Пункт 13. Мультипликативные функции.
В этом пункте с "чертоводюжинным" номером речь пойдет об одном важном классе функций, которому в теории чисел посвящены целые монографии (см., напр., книжку Г.Дэвенпорта "Мультипликативная теория чисел"). Определение. Функция q: R ® R (или, более общо, q: C ® C) называется мультипликативной если: 1). Функция q определена всюду на N и существует а Î N такой, что q (а) ¹ 0. 2). Для любых взаимно простых натуральных чисел а 1 и а 2 выполняется q (а 1 · а 2 ) = q (а 1 ) · q (а 2 ). Пример 1. q (а) = а s , где s - любое (хоть действительное, хоть комплексное) число. Проверка аксиом 1) и 2) из определения мультипликативной функции не составляет труда, а сам пример показывает, что мультипликативных функций по меньшей мере континуум, т.е. много. Перечислим, кое-где доказывая, некоторые свойства мультипликативных функций. Пусть всюду ниже q (а) - произвольная мультипликативная функция. Свойство 1. q (1) = 1. Доказательство. Пусть а - то самое натуральное число, для которого q (а) ¹ 0. Тогда q (а · 1) = q (а) · q (1) = q (а). ¨ Свойство 2. , где р 1 , р 2 ,..., р n - различные простые числа. Доказательство очевидно. ¨ Свойство 3. Обратно, мы всегда построим некоторую мультипликативную функцию q (a), если зададим q (1) = 1 и произвольно определим q (р a) для всех простых р и всех натуральных a, а для остальных натуральных чисел доопределим функцию q (a) используя равенство . Доказательство сразу следует из основной теоремы арифметики. ¨ Пример 2. Пусть q (1) = 1 и q (р a) = 2 для всех р и a. Тогда, для произвольного числа, . Свойство 4. Произведение нескольких мультипликативных функций является мультипликативной функцией. Доказательство. Сначала докажем для двух сомножителей: Пусть q 1 и q 2 - мультипликативные функции q = q 1 · q 2 , тогда (проверяем аксиомы определения)
1) q (1) = q 1 (1) · q 2 (1) = 1 и, кроме того, существует такое a (это a = 1), что q (a) ¹ 0. 2) Пусть (a, b) = 1 - взаимно просты. Тогда q (a · b) = q 1 (a · b) · q 2 (a · b) = = q 1 (a) q 1 (b) q 2 (a) q 2 (b) = = q 1 (a) q 2 (a) · q 1 (b) q 2 (b) = q (a) q (b). Доказательство для большего числа сомножителей проводится стандартным индуктивным рассуждением. ¨ Введем удобное обозначение. Всюду далее, символом будем обозначать сумму чего-либо, в которой суммирование проведено по всем делителям d числа n. Следующие менее очевидные, чем предыдущие, свойства мультипликативных функций я сформулирую в виде лемм, ввиду их важности и удобства дальнейших ссылок. Лемма 1. Пусть - каноническое разложение числа a Î N, q - любая мультипликативная функция. Тогда: Если a = 1, то считаем правую часть равной 1. Доказательство. Раскроем скобки в правой части. Получим сумму всех (без пропусков и повторений) слагаемых вида , где 0 £ b k £ a k , для всех k £ n. Так как различные простые числа заведомо взаимно просты, то , а это как раз то, что стоит в доказываемом равенстве слева. ¨ Лемма 2. Пусть q (a) - любая мультипликативная функция. Тогда , - также мультипликативная функция. Доказательство. Проверим для c (a) аксиомы определения мультипликативной функции. 1). 2). Пусть и все р и q различны. Тогда, по предыдущей лемме, имеем: (благо, делители у чисел a и b различны) ¨ Итак, я перечислил шесть свойств мультипликативных функций, которые пригодятся нам в дальнейшем. Просьба хорошенько их запомнить и не унывать даже в самой тяжелой жизненной ситуации.
(1) Самым первым на планете Земля этот факт установил О. Коши, интересовавшийся решениями функциональных уравнений следующих четырех видов:
f (a + b) = f (a) + f (b); f (a + b) = f (a) f (b); f (ab) = f (a) + f (b); f (ab) = f (a) f (b). Он установил, что непрерывные решения этих уравнений имеют, соответственно, вид (в классе разрывных функций могут быть и другие решения): Cx; e Cx ; C ln x; x C (x > 0).
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|