Формы условий равновесия произвольной плоской системы сил

Первая форма условий равновесия

 

Для равновесия произвольной плоской системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор R этих сил и их главный момент M_o относительно произвольной точки O, лежащей в плоскости действия этих сил, были равны нулю, т.е.

 

ΣF_k = 0, ΣM_o(F_k) = 0 (1.3)

 

В координатной форме эти условия выражаются следующими тремя уравнениями:

 

ΣF_kx = 0, ΣF_ky = 0, ΣM_o(F_k) = 0. (1.4)

 

Уравнения (1.4) носят название первой формы условий равновесия для произвольной плоской системы сил.

 

Равновесие плоских систем сил, расположенных произвольно на плоскости, можно выразить еще в двух других эквивалентных формах необходимых и достаточных условий равновесия.

Вторая форма условий равновесия (теорема о трех моментах)

 

Теорема о трех моментах – алгебраическая сумма моментов сил относительно трех произвольных точек A,B,C, не лежащих на одной прямой, равна нулю, т.е.

 

ΣM_A(F_k) = 0, ΣM_B(F_k) = 0, ΣM_C(F_k) = 0; (1.5)

 

Необходимость этих условий очевидна, т.к. если плоская система сил находится в равновесии, то выполняется первая форма условий равновесия (1.4).

 

А тогда из последнего равенства (1.4) следует, что сумма моментов всех сил относительно любой точки, следовательно, и точек А, В, С равняется нулю, т.е. выполняются условия (1.5).

 

Достаточность условий (1.5) следует из того, что если выполняются условия (1.5), а данная система сил не находится в равновесии, то она должна была бы приводиться к равнодействующей, одновременно проходящей через точки А, В, С.

 

Это невозможно, т.к. точки А, В, С не лежат на одной прямой. Следовательно, если выполняются условия (1.5), то имеет место равновесие.

Третье условие равновесия

Третья форма условий равновесия – алгебраическая сумма моментов всех сил относительно двух любых точек A и B равна нулю и сумма проекций этих сил на ось Ox, не перпендикулярную к прямой, проходящей через точки A и B, равна нулю, т.е. ΣMA(Fk) = 0, ΣMB(Fk) = 0, ΣFkx = 0. (1.6) Необходимость этих условий, так же как и в предыдущем случае, следует из первой формы условий равновесия. Докажем их достаточность, т.е. докажем, что если выполняются условия (1.6), то рассматриваемая система находится в равновесии. Выполнение первых двух условий (1.6) означает, что главный момент данной системы сил относительно центров приведения А и В равен нулю. Такая система может иметь равнодействующую, приложенную в центре приведения, и при R*¹0 линия действия равнодействующей проходит через точки А и В (рисунок 2.2). Рисунок 2.2 Но по третьему условию из (1.6) проекция равнодействующей на ось Оx равна нулю. Так как ось Оx (рис.2) не перпендикулярна АВ, то это последнее условие может быть выполнено только в случае, если R*=0, т.е. когда рассматриваемая система сил уравновешена. В частном случае, если линии действия всех сил плоской системы параллельны (плоская система параллельных сил), то условия равновесия таких сил выражаются не тремя, а двумя уравнениями: ΣFkx = 0, ΣMo(Fk) = 0, (1.7) причем ось Ox параллельна данным силам, или ΣMA(Fk) = 0, ΣMB(Fk) = 0, (1.8) причем прямая AB не параллельна данным силам. 67 вопрос Рассмотрим теперь частные случаи плоских систем сил, для которых условия равновесия выражаются двумя уравнениями. Плоская система параллельных сил. В этом случае, когда все действующие на тело силы параллельны друг другу, можно для удобства направить ось Ox перпендикулярно силам. Тогда проекция каждой из сил на ось Ох будет равна нулю и первое из уравнений (I) обратится в тождество. В результате для плоской системы параллельных сил остаются два уравнения равновесия: Fiy = 0; MO(Fi) = 0. Другая форма уравнений для такой системы сил, вытекающая из общих уравнений (II), имеет вид: MА(Fi) = 0; MВ(Fi) = 0. При этом точки А и В не должны лежать на прямой, параллельной силам. Плоская система сходящихся сил. В этом случае, когда линии действия всех сил пересекаются в одной точке, их моменты относительно этой точки равны нулю. В результате получаем следующие уравнения равновесия: Fix = 0; Fiy = 0; то есть для равновесия плоской системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы прекций этих сил на координатные оси Ox и Oy были равны нулю. Задачи статики на равновесие тела под действием плоской системы параллельных или сходящихся сил будут статически определимыми, если в них содержится только две скалярных неизвестных.

Вопрос

Активными силами в технике являются различные нагрузки. Они могут быть сосредоточенными и распределенными.
Сосредоточенной называется сила, приложенная к телу в какой-нибудь одной точке. Силы, действующие на все точки данного объема или данной части поверхности тела, называются распределенными.
Понятие о сосредоточенной силе является условным, так как практически приложить силу в одной точке нельзя. Силы, которые мы в механике рассматриваем как сосредоточенные, представляют собой по существу равнодействующие некоторых систем распределенных сил, например, сил тяжести тел. Сосредоточенные нагрузки будем обозначать буквами В технических расчетах часто приходится встречаться с нагрузками, распределенными вдоль данной поверхности по тому или иному закону.

Распределенная система сил характеризуется интенсивностью q, т. е. величиной силы, приходящейся на единицу длины нагруженного отрезка. Измеряется интенсивность в ньютонах или килограммах, деленных на метры (н/м или кГ/м).

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: