути новые невиданные перспективы. В конце XIX в. появилось кино. Изобретение фото- и кино-технологий обеспечило недоступную до этого точность отображения окружающего мира. С их помощью удалось решить и многие научно-технические задачи, воспроизвести в реальном масштабе времени очень быстрые или наоборот очень длительные процессы. Изобретение современной относительно недорогой видеотехники открывает перед данным типом информационных технологий новые интересные направления моделирования и познания действительности.
Образные или графические модели нашли широкое применение в области изучения и совершенствования процессов организационного управления. Всем хорошо известны разнообразные схемы организационных структур, на которых отображают состав подразделений организации с фиксацией их соподчиненности.
По мере углубления исследований организаций, в частности связанных с попыткой автоматизации управления, в схемы оргструктур начали добавлять линии, показывающие передачу информации между подразделениями, а в прямоугольники, ранее отображающие только их наименования, стали вписывать функции этих подразделений.
Широко распространенный вид графических моделей процессов управления – схемы документооборота. Они описывают регламентированный порядок прохождения документов через структурные подразделения.
Для того, чтобы детально разобраться в технологии работы над конкретным документом, используют так называемые оперограммы, описывающие операции которые над ним производятся. Обычно это принято делать с помощью специальных символов.
Один из наиболее мощных методов графического моделирования организационных процессов – сетевое моделирование. Сетевая модель изображается в виде графа, которым может быть представлен любой комплекс работ: научных, конструкторских, управленческих и т.д. Преимуществами сетевой модели являются ее наглядность и возможность использования математического аппарата.
Для отображения управленческих процессов в ряде случаев удобно пользоваться специальной модификацией сетевой модели – сетевой матрицей.
Наиболее информативной графической моделью разделения обязанностей в аппарате управления является функциональная матрица.
Но наибольшее распространение для отображения процессов организационного управления нашли так называемые структурно-информационно-временн ы е схемы или логико-информационные схемы. Они в значительной степени синтезировали в себе положительные свойства других моделей, обеспечивая комплексное описание организационных, информационных и временн ы х параметров процессов управления. Существуют самые разнообразные формы таких схем [29]. В заключение отметим, что в настоящее время существуют и международные стандарты описания управленческих процедур, которые находят все большее распространение и в нашей стране [24].
Мы постарались хотя бы коротко перечислить и охарактеризовать знаковые системы, на которых базируются основные информационные технологии, используемые человеком: естественные языки, письмо, математический аппарат, графические или образные модели, а также наиболее распространенные искусственные знаковые системы. Практически за каждой из этих знаковых систем стоит многовековая история развития. С их помощью зафиксирована основная часть знаний, накопленных человечеством.
|
|
|
