 |
Метод медленно меняющихся амплитуд, укороченные уравнения
|
|
|
|
Метод медленно меняющихся амплитуд (ММА) применим к системам с малыми нелинейностью и диссипацией и основан на известной теореме, что свойства системы и решение описывающего её ДУ изменяются непрерывно при изменении параметров этого уравнения. При малых нелинейностях и диссипации движение в системе будет близко к чисто гармоническому, соответствующему линейной консервативной системе, уравнение которой имеет вид
.
Введём безразмерное время t = w 0 t, тогда в этом масштабе времени уравнение будет таким
.
Для системы близкой к линейной консервативной уравнение выглядит так:
 ,
| (3.7) |
где f - произвольная регулярная, в общем случае нелинейная функция координаты q и скорости её изменения, значения которой остаются малыми по сравнению со значениями членов, стоящих в левой части уравнения (3.7) (в силу слабой нелинейности параметров и малых потерь в системе).
Выберем в уравнении (3.7) масштаб по координате q и перейдём к безразмерной переменной x так, чтобы при колебаниях изменение x было порядка единицы, тогда правая часть (3.7) должна быть много меньше единицы:
 ,  .
| (3.8) |
При m = 0 решением уравнения будут чисто гармонические колебания
,
где a и b - постоянные, задаваемые начальными условиями.
При 0 < | m | < 1 будем считать, что решение может быть записано в виде
 ,
| (3.9) |
где u (t) и v (t) - медленно меняющиеся функции (в сравнении с cos(t)), так что
, 
.
Но получается, что одной функции x (t) ставятся в соответствие две функции u (t) и v (t), т. е. задача становится заведомо неоднозначной. Можно произвольно задать одну из функций и подобрать к ней вторую, при этом, если мы не угадаем, то эта функция будет быстро меняться. Потребуем, чтобы функция x (t) удовлетворяла условию:
|
|
|
| (3.10) |
для чего необходимо и достаточно, чтобы
| (3.11) |
При выполнении условия (3.11) уравнение-связь (3.9) становится однозначным, т. е. становится однозначной связь функций x (t), u (t) и v (t).
Используя уравнения (3.9) - (3.11), преобразуем (3.8): продифференцируем (3.10) по времени и сложим с (3.9) с учётом (3.8):
 .
| (3.12) |
Умножим (3.12) на sin(t), а (3.11) на cos(t) и вычтем из первого второе; потом умножим (3.12) на cos(t), а (3.11) на sin(t) и сложим их, тогда получим систему:
| (3.13) |
Таким образом, мы получили систему двух уравнений первого порядка (3.13), которая, естественно, полностью эквивалентна одному уравнению второго порядка (3.8). Она не даёт никаких преимуществ в смысле упрощения задачи. Существенный в шаг в сторону нахождения приближенного решения можно сделать, если воспользоваться условием медленного изменения функций u и v за период. Заменим мгновенные значение u и v их средними значениями за каждый период колебаний, равный 2 p. Производя усреднение по периоду, мы приходим к системе так называемых укороченных уравнений
 ; 
| (3.14) |
Эта система уже не содержит в правой части в явном виде времени t, и во многих случаях её можно легко проинтегрировать, получая временной ход медленно меняющихся функций u (t) и v (t), являющихся амплитудами искомого решения.
Систему уравнений (3.14) можно получить из системы (3.13), если правые части разложить в ряд Фурье как периодические функции с периодом 2 p и отбросить все осциллирующие члены (в системе (3.14) записаны только первые слагаемые ряда). В этом отбрасывании осциллирующих членов и заключается "укорочение", приводящее от системы уравнений, точно соответствующей исходному уравнению, к приближенным укороченным уравнениям.
Переход от переменных x, 
к переменным u, v эквивалентен переходу от фазовых координат x, к вращающейся системе координат u, v. Это означает, что система координат u, v в координатной плоскости x, вращается с угловой частотой, равной единице.
|
|
|
Рассмотрим теперь другой вариант метода ММА с переходом от исходных координат x, к радиальным координатам - амплитуде X и фазе q, которые также являются медленными переменными в масштабе времени t.
Будем теперь искать решение исходного уравнения (3.8) в виде
 .
| (3.15) |
Введём замену переменной :
 ,
| (3.16) |
для чего необходимо положить
 .
| (3.17) |
Дальше дифференцируем (3.16) по времени, с учётом равенства (3.17), и вместе с (3.15) подставляем в исходное уравнение (3.8), тем самым, выражая его через новые переменные X и q.
| (3.18) |
Из (3.17) и (3.18) находим точную систему дифференциальных уравнений, описывающих процессы в системе
| (3.19) |
Здесь X (t) и q (t) являются медленными функциями времени t, что позволяет усреднить правые части (3.19) за период, считая, что за это время X и q не меняются. Указанная процедура усреднения приводит к системе укороченных уравнений вида
| (3.20) |
Мы обозначили t 1 = t + q.
Найдём спектр ММА колебания. Для этого запишем сигнал ММА (3.15) в реальном масштабе времени:
.
Предполагается, что соотношение (3.16) выполняется, а центральная частота w 0 выбирается так, чтобы амплитуда колебаний X (t) менялась как можно медленнее. Условие медленного изменения амплитуды принимает вид:
 ,  .
| (3.21) |
Спектр ММА процесса будет
.
Здесь мы обозначили спектр комплексной огибающей колебания 
:
.
У нас и X, и q меняются медленно, тогда комплексная огибающая меняется медленно по сравнению с характерным временем 1/ w 0. Это значит, что t >> 1/ w 0, где t - характерное время изменения комплексной огибающей.
Рис. 25. Спектр сигнала.
| Можно определить ширину спектра D w из условия, что при | w - w 0| > D w спектр сигнала S (jw) º 0. В теории интегралов Фурье установлена связь между шириной полосы спектра и временем характерного изменения импульса: t D w ~ 1. Таким образом, любой узкополосный процесс, для которого |
D w << w 0, является ММА процессом, но обратное не обязательно.
|
|
|
