 |
Неавтономные системы, параметрический генератор
|
|
|
|
В пункте 1.1. вводилось определение неавтономных систем, и отмечались способы воздействия на неавтономную систему. Рассмотрим на конкретных примерах силовое и параметрическое воздействия. Начнём с силового воздействия: для этого вернёмся к генератору на туннельном диоде с дополнительным источником напряжения (рис. 16), который и играет роль внешнего воздействия.
Уравнение, описывающее колебательные процессы в этом генераторе, от (1.13) будет отличаться тем, что добавится внешнее воздействие:
 .
| (1.24) | |
Рис. 16. Генератор на туннельном диоде.
| 
Рис. 17. Колебательный контур.
| |
Перейдём к параметрическому воздействию и рассмотрим контур, изображённый на рис. 17. При определённой частоте внешнего воздействия (при резонансе) возможна потеря устойчивости и возникновение колебаний с частотой кратной частоте внешнего воздействия. Опишем эту систему. В качестве обобщённых координат возьмём заряд. Для простоты также пусть Е = 0, тогда, так как u = q / C (t), уравнение колебательного контура запишется в виде:
.
В частном случае (если в качестве переменной ёмкости - варикап), т. е. справедлива следующая зависимость
,
символическое уравнение системы принимает вид:
 .
| (1.25) |
Если a (t) меняется по гармоническому закону, то получится уравнение Матье, а при произвольном изменении - уравнение Хилла.
Уравнение Лагранжа для колебательных систем
Уравнение движения Лагранжа удобно тем, что уравнение движения записывается в ковариантной форме, т. е. структура уравнения не меняется при переходе к другим координатам.
Любая механическая система описывается уравнением Ньютона:
 ,
| (1.26) |
и это самая общая форма записи (форма Коши). Известно, что, если заданы начальные условия
|
|
|
и 
,
то решение существует и единственно.
В общем случае на уравнение накладываются связи, уменьшая количество независимых координат:
 , где  .
| (1.27) |
Если у нас есть k связей, то только n = m - k координат являются обобщёнными. Выбираем обобщённые координаты q 1, …, qn так, чтобы их связь с первичными была точечной:
 , где  .
| (1.28) |
Допустим, что силы, действующие на систему, являются потенциальными, т. е. существует функция 
такая, что для каждой силы выполняется равенство
, где .
В этом случае для описания движения в потенциальном поле можно воспользоваться формализмом Лагранжа:
1. Выбираем обобщённые координаты q 1, …, qn.
2. С помощью уравнения преобразования координат (1.28) записываем выражение для энергии через эти координаты:
.
3. С учётом преобразования обобщённых скоростей
| (1.29) |
строим выражение для кинетической энергии системы 
.
4. Составляем лагранжиан системы 
.
5. Записываем уравнение движения системы в виде:
 , где  .
| (1.30) |
Из (1.30) можно непосредственно найти первый интеграл движения:
 .
| (1.31) |
Коэффициенты Ci можно найти из начальных условий.
Лагранжев формализм работает только в потенциальном поле, но, если в системе действуют диссипативные силы Qi (трение, потери), то в общем случае уравнение Лагранжа выглядит так:
 , где .
| (1.32) |
Простейший случай, когда диссипативные силы являются линейной функцией обобщённых скоростей:
.
Для линейной функции можно построить функцию Рэлея, тогда диссипативные силы - это частные производные по обобщённым координатам функции Рэлея:
| (1.33) |
В этом случае уравнение Лагранжа примет ещё более простой вид:
 , где ,
| (1.34) |
т. е. для полного описания системы с диссипацией нужно задать две функции: L и F.
Если точечное преобразование (1.28) не содержит в явном виде времени, то
 .
| (1.35) |
Таким образом, энергия системы убывает со скоростью, равной удвоенной функции Рэлея.
|
|
|
|
|
|
