 |
Применение метода ММА к колебательным системам
|
|
|
|
Вернёмся к самому простому RLC резонансному контуру (рис. 22). Колебания в нём описываются следующим уравнением
.
Введём безразмерное время t = w 0 t; после дифференцирования по этой переменной, получим
 , где  .
| (3.22) |
Будем решать уравнение в форме (3.15), т. е. через амплитуду и фазу. В этом случае, с учётом (3.16), будет
.
Подставляя в укороченные уравнения (3.20) мы получаем
;
.
Эти укороченные уравнения легко интегрируются:
; 
.
Следовательно, колебательный процесс в контуре описывается функцией
 ,
| (3.23) |
или в размерном времени
 .
| (3.24) |
Можно, конечно, искать решение уравнения (3.2) методом Лапласа в виде x (t) = X 0 ept, тогда характеристическое уравнение имеет вид
,
корни которого легко найти
,
т. е. общее решение можно записать так
 , где  .
| (3.25) |
Сравним теперь решения, полученные разными методами - методом ММА и общим методом Лапласа, т. е. (3.24) и (3.25). Как видно, амплитуда меняется одинаково, а частота определена неправильно: метод ММА говорит, что колебания будут с частотой w 0, хотя точное решение даёт небольшой сдвиг частоты. Дело в том, что мы сами задаём с самого начала, что колебания будут с частотой w 0 введением безразмерного времени, т. е. что заложили, то и получили. Мы можем, в принципе, задавать и произвольную частоту w.
Рассмотрим нелинейный контур с конденсатором с сегнетоэлектриком в пренебрежении затуханием (рис. 19). Запишем (2.20) вместе с (2.19):
.
Введём x = q / q 0, где q 0 - некоторый заряд, соответствующий ожидаемой максимальной амплитуде колебаний в контуре, тогда наше уравнение примет вид
, где 
.
Введём новый масштаб времени t = wt, где w не обязательно совпадает с w 0. С учётом этой подстановки
.
Вводя обозначение 
, 
, получим
|
|
|
.
Учитывая, что мы ограничиваемся случаем | x | << 1 и g << 1 (частота колебаний мало отличается от частоты собственных колебаний), можно, отбрасывая член второго порядка малости, приближённо записать
.
Это уравнение принадлежит к типу 
, и к нему можно применить метод ММА. Используем вариант с медленно меняющимися амплитудами u и v (представление (3.13)), тогда укороченные уравнения, с учётом (3.9), будут иметь вид
;
.
Так как нет диссипации, то мы можем сказать, что 
. Это возможно в случае, если x = 0. Из этого следует, что w = w 0, т. е. мы теряем неизохронность колебаний (аналогично было в методе последовательных приближений). Таким образом, метод ММА не позволяет найти сдвиг частоты в контуре с квадратичной нелинейностью. Это связано с тем, что метод ММА - метод первого порядка. Чтобы этого избежать, необходимо взять вторые гармоники ряда Фурье.
Рассмотрим колебательный контур с малым нелинейным затуханием, т. е. RLC контур (рис. 22). Рассмотрим колебания с постоянными L и C, но с сопротивлением R (i), зависящим от тока по закону R = R 0(1 + g 0 i 2). Это соотношение качественно передаёт зависимость омического сопротивления проводников от протекающего через них тока за счёт их нагрева.
Составим уравнение движения в этом контуре
.
Вводя, как обычно, новые переменные x = q / q 0 и t = w 0 t, где 
, получим уравнение
, где 
, 
.
При малом затухании, когда 
для приближённого решения задачи можно применить метод ММА. Тогда исходное уравнение удобно записать в виде
.
Используя (3.15) и (3.16) для X и q имеем укороченные уравнения
;
.
Первое из этих уравнений домножим на 2 X и сделаем замену y = X 2, тогда
.
После преобразований получаем:
.
Это уравнение легко интегрируется:
, или 
,
где D - постоянная, определяемая из начальных условий. Если в начальный момент при t = 0 X (0) = X 0, то
.
Полученное соотношение для X выражает закон уменьшения амплитуды колебаний в исследуемом нелинейном контуре, начиная от исходного значения X 0.
|
|
|
Отметим также, что, как следует из проведённого рассмотрения, величиной, определяющей ход процесса, является амплитуда колебаний, а фаза колебаний не играет никакой роли. Это обстоятельство вполне понятно, так как характер движения задаётся исходным запасом колебательной энергии, сообщённой контуру вначале процесса, а фаза колебаний никак не определяет ход колебания - соответствующим выбором произвольного для автономной системы начала отсчёта времени фазу можно сделать любой.
|
|
|
