Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Пункт 13. Мультипликативные функции.




В этом пункте с "чертоводюжинным" номером речь пойдет об одном важном классе функций, которому в теории чисел посвящены целые монографии (см., напр., книжку Г.Дэвенпорта "Мультипликативная теория чисел").

Определение. Функция q: R ® R (или, более общо, q: C ® C) называется мультипликативной если:

1). Функция q определена всюду на N и существует а Î N такой, что q (а) ¹ 0.

2). Для любых взаимно простых натуральных чисел а 1 и а 2 выполняется q (а 1 · а 2 ) = q (а 1 ) · q (а 2 ).

Пример 1. q (а) = а s , где s - любое (хоть действительное, хоть комплексное) число. Проверка аксиом 1) и 2) из определения мультипликативной функции не составляет труда, а сам пример показывает, что мультипликативных функций по меньшей мере континуум, т.е. много.

Перечислим, кое-где доказывая, некоторые свойства мультипликативных функций. Пусть всюду ниже q (а) - произвольная мультипликативная функция.

Свойство 1. q (1) = 1.

Доказательство. Пусть а - то самое натуральное число, для которого q (а) ¹ 0. Тогда q (а · 1) = q (а) · q (1) = q (а).

¨

Свойство 2.

,

где р 1 , р 2 ,..., р n - различные простые числа.

Доказательство очевидно.

¨

Свойство 3. Обратно, мы всегда построим некоторую мультипликативную функцию q (a), если зададим q (1) = 1 и произвольно определим q (р a) для всех простых р и всех натуральных a, а для остальных натуральных чисел доопределим функцию q (a) используя равенство

.

Доказательство сразу следует из основной теоремы арифметики.

¨

Пример 2. Пусть q (1) = 1 и q (р a) = 2 для всех р и a. Тогда, для произвольного числа,

.

Свойство 4. Произведение нескольких мультипликативных функций является мультипликативной функцией.

Доказательство. Сначала докажем для двух сомножителей: Пусть q 1 и q 2 - мультипликативные функции q = q 1 · q 2 , тогда (проверяем аксиомы определения)

1) q (1) = q 1 (1) · q 2 (1) = 1 и, кроме того, существует такое a (это a = 1), что q (a) ¹ 0.

2) Пусть (a, b) = 1 - взаимно просты. Тогда

q (a · b) = q 1 (a · b) · q 2 (a · b) =

= q 1 (a) q 1 (b) q 2 (a) q 2 (b) =

= q 1 (a) q 2 (a) · q 1 (b) q 2 (b) = q (a) q (b).

Доказательство для большего числа сомножителей проводится стандартным индуктивным рассуждением.

¨

Введем удобное обозначение. Всюду далее, символом

будем обозначать сумму чего-либо, в которой суммирование проведено по всем делителям d числа n. Следующие менее очевидные, чем предыдущие, свойства мультипликативных функций я сформулирую в виде лемм, ввиду их важности и удобства дальнейших ссылок.

Лемма 1. Пусть

- каноническое разложение числа a Î N, q - любая мультипликативная функция. Тогда:

Если a = 1, то считаем правую часть равной 1.

Доказательство. Раскроем скобки в правой части. Получим сумму всех (без пропусков и повторений) слагаемых вида

,

где 0 £ b k £ a k , для всех k £ n. Так как различные простые числа заведомо взаимно просты, то

,

а это как раз то, что стоит в доказываемом равенстве слева.

¨

Лемма 2. Пусть q (a) - любая мультипликативная функция. Тогда

,

- также мультипликативная функция.

Доказательство. Проверим для c (a) аксиомы определения мультипликативной функции.

1).

2). Пусть

и все р и q различны. Тогда, по предыдущей лемме, имеем: (благо, делители у чисел a и b различны)

¨

Итак, я перечислил шесть свойств мультипликативных функций, которые пригодятся нам в дальнейшем. Просьба хорошенько их запомнить и не унывать даже в самой тяжелой жизненной ситуации.

Задачки 1. Предлагаю читателю самостоятельно доказать обратное утверждение к лемме 2 настоящего пункта, а именно, если - мультипликативная функция и функция q (n) всюду определена хотя бы на N, то q (n) также обязана быть мультипликативной функцией. 2. Пусть q (p a) = a для всех простых р. Вычислите а) q (864); б) q (49500). 3. Пусть q (p a) = a для всех простых р. Вычислите
  4. Пусть вещественная мультипликативная функция f (x) определена и непрерывна для всех x > 0. Докажите, что f (x) = x s для некоторого s Î R, т.е. примером 1 настоящего пункта исчерпываются все непрерывные мультипликативные функции. (1)

(1) Самым первым на планете Земля этот факт установил О. Коши, интересовавшийся решениями функциональных уравнений следующих четырех видов:

f (a + b) = f (a) + f (b); f (a + b) = f (a) f (b);

f (ab) = f (a) + f (b); f (ab) = f (a) f (b).

Он установил, что непрерывные решения этих уравнений имеют, соответственно, вид (в классе разрывных функций могут быть и другие решения):

Cx; e Cx ; C ln x; x C (x > 0).

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...