Методы исследования устойчивости природных систем и их компонентов. Стр. 9

Для выявления устойчивости экосистемы нас будет в первую очередь интересовать, как проходит внешнее воздействие (сигнал) через всю систему и её отдельные звенья. Модель экосистемы можно представить в виде множества величин, описывающих процесс её функционирования и образующих в общем случае следующие подмножества: совокупность входных внешних воздействий (Х); совокупность внутренних (собственных) параметров экосистемы и её подсистем (Y₁); совокупность воздействий внешней среды (Z); совокупность выходных характеристик каждой подсистемы и экосистемы в целом (Y).

При изучении устойчивости важно изменение по времени (r) функции отклика показателей Y или Y1 при изменении внешней среды или при внешних воздействиях, то есть: Y1; Y ~ f(X,Z,r). По форме функций отклика всё многообразие подсистем экосистемы можно свести к некоторым типовым звеньям: безынерционному, инерционному, дифференцирующему (идеальному и реальному), интегрирующему, чистого запаздывания и колебательного, о чем говорилось выше.

Если известны уравнения функций отклика элементов и регуляторов экосистемы, то можно составить общее уравнение её функционирования. Поскольку приведённые нами ранее типовые звенья описываются дифференциальными уравнениями, то для синтеза обобщённого уравнения экосистемы удобно воспользоваться понятием передаточных функций и преобразований Лапласа (Гноенский и др., 1969; Бронштейн, Семендяев, 1986). Следует помнить, что при сочленении n подсистем экосистемы выходная функция (i - 1)-той подсистемы является одновременно входной функцией i-той подсистемы. Если выходную временную функцию подсистемы преобразовать по Лапласу и отнести ко входной функции, также преобразованной по Лапласу, то мы получим упомянутую выше передаточную функцию при нулевых начальных условиях (Гноенский и др., 1969):

(4.18)

где F(p) - оператор Лапласа:

(4.19)

Построив передаточную функцию W(p) в широком диапазоне частот, можно получить диаграмму частотных характеристик типовых звеньев экосистемы. Основные типы сочленения - это последовательное, параллельное и сочленение с обратной связью. При последовательном сочленении передаточная функция экосистемы равна произведению передаточных функций её подсистем:

(4.20)

При параллельном сочленении подсистем обобщённая передаточная функция равна их сумме:

(4.21)

При положительной обратной связи двух звеньев экосистемы их передаточная функция равна:

(4.22)

При отрицательной обратной связи двух звеньев их передаточная функция равна соответственно:

(4.23)

Мы не описываем здесь методику прямых и обратных преобразований Лапласа, поскольку она широко освещена в специальной литературе.

Кроме того, имеются готовые таблицы таких преобразований для многих основных типов дифференциальных уравнений (Бронштейн, Семендяев, 1986).

Метод передаточных функций позволяет рассмотреть и влияние на экосистему в целом и на её подсистемы внешних возмущений (воздействий), строя передаточные функции подсистем по отношению к задающему и возмущающему воздействию (Гноенский и др., 1969). Всё это позволяет построить дифференциальное уравнение функционирования экосистемы n-го порядка, связывающее её выходные характеристики с задающими экологическими факторами и внешними возмущающими воздействиями, и затем исследовать устойчивость его решений (а следовательно, и устойчивость экосистемы) с помощью математических критериев (Найквиста, Ляпунова, Гурвица и др., 1986) и теории устойчивости.