 |
Свободные колебания в резонансном контуре с нелинейной ёмкостью без затухания
|
|
|
|
| Рассмотрим параллельный резонансный контур, представленный на рис. 19. Здесь в качестве нелинейной ёмкости используется варикап, причём ёмкость разделительного конденсатора Сp много больше ёмкости варикапа Cd. Известен закон изменения ёмкости p-n перехода: | 
Рис. 19. Колебательный контур с нелинейной ёмкостью.
| |
 .
| (2.17) | |
Проинтегрируем (2.17), тогда получим:
 .
| ||
Из последнего уравнения найдём uak:
 .
| (2.18) |
В качестве обобщённых координат возьмём напряжение на индуктивности, т. е. u = E + uak. Если u = 0, значит к варикапу приложено управляющее напряжение. В этом случае мы можем выразить константы через известные величины. Получается, что q = 0, Cd = C 0, тогда
.
Подставим эти выражения в (2.18)
,
тогда для обобщённой координаты получаем
 , где  .
| (2.19) |
Заметим, что полярность управляющего напряжения E выбрана так, чтобы варикап находился в состоянии обратного смещения, чтобы конденсатор Cр не влиял на работу. Выберем Cp >> Cd, тогда при колебаниях напряжение на Cp не будет сильно меняться и тогда можно считать, что напряжение, приложенное к катушке будет u. В таком случае для контура можно записать второй закон Кирхгофа в виде
Рис. 20. График потенциальной энергии.
|  .
| (2.20) |
| Уравнение колебаний имеет вид (2.1), что позволяет с учётом (2.19) ввести потенциальную энергию в виде | ||
 .
| (2.21) | |
Примерный вид полученной зависимости показан на рис. 20. Перепишем уравнение (2.20) в следующем виде
 ;  .
|
Тогда уравнение для фазовой траектории будет выглядеть так:
 , где  .
| (2.22) |
Построим фазовый портрет для этой системы методом изоклин. Найдём для этого семейства фазовых траекторий изоклины, т. е. линии с постоянным наклоном. Уравнение изоклин:
|
|
|
,
отсюда, с учётом (2.22), для нашей системы получается
Рис. 21. Построение фазовых траекторий методом изоклин.
|  .
Изоклины, исходя из полученного уравнения, по сути, параболы. Коэффициент ki определяет крутизну. Он может быть как отрицательным, так и положительным, соответственно изоклины будут находиться выше оси или ниже оси абсцисс. Если ki = 0, парабола выльется в вертикальную линию q = 0, а если ki = ¥, то в горизонтальную y = 0. На рис. 21 показано построение фазовых траекторий методом изоклин. Замкнутость фазовых траекторий подтверждает, что мы имеем дело с консервативной системой. Из фазового портрета видно, что при малых амплитудах колебаний, как и в случае идеального маятника, фазовые траектории близки к эллипсам, т. е. малые движения в нелинейной системе близки к гармоническим колебаниям в нелинейной системе. Это связано с тем, что при малых значениях q влиянием нелинейного члена g 0 q 2
|
по сравнению с линейным членом q на колебательный процесс системе можно пренебречь.
Проделаем то же самое не графически, а аналитически. Воспользуемся методом последовательных приближений. Для этого опять перепишем уравнение (2.20), но уже в форме уравнения (2.10):
.
Опять действуем точно также: установившуюся частоту разложим в ряд
.
Также можно записать, ограничиваясь только первой степенью g 0,
.
Уравнение нулевого приближения в данном случае имеет вид
;
его решение при начальных условиях 
будет таким:
.
Первое приближение имеет вид:
.
Подставляя решение для q 0, получаем
.
Заметим, на систему с резонансной частотой w воздействует внешняя сила с той же самой частотой, т. е. для секулярных решений получается следующее условие: g 1 = 0. Таким образом, мы приходим к выводу, что поправка первого порядка отсутствует, поэтому будем раскладывать до следующего параметра, т. е. для частоты, с учётом равенства нулю g 1, получаем
.
Соответственно
|
|
|
.
Тогда уравнение второго приближения, примет вид
.
Или, подставив решения для q 0 и q 1, получим
.
Чтобы исчезли секулярные слагаемые, нужно потребовать, чтобы 
, тогда мы можем найти зависимость частоты от амплитуды:
.
Итак, мы рассмотрели систему с одной степенью свободы без диссипации. Перейдём теперь к следующему уровню.
|
|
|
