Свободные колебания в резонансном контуре с нелинейной ёмкостью без затухания
Из последнего уравнения найдём uak:
В качестве обобщённых координат возьмём напряжение на индуктивности, т. е. u = E + uak. Если u = 0, значит к варикапу приложено управляющее напряжение. В этом случае мы можем выразить константы через известные величины. Получается, что q = 0, Cd = C 0, тогда
Подставим эти выражения в (2.18)
тогда для обобщённой координаты получаем
Заметим, что полярность управляющего напряжения E выбрана так, чтобы варикап находился в состоянии обратного смещения, чтобы конденсатор Cр не влиял на работу. Выберем Cp >> Cd, тогда при колебаниях напряжение на Cp не будет сильно меняться и тогда можно считать, что напряжение, приложенное к катушке будет u. В таком случае для контура можно записать второй закон Кирхгофа в виде
Тогда уравнение для фазовой траектории будет выглядеть так:
Построим фазовый портрет для этой системы методом изоклин. Найдём для этого семейства фазовых траекторий изоклины, т. е. линии с постоянным наклоном. Уравнение изоклин:
отсюда, с учётом (2.22), для нашей системы получается
по сравнению с линейным членом q на колебательный процесс системе можно пренебречь. Проделаем то же самое не графически, а аналитически. Воспользуемся методом последовательных приближений. Для этого опять перепишем уравнение (2.20), но уже в форме уравнения (2.10):
Опять действуем точно также: установившуюся частоту разложим в ряд
Также можно записать, ограничиваясь только первой степенью g 0,
Уравнение нулевого приближения в данном случае имеет вид
его решение при начальных условиях
Первое приближение имеет вид:
Подставляя решение для q 0, получаем
Заметим, на систему с резонансной частотой w воздействует внешняя сила с той же самой частотой, т. е. для секулярных решений получается следующее условие: g 1 = 0. Таким образом, мы приходим к выводу, что поправка первого порядка отсутствует, поэтому будем раскладывать до следующего параметра, т. е. для частоты, с учётом равенства нулю g 1, получаем
Соответственно
Тогда уравнение второго приближения, примет вид
Или, подставив решения для q 0 и q 1, получим
Чтобы исчезли секулярные слагаемые, нужно потребовать, чтобы
Итак, мы рассмотрели систему с одной степенью свободы без диссипации. Перейдём теперь к следующему уровню.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|