Пункт 24. Мера и категория на прямой.

В этом пункте я приведу некоторые предварительные сведения из математического анализа необходимые для понимания дальнейшего изложения. В математике придумано довольно много различных формализаций понятия “малости” множества. Нам понадобятся два из них - множества меры нуль и множества первой категории по Бэру. Оба эти понятия опираются на понятие счетности множества. Известно, что множество рациональных чисел счетно (| Q |= À ₀ ), и что любое бесконечное множество содержит счетное подмножество, т.е. счетные множества самые “маленькие” из бесконечных. Между любым счетным множеством и множеством натуральных чисел N существует биективное отображение, т.е. элементы любого счетного множества можно перенумеровать, или, другими словами, любое счетное множество можно выстроить в последовательность. Ни один интервал на прямой не является счетным множеством. Это, очевидно, вытекает из следующей теоремы.

Теорема 1 (Кантор). Для любой последовательности { a _n } действительных чисел и для любого интервала I существует точка р Î I такая, что p ¹ a _n для любого n Î N.

Доказательство. Процесс. Берем отрезок (именно отрезок, вместе с концами) I ₁ Ì I такой, что a ₁ Ï I ₁ . Из отрезка I ₁ берем отрезок I ₂ Ì I ₁ такой, что a ₂ Ï I ₂ и т.д. Продолжая процесс, из отрезка I _{n -1} берем отрезок I _n Ì I _{n -1} такой, что a _n Ï I _n . В результате этого процесса получаем последовательность вложенных отрезков I ₁ É I ₂ É … É I _n É … пересечение
которых, как известно с первого курса, непусто, т.е. содержит некоторую точку
. Очевидно, что p ¹ a _n при всех n Î N.

¨

Я не думаю, что читатели ранее не встречались с этим изящным доказательством (хотя в моей практике встречались и очень темные студенты), просто идея этого доказательства далее будет использована при доказательстве теоремы Бэра и поэтому ее полезно напомнить заранее.

Определение. Множество А плотно в интервале I, если оно имеет непустое пересечение с каждым подинтервалом из I. Множество А плотно, если оно плотно в R. Множество А нигде не плотно, если оно не плотно ни в каком интервале на действительной прямой, т.е. каждый интервал на прямой содержит подинтервал, целиком лежащий в дополнении к А.

Легко понять, что множество А нигде не плотно тогда и только тогда, когда его дополнение A ¢ содержит плотное открытое множество. Легко понять, что множество А нигде не плотно тогда и только тогда, когда его замыкание
не имеет ни одной внутренней точки.

Нигде не плотные множества на прямой интуитивно ощущаются маленькими в том смысле, что в них полным полно дыр и точки такого множества расположены на прямой довольно редко. Некоторые свойства нигде не плотных множеств сформулируем скопом в виде теоремы.

Теорема 2. 1) Любое подмножество нигде не плотного множества нигде не плотно.

2) Объединение двух (или любого конечного числа) нигде не плотных множеств нигде не плотно.

3) Замыкание нигде не плотного множества нигде не плотно.

Доказательство. 1) Очевидно.

2) Если A ₁ и A ₂ нигде не плотны, то для каждого интервала I найдутся интервалы I ₁ Ì (I \ A ₁ ) и I ₂ Ì (I ₁ \ A ₂ ). Значит, I ₂ Ì I \(A ₁ È A ₂ ), а это означает, что A ₁ È A ₂ нигде не плотно.

3) Очевидно, что любой открытый интервал, содержащийся в A ¢, содержится также и в
.

Таким образом, класс нигде не плотных множеств замкнут относительно операции взятия подмножеств, операции замыкания и конечных объединений. Счетное объединение нигде не плотных множеств, вообще говоря, не обязано быть нигде не плотным множеством. Пример тому - множество рациональных чисел, которое всюду плотно, но является счетным объединением отдельных точек, каждая из которых образует одноэлементное нигде не плотное множество в R.

Определение. Множество, которое можно представить в виде конечного или счетного объединения нигде не плотных множеств, называется множеством первой категории (по Бэру). Множество, которое нельзя представить в таком виде, называется множеством второй категории.

Теорема 3. 1) Дополнение любого множества первой категории на прямой является плотным.

2) Никакой интервал в R не является множеством первой категории.

3) Пересечение любой последовательности плотных открытых множеств является плотным множеством.

Доказательство. Три сформулированных в теореме свойства являются по существу эквивалентными. Докажем первое. Пусть

– представление множества А первой категории в виде счетного объединения нигде не плотных множеств, I – произвольный интервал. Далее - процесс как в доказательстве теоремы Кантора. Выберем отрезок (именно отрезок, вместе с концами) I ₁ Ì (I \ A ₁ ). Это возможно сделать, так как в дополнении к нигде не плотному множеству A ₁ внутри интервала I всегда найдется целый подинтервал, а он, в свою очередь, содержит внутри себя целый отрезок. Выберем отрезок I ₂ Ì (I ₁ \ A ₂ ). Выберем отрезок I ₃ Ì (I ₂ \ A ₃ ) и т.д. Пересечение вложенных отрезков
не пусто, следовательно, дополнение I \ A не пусто, а это означает, что дополнение A ¢ плотно.

Второе утверждение теоремы непосредственно следует из первого, третье утверждение также следует из первого, если только сделать над собой усилие и перейти к дополнениям последовательности плотных открытых множеств.

¨

Определение. Класс множеств, содержащий всевозможные конечные или счетные объединения своих членов и любые подмножества своих членов, называется s - идеалом.

Очевидно, что класс всех не более чем счетных множеств является s -идеалом. После небольших размышлений, легко понять, что класс всех множеств первой категории на прямой также является s -идеалом. Еще один интересный пример s -идеала дает класс так называемых нуль-множеств (или множеств меры нуль).

Определение. Множество А Ì R называется множеством меры нуль (нуль-множеством), если А можно покрыть не более чем счетной совокупностью интервалов, суммарная длина которых меньше любого наперед заданного числа e >0, т.е. для любого e >0 существует такая последовательность интервалов I _n , что
и å ½ I _n ½ < e.

Понятие нуль-множества является другой формализацией интуитивного понятия “малости” множества: нуль-множества - это множества маленькие по длине. Очевидно, что отдельная точка является нуль-множеством и что любое подмножество нуль-множества само является нуль-множеством. Поэтому тот факт, что нуль-множества образуют s -идеал вытекает из следующей теоремы.

Теорема 4 (Лебег). Любое счетное объединение нуль-множеств является нуль-множеством.

Доказательство. Пусть A _i – нуль-множества, i = 1, 2,.... Тогда для каждого i существует последовательность интервалов I _ij (j =1, 2,...) такая, что
и
. Множество всех интервалов I _ij покрывает А и сумма их длин меньше e, так как
. Значит, А – нуль-множество.

¨

Никакой интервал или отрезок не является нуль-множеством, т.к. справедлива

Теорема 5 (Гейне – Борель). Если конечная или бесконечная последовательность интервалов I _n покрывает интервал I, то

S ½ I _n ½ ³ ½ I ½.

Я не буду приводить здесь доказательство этой интуитивно очевидной теоремы ибо его можно найти в любом мало-мальски серьезном курсе математического анализа.

Из теоремы Гейне-Бореля следует, что s -идеал нуль-множеств, подобно s -деалам не более чем счетных множеств и множеств первой категории не содержит интервалов и отрезков. Общим между этими тремя s -идеалами является также то, что они включают в себя все конечные и счетные множества. Кроме того, существуют несчетные множества первой категории меры нуль. Наиболее знакомый пример такого множества - канторово совершенное ^(*) множество c Ì [0;1], состоящее из чисел, в троичной записи которых нет единицы. Вспомните процесс построения канторова совершенного множества: отрезок [0;1] делится на три равные части и средний открытый интервал выкидывается. Каждая из двух оставшихся третей отрезка снова делится на три равные части и средние открытые интервалы из них выкидываются и т.д. Очевидно, что оставшееся после этого процесса множество нигде не плотно, т.е. первой категории. Легко подсчитать, что суммарная длина выкинутых средних частей равна единице, т.е. с имеет меру нуль. Известно, что с несчетно, т.к. несчетно множество бесконечных последовательностей, состоящих из нулей и двоек (каждый элемент с представляется троичной дробью в которой после запятой идет именно последовательность из нулей и двоек).

Предлагаю читателям самостоятельно проверить, что существуют множества первой категории, не являющиеся нуль-множествами, и существуют нуль-множества, не являющиеся множествами первой категории (впрочем, если вас затруднит придумывание соответствующих примеров, не отчаивайтесь, а просто дочитайте этот пункт до теоремы 6).

Таким образом, картинка соотношений между рассматриваемыми тремя s -идеалами такова:

N– не более чем счетные множества B– множества первой категории О– множества меры нуль

Итак, мы ввели два понятия малости множеств. Нет ничего парадоксального, что множество, малое в одном смысле, может в другом смысле оказаться большим. Следующая теорема неплохо иллюстрирует эту мысль и показывает, что в некоторых случаях, введенные нами понятия малости могут оказаться диаметрально противоположными.

Теорема 6. Числовую прямую можно разбить на два дополняющих друг друга множества А и В так, что А есть множество первой категории, а В имеет меру нуль.

Доказательство. Пусть a ₁ , a ₂ ,…, a _n ,… – занумерованное множество рациональных чисел (или любое другое счетное всюду плотное подмножество R). Пусть I _ij – открытый интервал длины 1/2 _i+j c центром в точке a _i . Рассмотрим множества:

, j =1,2,...;

; A = R \ B = B ¢.

Очевидно, что для любого e >0, можно выбрать j так, что 1/2 ^j < e. Тогда

,

,

следовательно, В – нуль-множество.

Далее,
– плотное открытое подмножество R т.к. оно есть объединение последовательности открытых интервалов и содержит все рациональные точки. Это означает, что его дополнение G _j ¢ нигде не плотно, следовательно
– множество первой категории.

¨

Не правда ли, удивительный результат! Из доказанной теоремы следует, что каждое подмножество прямой, оказывается, можно представить в виде объединения нуль-множества и множества первой категории. В следующем пункте мы рассмотрим конкретное разбиение R на два подмножества, одно из которых - трансцендентные числа Лиувилля - меры нуль, но второй категории по Бэру. Скорей в следующий пункт!

Задачки

1.Приведите пример двух всюду плотных множеств, пересечение которых не является всюду плотным. Приведите пример всюду плотного множества, дополнение до которого также всюду плотно. 2.Существует ли несчетное множество меры нуль, плотное на отрезке [0;1]? 3.Какова мера и категория множества тех точек отрезка [0;1], которые допускают разложение в десятичную дробь без использования цифры 7? 4.Какова мера и категория множества тех точек отрезка [0;1], в записи которых в виде бесконечной двоичной дроби на всех четных местах стоят нули? Является ли это множество совершенным? 5.Пусть множество Е на отрезке [0;1] имеет меру нуль. Является ли его замыкание множеством меры нуль? 6.Пусть множество Е нигде не плотно на отрезке [0;1] и имеет меру нуль. Является ли его замыкание множеством меры нуль? 7.Существуют ли такие два всюду плотные несчетные множества на прямой, пересечение которых пусто? 8.Постройте на отрезке [0;1] совершенное нигде не плотное множество ненулевой меры. 9.Пусть s >0, A Í R. Говорят, что множество А имеет нулевую s -мерную меру Хаусдорфа, если для любого e >0 существует последовательность интервалов I n такая, что: и ½ I n ½ < e при всех n. Докажите, что семейство всех множеств нулевой s -мерной меры Хаусдорфа образует s -идеал; при s =1 он совпадает с классом нуль-множеств, а при 0< s <1 является его собственным подклассом. 10.Пусть последовательность f n (x) непрерывных функций поточечно сходится к функции f (x) на отрезке [0;1]. Докажите, что множество точек разрыва функции f (x) на этом отрезке является множеством первой категории. **)

Пункт 25. Числа Лиувилля.

