Определение объёма испытаний

Чтобы при испытаниях получить оценку характеристики объекта испытаний с требуемой точностью и достоверностью, объем испытаний (объем выборки) должен быть не меньше некоторой величины.

Если испытания проводят для оценки математического ожидания, то при нормальном распределении характеристики минимально необходимый объем испытаний можно найти из соотношения:

(2.1)

или (2.2)

Здесь γ - генеральный коэффициент вариации (см. формулу 1.1), z – квантиль стандартного нормального распределения, a=1-P - уровень значимости (Р - доверительная вероятность) D_М – максимальная относительная ошибка (допуск) при оценке математического ожидания в долях математического ожидания (или среднего значения), D_М=max((½М-x_ср½)/М), d_М – максимальная ошибка (допуск) при оценке математического ожидания в долях среднеквадратического отклонения, d_М=max((½М-x_ср½)/s).

Чаще всего генеральный коэффициент вариации неизвестен, и его заменяют выборочным коэффициентом вариации (ипсилон, см. формулу 1.2), полученным по предварительной информации по аналогичным объектам. Если такой информации нет, задают и уточняют в процессе эксперимента. При этом объем испытаний корректируют по формуле

(2.3)

Здесь tα,k - коэффициент Стьюдента (функция СТЬЮДРАСПОБР), k = n – 1 – число степеней свободы.

Допуск выбирают в зависимости от требуемой точности:

Низкая точность:

∆М = g δМ = 1

Средняя точность:

∆М = (0,4…0,5)γ δМ = 0,4…0,5

Высокая точность:

∆М = (0,2…0,3)γ δМ = 0,2…0,3

Пример 2.1: Определить необходимый объем испытаний для оценки математического ожидания некоторой хатрактеристики, если уровень значимости a = 0,1 и допуск DМ = 0,02. Данные о коэффициенте вариации отсутствуют.

Фрагмент выполнения примера 2.1 показан на рис.2.1.

Задаемся, при средней точности, допуском ∆М = 0,5 g, и, соответственно, δМ = 0,5

В ячейки А4, А5 и А6 вводим обозначения исходных данных α=, ∆м= и δМ=, а в ячейки В4, В5 и В6 соответствующие значения. Приняв среднюю точность, вводим для δМ значение 0,5.

 

Рис.2.1. Фрагмент расчёта для примера 2.1.

 

Рассчитываем γ = ∆_М/δМ. Находим z_1-α/2

Рассчитываем необходимый объём испытаний n по формуле (2.1). При этом, поскольку n должен быть целым числом, притом не меньшим, чем рассчитанное по (2.1) значение (чтобы обеспечить требуемую точность), необходимо значение, полученное по формуле (2.1), округлить до ближайшего большего целого (функция ОКРУГЛВВЕРХ).

В результате расчёта получаем n = 11.

Допустим, по испытаниям 11-ти образцов выборочный коэффициент вариации υ = 0,051, что больше заданного γ. Тогда надо провести корректировку необходимого объема испытаний, т.е. увеличить его. Задаем υ = 0,051 в ячейке В14 и n =12 в ячейке В15. Находим t0,1;14 = 1,795884 в ячейке В16. При этом в диалоговом окне функции СТЬЮДРАСПОБР строке Вероятность делаем ссылку на значение α, а в строке Степени свободы рассчитываем k со ссылкой на заданное значение n.

После этого в ячейке В17 находим ∆_М из формулы (2.3).

Если рассчитанный допуск будет больше заданного, необходимо задаваться ещё более высоким значением n, пока рассчитанное значение ∆_м не станет меньше или равно заданному. В этом случае заданное значение n принимаем как минимально необходимый объём испытаний.

Рассчитанное значение ∆_М можно сравнивать с заданным непосредственно, но для удобства это лучше сделать с помощью логической функции ЕСЛИ. Для этого в ячейку В18 вводим функцию ЕСЛИ. В диалоговом окне этой функции в строке Лог_выражение вводим необходимое логическое выражение, делая ссылки на соответствующие ячейки: B17>B5. В строке Значение_если_истина вводим фразу «Увеличить объём испытаний», в строке Значение_если_ложь вводим фразу "Объём испытаний достаточен". Если логическое выражение будет истинно, в ячейке В18 появится фраза «Увеличить объём испытаний». При этом в ячейке В15 задаём более высокое значение n, лучше всего на 1 больше. Так увеличиваем n до тех пор, пока не получим фразу "Объём испытаний достаточен".

Так, в нашем примере при n = 12 получаем ∆_М =0,02644 и вывод «Увеличить объём испытаний». Постепенно увеличивая n, получим минимально необходимый объём испытаний, и, соответственно, сколько образцов ещё надо испытать дополнительно к уже испытанным 11.

Следует отметить, что после испытаний дополнительных образцов следует пересчитать выборочный коэффициент вариации υ и, подставив его значение в электронную таблицу, оценить, действительно ли объём испытаний достаточен.

Если испытания проводят для оценки генерального среднеквадратичного отклонения s (или генеральной дисперсии s2) характеристики, то минимально необходимый объём испытаний (объём выборки) находят по формуле

(2.4)

Здесь ∆_σ = max((½s-s½)/s) – максимальная относительная ошибка (допуск) при оценке среднего квадратичного отклонения в долях СКО; c²_a/2;k и c²_0,5;k - квантили распределения Пирсона (или хи-квадрат распределения, ХИ2ОБР).

Допуск выбирают в зависимости от требований точности.

При низкой точности ∆_σ = 0,4...0,5

При средней точности ∆_σ = 0,25...0,35

При высокой точности ∆_σ = 0,1...0,2

Для определения минимального объёма испытаний подбирают χ2a/2,k и χ20.5,k с таким числом степеней свободы k при принятом α, чтобы выполнялось равенство (2.2). По найденному числу степеней свободы находят объем испытаний.

Пример 2.2. Определить минимально необходимый объем испытаний для оценки среднеквадратического отклонения некоторой характеристики при средней точности и доверительной вероятности 0,95.

Фрагмент выполнения примера 2.2 показан на рис.2.2.

Вводим исходные данные в ячейки В3 и В4. При этом принимаем, для средней точности, ∆_σ =0.3. Рассчитываем уровень значимости. Находим левую часть уравнения (2.4).

Далее возможно задать некоторое значение объёма испытаний, рассчитать правую часть уравнения (2.4), и затем подобрать минимально необходимый объём испытаний, соответствующий минимуму разности между левой и правой частями уравнения (2.4). Однако для автоматического определения необходимого объёма испытаний при вводе новых исходных данных лучше поступить так.

Вводим пять столбцов, для k, c²_a/2;k, c²_0,5;k, χ²_α/2/χ²_0,5 , а также для модуля (функция ABS) разности между левой и правой частями уравнения (2.4). В столбце для k вводим возможные значения степеней свободы: 1, 2, 3 и т.д., например, до 500. Для этого можно использовать команду Заполнить – Прогрессия. В остальных столбцах рассчитываем соответствующие значения, в тех же диапазонах, что и k.

 

Рис.2.2. Фрагмент расчёта для примера 2.2.

 

Например, в столбце c²_a/2;k рассчитываем значение при k=1 (ячейка Е4 на рис. 2.2), при этом в строках диалогового окна функции ХИ2ОБР вводим ссылку на k и формулу для расчёта a/2 со ссылкой на ячейку со значением a. Формулу из ячейки E4 копируем в диапазон Е4:E503 (этот диапазон соответствует диапазону значений k при максимальном k = 500). Однако сначала надо задать в формуле абсолютную адресацию для ячейки, в которой находится значение a, поскольку при копировании ссылка на эту ячейку не должна меняться. Для задания абсолютной адресации перед именами строк и столбцов следует ввести символ $. Это можно сделать в строке формул вводом с клавиатуры, но более эффективно в строке формул выделить адрес нужной ячейки, нажать клавишу F4, а затем Enter. В результате, например, в ячейке Е4 должна быть получена формула =ХИ2ОБР($B$6/2;D4).

Получив значения в столбцах, следует найти номер строки, в которой находится минимальное значение модуля разности между левой и правой частями уравнения (2.4). По номеру строки можно найти число степеней свободы, а по нему – минимально необходимый объём испытаний.

Номер строки находится с использованием применяемого в Excel понятия массива. Для этого в ячейке, например, А9 вводим Строка =, в ячейке В9 вводим формулу:

=МИН(ЕСЛИ(H4:H503=МИН(H4:H503);СТРОКА(H4:H503);" "))

После этого, чтобы данная формула была формулой массива, нажимаем сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER (формула CSE), после чего формула будет заключена в фигурные скобки. Фигурные скобки указывают, что это формула массива. Следует иметь в виду, что ввод фигурных скобок с клавиатуры не даст нужного результата. Кроме того, при каждом переводе курсора в строку формулы массива необходимо заново нажимать CTRL+SHIFT+ENTER, иначе формула уже не будет восприниматься как формула массива. Эта формула массива работает так: в результате выполнения функции ЕСЛИ создается новый массив, соответствующий диапазону Н4:Н503. Если некоторая ячейка содержит минимальное значение в диапазоне (по внутренней функции МИН), массив будет содержать номер этой строки. Иначе массив содержит пустую строку (""). Внешняя функция МИН использует полученный массив в качестве своего второго аргумента и выдаёт номер строки с минимальным значением в диапазоне Н4:Н503. Если диапазон Н4:Н503 содержит несколько одинаковых минимальных значений, формула выдаёт наименьший номер строки.

Далее по номеру строки рассчитывают число степеней свободы и минимально необходимый объем испытаний для оценки среднеквадратического отклонения. В частности, для нахождения числа степеней свободы от найденного номера строки отнимают 3, поскольку значения в столбцах начинаются только с четвёртой строки.

Задание.

1. Выполнить расчёты в соответствии с примером 2.1.

2. Выполнить расчёты в соответствии с примером 2.2. Определить при этом минимально необходимый объём испытаний.

3. Рассчитать таблицу минимально необходимых объёмов испытаний для оценки математического ожидания при α, γ и ∆_М, указанных в табл. 2.1.

Таблица 2.1.

Вариант	Уровень значимости	Относительный допуск в долях математического ожидания	Генеральный коэффициент вариации
Минимальный	Максимальный	Шаг
	0,05	0,01	0,01	0,2	0,005
	0,1	0,02	0,02	0,3	0,005
	0,05	0,03	0,01	0,2	0,005
	0,1	0,04	0,02	0,3	0,005
	0,05	0,05	0,01	0,2	0,005
	0,1	0,01	0,02	0,3	0,005
	0,05	0,02	0,01	0,2	0,005
	0,1	0,03	0,02	0,3	0,005
	0,05	0,04	0,01	0,2	0,005
	0,1	0,05	0,02	0,3	0,005

Лабораторная работа № 3

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: