Применение метода ММА к колебательным системам
Вернёмся к самому простому RLC резонансному контуру (рис. 22). Колебания в нём описываются следующим уравнением
Введём безразмерное время t = w 0 t; после дифференцирования по этой переменной, получим
Будем решать уравнение в форме (3.15), т. е. через амплитуду и фазу. В этом случае, с учётом (3.16), будет
Подставляя в укороченные уравнения (3.20) мы получаем
Эти укороченные уравнения легко интегрируются:
Следовательно, колебательный процесс в контуре описывается функцией
или в размерном времени
Можно, конечно, искать решение уравнения (3.2) методом Лапласа в виде x (t) = X 0 ept, тогда характеристическое уравнение имеет вид
корни которого легко найти
т. е. общее решение можно записать так
Сравним теперь решения, полученные разными методами - методом ММА и общим методом Лапласа, т. е. (3.24) и (3.25). Как видно, амплитуда меняется одинаково, а частота определена неправильно: метод ММА говорит, что колебания будут с частотой w 0, хотя точное решение даёт небольшой сдвиг частоты. Дело в том, что мы сами задаём с самого начала, что колебания будут с частотой w 0 введением безразмерного времени, т. е. что заложили, то и получили. Мы можем, в принципе, задавать и произвольную частоту w. Рассмотрим нелинейный контур с конденсатором с сегнетоэлектриком в пренебрежении затуханием (рис. 19). Запишем (2.20) вместе с (2.19):
Введём x = q / q 0, где q 0 - некоторый заряд, соответствующий ожидаемой максимальной амплитуде колебаний в контуре, тогда наше уравнение примет вид
Введём новый масштаб времени t = wt, где w не обязательно совпадает с w 0. С учётом этой подстановки
Вводя обозначение
Учитывая, что мы ограничиваемся случаем | x | << 1 и g << 1 (частота колебаний мало отличается от частоты собственных колебаний), можно, отбрасывая член второго порядка малости, приближённо записать
Это уравнение принадлежит к типу
Так как нет диссипации, то мы можем сказать, что Рассмотрим колебательный контур с малым нелинейным затуханием, т. е. RLC контур (рис. 22). Рассмотрим колебания с постоянными L и C, но с сопротивлением R (i), зависящим от тока по закону R = R 0(1 + g 0 i 2). Это соотношение качественно передаёт зависимость омического сопротивления проводников от протекающего через них тока за счёт их нагрева. Составим уравнение движения в этом контуре
Вводя, как обычно, новые переменные x = q / q 0 и t = w 0 t, где
При малом затухании, когда
Используя (3.15) и (3.16) для X и q имеем укороченные уравнения
Первое из этих уравнений домножим на 2 X и сделаем замену y = X 2, тогда
После преобразований получаем:
Это уравнение легко интегрируется:
где D - постоянная, определяемая из начальных условий. Если в начальный момент при t = 0 X (0) = X 0, то
Полученное соотношение для X выражает закон уменьшения амплитуды колебаний в исследуемом нелинейном контуре, начиная от исходного значения X 0.
Отметим также, что, как следует из проведённого рассмотрения, величиной, определяющей ход процесса, является амплитуда колебаний, а фаза колебаний не играет никакой роли. Это обстоятельство вполне понятно, так как характер движения задаётся исходным запасом колебательной энергии, сообщённой контуру вначале процесса, а фаза колебаний никак не определяет ход колебания - соответствующим выбором произвольного для автономной системы начала отсчёта времени фазу можно сделать любой.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|