Определение 1. Число zÎ C называется алгебраическим, если оно является корнем некоторого алгебраического уравнения

a_nzⁿ+...+a₂z²+a₁z¹+a₀=0

все коэффициенты a₀,a₁,...,a_n которого суть целые числа, не равные одновременно нулю.

Безусловно, множество алгебраических чисел не изменится, если в определении 1 коэффициентам алгебраического уравнения позволить быть произвольными рациональными числами, но нам удобнее пока считать эти коэффициенты целыми.

Определение 2. Степенью алгебраического числа называется наименьшая степень уравнения с целыми коэффициентами, которому это число удовлетворяет.

Пример. Число Ö2- алгебраическое степени 2, так как оно есть корень уравнения x²-2=0, но не является корнем никакого уравнения степени 1 с целыми коэффициентами. Действительно, если aÖ2+b=0, то Ö2=-b/a=m/n и пусть m/n - несократимая дробь. Следовательно, 2n²=m², т.е. m - четно, m=2k, 2n²=4k², n²=2k², значит n - четно, что противоречит несократимости дроби m/n.

Теорема 1. Множество А всех алгебраических чисел счетно.

Доказательство. Для любого многочлена с целыми коэффициентами a_nzⁿ+...+a₂z²+a₁z¹+a₀, a_n¹0 определим натуральное число

– вес этого многочлена. Очевидно, что для любого заданного веса р существует лишь конечное число многочленов, имеющих такой вес. Следовательно, многочленов с целыми коэффициентами счетное число, и, поскольку каждый многочлен имеет лишь конечное число корней, множество А всех алгебраических чисел счетно.

¨

Из этой простенькой теоремы, открытой Георгом Кантором, вытекает

Следствие. Существует аж целый континуум неалгебраических чисел!

Следствие вытекло.

Определение2. Число a Î R, не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным.

Теорема 1 эффектна, изящна и проста, поэтому трудно ожидать от нее каких-то реальных конструктивных следствий. Она лишь утверждает существование трансцендентных чисел, но не дает ни одного конкретного примера. Исторически первый пример трансцендентного числа построил, как уже отмечалось, в 1844 году некто Лиувилль, и мы сейчас приступаем к воспроизведению произведения этого выдающегося французского некто.

Лемма (Лиувилль). Для любого действительного алгебраического числа z степени n>1 (т.е. иррационального) найдется натуральное число М такое, что

при всех целых р и q, q>0.

Доказательство. Пусть f(x) - тот самый многочлен степени n с целыми коэффициентами, для которого f(z)=0. Поскольку производная f '(x) многочлена f(x) есть функция если не глупая, то уж точно ограниченная на отрезке |z-x|£1, то найдется такое натуральное число М, что |f '(x)|£M для всех х из отрезка |z-x|£1. По теореме о среднем значении:

|f(x)|=|f(z)-f(x)|£M×|z-x|.

Возьмем теперь любые два целых числа р и q, q>0 и вспомним, что нужно показать

.

Очевидно, что это верно при |z - p/q|>1, т.к. M³1, q³1. Пусть |z - p/q|£1. Тогда

|f(p/q)|£M×|z - p/q|.

Умножим полученное неравенство на qⁿ:

|qⁿf(p/q)|£M×qⁿ×|z - p/q|.

Ясно, что уравнение f(x)=0 не имеет рациональных корней, иначе число z имело бы меньшую степень (многочлен f(x) разложился бы на множители, один из которых суть (x - p/q), а иррациональное z оказалось бы корнем второго множителя меньшей степени). Таким образом, f(p/q)¹0, а qⁿf(p/q) – целое и не равное нулю число. Значит, |qⁿf(p/q)|³1, следовательно,

1£M×qⁿ×|z - p/q| т.е.

|z - p/q|³ 1/Mqⁿ.

Равенство невозможно, так как z иррационально.

¨

Трудно объяснить, но меня почему-то приводит в восхищение последняя фраза из доказательства леммы Лиувилля: "Равенство невозможно, так как z иррационально" - кратко, просто и неоспоримо. Сказал - как отрезал. Кроме того, к моменту произнесения этой фразы читатели уже наверняка забыли (во всяком случае, студенты на лекции напрочь забывают), что нужно доказывать строгое неравенство, поэтому "нежданной шуткой огорошить" вдвойне приятно.

В параграфе 2, посвященном цепным дробям, мы немножечко поговорили о приближении действительных чисел рациональными дробями, отметив, в частности, что подходящая дробь - наилучшее приближение данного числа среди всех дробей, знаменатели которых не превосходят знаменатель подходящей дроби. Лемма Лиувилля тоже, фактически, относится к теории приближения действительных чисел рациональными, так как она говорит нам, что алгебраические числа весьма плохо приближаются рациональными дробями с заданным знаменателем. Возникает мысль, что именно этим своим свойством алгебраические числа вполне могут отличаться (и отличаться разительно) от других иррациональных чисел, если, конечно, таковые существуют. Идея, ударившая Лиувилля, как раз и заключалась в том, чтобы рассмотреть утверждение леммы как отличительное характеристическое свойство алгебраических иррациональностей. После этой простой, но сильной мысли, Лиувиллю для изобретения трансцендентных чисел оставалось совсем немного - придумать иррациональное число, которое очень хорошо приближается рациональными дробями, и проверить, что такое число обязано быть трансцендентным.

Определение 3. Действительное число z называется числом Лиувилля, если z иррационально и для каждого натурального n существуют целые p и q такие, что q>1 и

|z - p/q|<.

Пример 1 (с помощью ряда). Рассмотрим число

- в десятичной дроби единички стоят на месте с номером k!, остальные позиции заняты нулями. Число z иррационально, т.к. данная десятичная дробь не периодическая (Действительно, пусть ее период имеет длину а. Он должен содержать хоть одну единичку, но в записи этой дроби есть промежутки, состоящие из а нулей подряд.)

Пусть nÎ N. Возьмем

.

Тогда:

– рациональное число,

так как n×n!<(n+1)!=(n+1)×n!. Итак, z - число Лиувилля.

Пример 2 (с помощью цепной дроби). Пусть

,

где последовательность неполных частных q₁<q₂<...<q_s<... возрастает так, что q_s+1³Q_s^s-2 (Q_s – знаменатель s -ой подходящей дроби числа z). Тогда для произвольного натурального n возьмем в определении чисел Лиувилля p=P_n, q=Q_n и вспомним свойства подходящих дробей:

.

Итак, z опять-таки окажется числом Лиувилля, как только я приведу пример достаточно быстро возрастающей последовательности q₁<q₂<...<q_s<... неполных частных. Нужно, чтобы q_s+1³Q_s^s-2. Положим q₁=0, q₂=1, и начнем заполнять стандартную таблицу, вычисляя Q_s через уже вычисленные q_s и q_s-1, а затем ставя на место q_s+1 число Q_s^s-2:

n									...
qn					Q31=2	Q42=25	Q53=2048388	Q64=...	...
Qs								...	...

Вторая строчка получающейся таблицы как раз и содержит требуемую последовательность.

Используя известную формулу Стирлинга для факториалов больших чисел

, можно доказать, что скорость роста построенной последовательности ~nⁿ, т.е. очень большая. Обратите внимание, что в примере 1 скорость роста знаменателей была того же порядка.

Теорема 2. Любое число Лиувилля трансцендентно.

Доказательство. Ну пусть некоторое число Лиувилля z оказалось алгебраическим степени n. Тогда n>1, т.к. z - иррационально. По лемме Лиувилля найдется такое натуральное М, что

|z - p/q|>1/Mqⁿ

для всех целых p, q и q>0. Пусть kÎ N таково, что 2^k>2ⁿM. Так как z - число Лиувилля, то для этого k найдутся p и q, q³2,

(тонкий момент! Целое число q - не ноль! И не единица! Значит - не меньше двух!)

такие, что

|z - p/q|< 1/q^k,

следовательно,

1/q^{k > 1/Mqn},

Mqⁿ>q^k,

и, после деления на qⁿ,

M>q^k-n³2^k-n>M

- противоречие.

¨

Вот так, дорогие товарищи, получается, что числа из примеров

1 и 2 - самые что ни на есть трансцендентные. Посмотрите на них внимательно и поуважайте их - ни один многочлен с целыми коэффициентами не может обратить их в нуль, настолько они тверды и по-революционному непоколебимы. Из примера 2 видно, что цепная дробь представляет собой число Лиувилля, если последовательность неполных частных растет очень быстро. Однако это лишь достаточное условие трансцендентности цепной дроби, но вовсе не необходимое. Зияющая пустота наших знаний о природе-матушке в этом круге вопросов состоит в том, что до сих пор никто не может доказать необходимость быстрого возрастания неполных частных, и, напротив, не известно ни одного примера трансцендентного числа, цепная дробь которого имела бы, например, ограниченную последовательность неполных частных. Дерзайте, отроки! Проясните эти вопросы и Ваше имя золотыми буквами будет грядущее протыкать.

Перейдем теперь к вопросу о величии множества Е всех чисел Лиувилля. Ясно, что

,

где Q' – дополнение до множества рациональных чисел, а

– объединение интервалов.

Теорема 3. Е - нуль-множество второй категории, а E' - множество первой категории.

Доказательство. Сначала категория. G_n – объединение интервалов, все числа вида p/q, q³2 входят в G_n, следовательно QÌG_n и G_n – плотное и открытое. Значит, дополнение G'_n нигде не плотно и

- множество первой категории. Следовательно, Е - всюду плотно (как дополнение множества первой категории) и само второй категории.

Теперь мера. Для любого натурального n

EÍG_n.

Рассмотрим множества

,

где q = 2, 3,...

Фиксируем натуральные m и n. Имеем:

Это означает, что

можно покрыть интервалами, суммарная длина которых есть:

Таким образом,

- нуль-множество, значит и

- нуль-множество.

¨

Теорема 3, дорогие читатели, как раз и дает обещанный в предыдущем пункте конкретный пример разбиения числовой прямой на два множества R =EÈE', первое из которых - меры нуль но второй категории, а второе - первой категории. Не перепутайте первую со вторым, а второе с первым. Считаю краткую экскурсию в мир чисел Лиувилля законченой.

Задачки

1. Выпишите все многочлены с целыми коэффициентами веса 4. Сколько их? 2. Докажите иррациональность числа Ц2+Ц2ч2+2=0 являются алгебраическими числами. Найдите их степень. 5. Докажите, что все корни многочлена f(x)=x5-3x2+12x-6 – алгебраические числа пятой степени. 6. Для числа z=(1+Ö5)/2 найдите натуральное М такое, что |z - p/q| > 1/Mqn при всех целых р и q, q>0. 7. Докажите, что число является числом Лиувилля. 8. Докажите, что число является числом Лиувилля. 9. Докажите, что множество Е всех чисел Лиувилля имеет нулевую s -мерную меру Хаусдорфа при любом s>0.

Пункт 26. Число e»2,718281828459045...

Матушка-природа подарила нам несколько замечательных констант, весьма неожиданно появляющихся при попытках математического выражения и записи законов разных наук. С одной из таких констант - “основанием натуральных логарифмов” - мы познакомимся поближе в этом пункте.

Когда-то давно я учился в средней школе № 110 г. Свердловска. В школе нам страшно повезло - судьба послала нам великого учителя, сухощавого математика на железной ноге Николая Ивановича Слободчакова, по прозвищу “Колываныч”. Самым загадочным образом хулиганы и двоечники становились у него отличниками, а математика - любимым предметом. Еще в восьмом классе Колываныч говорил нам: “Дети! Запомните, что основание натуральных логарифмов обозначается буквой e в честь Леонарда Ейлера, а запомнить его десятичные знаки очень просто. Два и семь - помнят все. Дальше - 1828, - год рождения Льва Николаевича Толстого. Дальше - снова 1828, - год рождения Жюль Верна, а если вы тупые, то - опять год рождения Толстого. Потом идут углы равнобедренного прямоугольного треугольника - 45, 90, 45. А что идет потом - я сам не знаю...”. Потом Николай Иванович доказал нам, что 2< e <3 и загробным голосом сказал: ” Число e - трансцендентно!”. Этим словом мы потом обзывались на переменках. Когда я поступил в университет, я узнал, что

;
;
e - основание показательной функции, являющейся
решением задачи Коши: y¢ = y, y (0)=1;

и многое многое другое. Вразумительный ответ на вопрос, почему именно число e наиболее естественно взять за основание логарифмов, которые с таким основанием сразу становятся натуральными и пригодными к употреблению даже в период беременности, я нашел в книжке Ф. Клейна “Элементарная математика с точки зрения высшей”, том 1, “Арифметика, алгебра, анализ”. Настоятельно советую ее прочитать, так как считаю, что с подобными книжками должен быть знаком каждый мало-мальски грамотный математик, ибо такие книжки составляют золотой фонд литературы о любимой нами науке.

Ряд сходится быстро (чего нельзя сказать про известные ряды, например, для числа p). Это значит, что частичные суммы ряда , будучи рациональными числами, очень хорошо приближают число e, поэтому естественно ожидать, что трансцендентность e удастся доказать относительно легко (а исследование природы числа p потребует гораздо больших усилий). Эти эвристические соображения действительно находят свое подтверждение на практике, но не будем торопить события и начнем по порядку.

Теорема 1. Число e иррационально.

Доказательство. Рассмотрим числа

и
.

Очевидно, что A_n Î N, a_n >0. Оценим a_n сверху:

Итак, 0< a_n <1, т.е. a_n - всегда дробное число. Это означает, что при любом натуральном n, число n! e = A_n + a_n не является целым.

Пусть теперь e = p / q - рациональное число, p, q Î N. Тогда q! e = q! p/q =(q -1! p) - целое число, что вопиюще противоречит факту, установленному тремя строчками выше.

¨

Для доказательства трансцендентности героя этого пункта потребуются две леммы.

Лемма 1. Если g (x) – многочлен с целыми коэффициентами, то для любого k Î N все коэффициенты его k- ой производной g^(k) (x) делятся на k!.

Доказательство. Так как оператор d/dx линейный, то утверждение леммы достаточно проверить только для многочленов вида g (x)= x ^s, s ³ 0.

Если k > s, то g^(k) (x)º 0 и k!|0.

Если k£ s, то

биномиальный коэффициент (^s_k) является целым числом и g^(k) (x) опять-таки делится на k! нацело.

¨

Ключевая идея доказательства трансцендентности числа e принадлежит Шарлю Эрмиту. Впрочем, идея Эрмита сработала и при доказательстве трансцендентности числа p, а также некоторых других чисел специального вида, но это уже заслуга других математиков. А трансцендентность непосредственно числа e доказал Эрмит в 1873 году и это был исторически первый решительный прорыв в познание природы замечательных констант. Слава Эрмиту!!!!! (Это четыре восклицательных знака и один факториал.)

Лемма 2 (Тождество Эрмита). Пусть f (x) - произвольный многочлен степени k с действительными коэффициентами,

F(x)= f (x)+ f¢ (x)+ f¢ ¢ (x)+…+ f^(k) (x) - сумма всех его производных. Тогда для любого действительного (и даже комплексного, но нам это пока не понадобится) x выполнено:

(ª)

Доказательство. Интегрируем по частям:

Интеграл снова подвергнем процедуре интегрирования по частям, потом этой прцедуре подвергнем интеграл и так далее. Терпеливо повторив эту процедуру всего k +1 раз, получим:

¨

Теорема 2 (Эрмит, 1873). Число е трансцендентно.

Доказательство. От противного. Ну пусть е - алгебраическое, степени m. Тогда

a_me^m +…+ a ₁ e + a ₀=0

для некоторого натурального m и некоторых целых a_m,… a ₁, a ₀, причем, очевидно, a_m¹ 0 и a ₀¹ 0. Подставим в тождество Эрмита (ª) вместо х целое число k, попросим k принимать по очереди значения 0, 1,..., m; умножим каждое равенство

соответственно на a_k, а затем все их сложим. Получим:

Так как (это наше противное предположение), то выходит, что для любого многочлена f (x) должно быть выполнено равенство:

(ªª)

Противоречие, которое углядел Эрмит в этом равенстве, сразу и не заметишь. Но Эрмит на то и Эрмит, чтобы превосходить интеллектом 15756 наугад вместе взятых китайцев и двух Мао Цзэ-дунов. Он сначала сердцем почуял, а потом и мозгами воткнулся, что за счет подходящего выбора многочлена f (x) можно сделать левую часть (ªª) ненулевым целым числом, а правая часть при этом окажется между нулем и единицей.

Возьмем многочлен , где n определим позже (nÎ N, и n будет очень большое).

Число 0 - корень кратности n -1 многочлена f (x), числа 1, 2,..., m - корни кратности n, следовательно:

f ^(l)(0)=0, l =1,2,…, n -2
f ^(n-1)(0)=(-1) ^mn (m!) ⁿ
f ^(l)(k)=0, l =0,1, …, n -1; k =1,2,…, m

Рассмотрим j (x) = x^{n -1}(x -1) ⁿ (x -2) ⁿ …(x-m) ⁿ - многочлен, ужасно похожий на f (x), но с целыми коэффициентами. По лемме 1, коэффициенты j ^(l)(x) - целые числа, делящиеся на l!, следовательно, при l ³ n, у производной j^(l)(x) все коэффициенты - целые числа, делящиеся на n, т.к. j^(l)(x) получается из j ^(l)(x) делением только на (n –1)!. Именно поэтому

где А – подходящее целое число, а над знаком суммы стоит число (m +1) n -1 - степень многочлена f (x) и, хоть суммировать можно и до бесконечности, ненулевых производных у f (x) именно столько.

Аналогично

где B_k – подходящие целые числа, k = 1, 2,..., m.

Пусть теперь nÎ N - любое целое число, удовлетворяющее условиям:

Снова рассмотрим равенство (ªª):

В сумме слева все слагаемые - суть целые числа, причем a_kF (k) при k = 1, 2,..., m делится на n, а a ₀ F (0) на n не делится. Это означает, что вся сумма, будучи целым числом, на n не делится, т.е. не является нулем. Следовательно,

Уф-ф!

Оценим теперь правую часть равенства (ªª). Ясно, что½ x-k ½ £ m на отрезке [0; m ]. Поэтому на этом отрезке

Тогда:

где константы C ₀ и C ₁ не зависят от n. Известно, что

<

⇐ Предыдущая13141516171819202122

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: