Таблица 6. Решение

Таблица 6

День	Глазное отделение

Требуется:

1. Определить коэффициенты автокорреляции уровней ряда первого и второго порядка.

2. Обосновать выбор уравнения тренда и определите его параметры.

3. Сделать выводы.

4. Результаты оформить в виде пояснительной записки.

Решение

Определим коэффициент корреляции между рядами и . Ррасчеты приведены в таблице 7:

 

	год
			-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
				-	-6, 14	1, 64	37, 73	2, 70	-	-	-	-	10, 09	-
					-9, 14	-6, 36	83, 59	40, 41	-9, 36	1, 23	87, 56	1, 51	58, 12	11, 52
					-0, 14	-9, 36	0, 02	87, 56	-0, 36	-6, 77	0, 13	45, 82	1, 34	2, 42
					-4, 14	-0, 36	17, 16	0, 13	-4, 36	-9, 77	18, 98	95, 44	1, 48	42, 57
					-10, 14	-4, 36	102, 88	18, 98	-10, 36	-0, 77	107, 27	0, 59	44, 19	7, 97
					6, 86	-10, 36	47, 02	107, 27	6, 64	-4, 77	44, 13	22, 75	71, 02	31, 68
					0, 86	6, 64	0, 73	44, 13	0, 64	-10, 77	0, 41	115, 98	5, 69	6, 92
					11, 86	0, 64	140, 59	0, 41	11, 64	6, 23	135, 56	38, 82	7, 62	72, 54
					5, 86	11, 64	34, 31	135, 56	5, 64	0, 23	31, 84	0, 05	68, 19	1, 30
					2, 86	5, 64	8, 16	31, 84	2, 64	11, 23	6, 98	126, 13	16, 12	29, 68
					0, 86	2, 64	0, 73	6, 98	0, 64	5, 23	0, 41	27, 36	2, 27	3, 36
					6, 86	0, 64	47, 02	0, 41	6, 64	2, 23	44, 13	4, 98	4, 41	14, 82
					-5, 14	6, 64	26, 45	44, 13	-5, 36	0, 23	28, 70	0, 05	34, 16	1, 24
					-1, 14	-5, 36	1, 31	28, 70	-1, 36	6, 23	1, 84	38, 82	6, 12	8, 46
		-	-	-	0, 00	0, 00	547, 71	549, 21	3, 36	0, 00	507, 94	518, 31	330, 84	234, 47
Средн.		28, 14 28, 36	28, 36	28, 77

Результат говорит о заметной зависимости между показателями и наличии во временном ряде линейной тенденции.

Определим коэффициент автокорреляции второго порядка:

,

Результат подтверждает наличие линейной тенденции. Выбираем линейное уравнение тренда: .

Параметры определим, используя МНК. Результаты расчетов приведены в табл. 8.

 

Таблица 8

						-7, 00
						-6, 00
						-5, 00
						-4, 00
						-3, 00
						-2, 00
						-1, 00
						0, 00
						1, 00
						2, 00
						3, 00
						4, 00
						5, 00
						6, 00
						7, 00
Средн.	8, 00	28, 27	82, 67	835, 73	234, 6	-	-

.

Уравнение тренда примет вид: , коэффициент корреляции

.

Расчетное значение критерия Фишера равно ,

,

уравнение статистически значимо и прогноз имеет смысл.

 

Задача 6.

Имеются данные за 12 месяцев года по району города о рынке вторичного жилья (y – стоимость квартиры (тыс. у. е. ), x – размер общей площади (м²)). Данные приведены в табл. 1. 4.

 

Таблица 1

Месяц
у	22, 5	25, 8	20, 8	15, 2	25, 8	19, 4	18, 2	21, 0	16, 4	23, 5	18, 8	17, 5
х	29, 0	36, 2	28, 9	32, 4	49, 7	38, 1	30, 0	32, 6	27, 5	39, 0	27, 5	31, 2

 

Задание:

1. Рассчитайте параметры уравнений регрессий

 

и.

 

2. Оцените тесноту связи с показателем корреляции и детерминации.

3. Рассчитайте средний коэффициент эластичности и дайте сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

4. Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации и оцените качество модели.

5. С помощью F-статистики Фишера (при ) оцените надежность уравнения регрессии.

6. Рассчитайте прогнозное значение, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего значения. Определите доверительный интервал прогноза для.

7. Расчеты должны быть подробны, как показано в примере 1, и сопровождены пояснениями.

 

Решение

 

Составим таблицу расчетов 2.

Все расчеты в таблице велись по формулам

 

.

 

Таблица 2

	х	х2	у	ху	у2								А(%)
	29, 0	841, 0	22, 5	652, 5	506, 3	2, 1	-4, 5	4, 38	20, 33	18, 93	3, 57	12, 75	15, 871
	36, 2	1310, 4	25, 8	934, 0	665, 6	5, 4	2, 7	29, 07	7, 25	21, 28	4, 52	20, 40	17, 506
	28, 9	835, 2	20, 8	601, 1	432, 6	0, 4	-4, 6	0, 15	21, 24	18, 90	1, 90	3, 62	9, 152
	32, 4	1049, 8	15, 2	492, 5	231, 0	-5, 2	-1, 1	27, 13	1, 23	20, 04	-4, 84	23, 43	31, 847
	49, 7	2470, 1	25, 8	1282, 3	665, 6	5, 4	16, 2	29, 07	262, 17	25, 70	0, 10	0, 01	0, 396
	38, 1	1451, 6	19, 4	739, 1	376, 4	-1, 0	4, 6	1, 02	21, 08	21, 90	-2, 50	6, 27	12, 911
	30, 0	900, 0	18, 2	546, 0	331, 2	-2, 2	-3, 5	4, 88	12, 31	19, 26	-1, 06	1, 12	5, 802
	32, 6	1062, 8	21, 0	684, 6	441, 0	0, 6	-0, 9	0, 35	0, 83	20, 11	0, 89	0, 80	4, 256
	27, 5	756, 3	16, 4	451, 0	269, 0	-4, 0	-6, 0	16, 07	36, 10	18, 44	-2, 04	4, 16	12, 430
	39, 0	1521, 0	23, 5	916, 5	552, 3	3, 1	5, 5	9, 56	30, 16	22, 20	1, 30	1, 69	5, 536
	27, 5	756, 3	18, 8	517, 0	353, 4	-1, 6	-6, 0	2, 59	36, 10	18, 44	0, 36	0, 13	1, 923
	31, 2	973, 4	17, 5	546, 0	306, 3	-2, 9	-2, 3	8, 46	5, 33	19, 65	-2, 15	4, 62	12, 277
	402, 1	13927, 8	244, 9	8362, 6	5130, 7	0, 0	0, 0	132, 7	454, 1	-	-	79, 0	129, 9
Среднее значение	33, 5	1160, 7	20, 4	696, 9	427, 6	-	-	-	-	-	-	6, 6	10, 8

 

	6, 43	-	3, 47	-	-
	41, 28	-	12, 06	-	-

 

Тогда

 

,

и линейное уравнение регрессии примет вид: .

Рассчитаем коэффициент корреляции:

 

.

 

Связь между признаком и фактором заметная.

Коэффициент детерминации – квадрат коэффициента или индекса корреляции.

 

R² = 0, 606² = 0, 367

Средний коэффициент эластичности позволяет проверить, имеют ли экономический смысл коэффициенты модели регрессии.

 

 

Для оценки качества модели определяется средняя ошибка аппроксимации:

 

,

 

допустимые значения которой 8 - 10 %.

Вычислим значение -критерия Фишера.

 

,

где

– число параметров уравнения регрессии (число коэффициентов при объясняющей переменной );

– объем совокупности.

 

.

 

По таблице распределения Фишера находим

 

.

 

Так как , то гипотеза о статистической незначимости параметра уравнения регрессии отклоняется.

Так как , то можно сказать, что 36, 7% результата объясняется вариацией объясняющей переменной.

Выберем в качестве модели уравнения регрессии , предварительно линеаризовав модель. Введем обозначения: . Получим линейную модель регрессии .

Рассчитаем коэффициенты модели, поместив все промежуточные расчеты в табл. 3.

 

Таблица 3

			y	yU	y2								А(%)
	5, 385	29, 0	22, 5	121, 17	506, 25	1, 640	-0, 452	2, 69	0, 20	13, 74	8, 76	76, 7	38, 92
	6, 017	36, 2	25, 8	155, 23	665, 64	4, 940	0, 180	24, 40	0, 03	14, 01	11, 79	139, 0	45, 70
	5, 376	28, 9	20, 8	111, 82	432, 64	-0, 060	-0, 461	0, 004	0, 21	13, 74	7, 06	49, 9	33, 95
	5, 692	32, 4	15, 2	86, 52	231, 04	-5, 660	-0, 145	32, 04	0, 02	13, 87	1, 33	1, 8	8, 72
	7, 050	49, 7	25, 8	181, 89	665, 64	4, 940	1, 213	24, 40	1, 47	14, 42	11, 38	129, 5	44, 11
	6, 173	38, 1	19, 4	119, 75	376, 36	-1, 460	0, 336	2, 13	0, 11	14, 07	5, 33	28, 4	27, 45
	5, 477	30, 0	18, 2	99, 69	331, 24	-2, 660	-0, 360	7, 08	0, 13	13, 78	4, 42	19, 5	24, 27
	5, 710	32, 6	21, 0	119, 90		0, 140	-0, 127	0, 02	0, 02	13, 88	7, 12	50, 7	33, 89
	5, 244	27, 5	16, 4	86, 00	268, 96	-4, 460	-0, 593	19, 89	0, 35	13, 68	2, 72	7, 4	16, 58
	6, 245	39, 0	23, 5	146, 76	552, 25	2, 640	0, 408	6, 97	0, 17	14, 10	9, 40	88, 3	39, 98
	58, 368	343, 4	208, 600	1228, 71	4471, 02	-	-	-	-	-	-	-	313, 567
Среднее значение	5, 837	34, 34	20, 860	122, 871	447, 10	-	-	-	-	-	-	-	31, 357

 

	0, 549	-	3, 646	-	-	-	-
	0, 302	-	13, 292	-	-	-	-

 

Рассчитаем параметры уравнения:

 

,

,

.

 

Коэффициент корреляции

 

.

 

Коэффициент детерминации

 

,

следовательно, только 9, 3% результата объясняется вариацией объясняющей переменной .

,

,

 

следовательно, гипотеза о статистической незначимости уравнения регрессии принимается. По всем расчетам линейная модель надежнее, и последующие расчеты мы сделаем для нее.

Оценим значимость каждого параметра уравнения регрессии.

Используем для этого t-распределение (Стьюдента). Выдвигаем гипотезу о статистической незначимости параметров, т. е.

.

.

Определим ошибки .

,

,

,

,

,

.

 

Полученные оценки модели и ее параметров позволяют использовать ее для прогноза.

Рассчитаем

 

.

 

Тогда

 

.

 

Средняя ошибка прогноза

 

,

 

где

 

,

.

Строим доверительный интервал с заданной доверительной вероятностью :

,

,

.

 

Найденный интервальный прогноз достаточно надежен (доверительная вероятность ) и достаточно точен, т. к. .

Оценим значимость каждого параметра уравнения регрессии

 

.

 

Используем для этого t-распределение (Стьюдента). Выдвигаем гипотезу о статистической незначимости параметров, т. е.

 

.

.

 

Определим ошибки .

 

,

,

, ,

, .

 

Следовательно, и не случайно отличаются от нуля, а сформировались под влиянием систематически действующей производной.

1. , следовательно, качество модели не очень хорошее.

2. Полученные оценки модели и ее параметров позволяют использовать ее для прогноза.

Рассчитаем . Тогда .

3. Средняя ошибка прогноза

 

,

 

где

,

.

 

Строим доверительный интервал с заданной доверительной вероятностью :

 

,

,

.

 

Найденный интервальный прогноз достаточно надежен (доверительная вероятность ) и достаточно точен, т. к. .

 

Задача 7.

Имеются данные о деятельности крупнейших компаний в течение двенадцати месяцев 199Х года. Данные приведены в табл. 4.

Известны – чистый доход (у), оборот капитала (х₁), использованный капитал (х₂) в млрд у. е.

 

Таблица 4

у	х1	х2
1, 5	5, 9	5, 9
5, 5	53, 1	27, 1
2, 4	18, 8	11, 2
3, 0	35, 3	16, 4
4, 2	71, 9	32, 5
2, 7	93, 6	25, 4
1, 6	10, 0	6, 4
2, 4	31, 5	12, 5
3, 3	36, 7	14, 3
1, 8	13, 8	6, 5
2, 4	64, 8	22, 7
1, 6	30, 4	15, 8

 

Задание:

1. Рассчитайте параметры линейного уравнения множественной регрессии.

2. Дайте оценку силы связи факторов с результатом с помощью средних коэффициентов эластичности.

3. Оцените статистическую зависимость параметров и уравнения регрессии в целом с помощью соответственно критериев Стьюдента и Фишера (α =0, 01).

4. Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации. Сделайте вывод.

5. Составьте матрицы парных и частных коэффициентов корреляции и укажите информативные факторы.

6. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

 

Решение

Результаты расчетов приведены в табл. 5.

 

Таблица 5

	y	x1	x2	yx1	yx2	x1x2	x12	x22	y2
	1, 5	5, 9	5, 9	8, 85	8, 85	34, 81	34, 81	34, 81	2, 25
	5, 5	53, 1	27, 1	292, 05	149, 05	1439, 01	2819, 61	734, 41	30, 25
	2, 4	18, 8	11, 2	45, 12	26, 88	210, 56	353, 44	125, 44	5, 76
		35, 3	16, 4	105, 90	49, 20	578, 92	1246, 09	268, 96
	4, 2	71, 9	32, 5	301, 98	136, 50	2336, 75	5169, 61	1056, 25	17, 64
	2, 7	93, 6	25, 4	252, 72	68, 58	2377, 44	8760, 96	645, 16	7, 29
	1, 6		6, 4	16, 00	10, 24	64, 00	100, 00	40, 96	2, 56
	2, 4	31, 5	12, 5	75, 60	30, 00	393, 75	992, 25	156, 25	5, 76
	3, 3	36, 7	14, 3	121, 11	47, 19	524, 81	1346, 89	204, 49	10, 89
	1, 8	13, 8	6, 5	24, 84	11, 70	89, 70	190, 44	42, 25	3, 24
	2, 4	64, 8	22, 7	155, 52	54, 48	1470, 96	4199, 04	515, 29	5, 76
	1, 6	30, 4	15, 8	48, 64	25, 28	480, 32	924, 16	249, 64	2, 56
	32, 4	465, 8	196, 7	1448, 33	617, 95	10001, 03	26137, 30	4073, 91	102, 96
Средн.	2, 7	38, 8	16, 4	120, 69	51, 50	833, 42	-	-	65, 80
	1, 2	27, 1	8, 8	-	-	-	-	-	-
	1, 4	732, 4	77, 2	-	-	-	-	-	-

 

Рассматриваем уравнение вида:

 

.

 

Параметры уравнения можно найти из решения системы уравнений:

 

Или, перейдя к уравнению в стандартизированном масштабе:

, где

– стандартизированные переменные,

– стандартизированные коэффициенты:

 

Коэффициенты определяются из системы уравнений:

 

, ;

;

, ;

, ;

, ;

, ;

, ;

.

 

Стандартизированная форма уравнения регрессии имеет вид:

 

.

Естественная форма уравнения регрессии имеет вид:

 

.

 

Для выяснения относительной силы влияния факторов на результативный признак рассчитываются средние коэффициенты эластичности:

 

,

,

.

 

Следовательно, при увеличении оборота капитала (x₁) на 1% чистый доход (y) уменьшается на 0, 14% от своего среднего уровня. При повышении использованного капитала на 1% чистый доход повышается на 0, 73% от своего среднего уровня.

Линейные коэффициенты частной корреляции для уравнения определяются следующим образом:

 

,

.

 

Линейный коэффициент множественной корреляции рассчитывается по формуле

.

 

Коэффициент множественной детерминации .

 

,

 

где

- объем выборки,

- число факторов модели.

В нашем случае

 

.

 

Так как , то и потому уравнение незначимо.

Выясним статистическую значимость каждого фактора в уравнении множественной регрессии.

Для этого рассчитаем частные -статистики.

 

.

 

Так как , то и следует вывод о нецелесообразности включения в модель фактора после фактора .

 

.

Так как , то следует вывод о нецелесообразности включения в модель фактора после фактора .

Результаты расчетов позволяют сделать вывод:

1. о незначимости фактора и нецелесообразности включения его в уравнение регрессии;

2. о незначимости фактора и нецелесообразности включения его в уравнение регрессии.

Задача 8.

1. Используя необходимое и достаточное условие идентификации, определить, идентифицировано ли каждое уравнение модели.

2. Определите тип модели.

3. Определите метод оценки параметров модели.

4. Опишите последовательность действий при использовании указанного метода.

5. Результаты оформите в виде пояснительной записки.

Модель денежного и товарного рынков:

 

R_t = a₁+b₁₂Y_t+b₁₄M_t+e₁,

Y_t = a₂+b₂₁R_t+ b₂₃I_t+ b₂₅G_t+e₂,

I_t = a₃+b₃₁R_t+e₃,

 

где

R – процентные ставки;

Y – реальный ВВП;

M – денежная масса;

I – внутренние инвестиции;

G – реальные государственные расходы.

Решение

1. Модель имеет три эндогенные (R_tY_tI_t) и две экзогенные переменные (M_tG_t).

Проверим необходимое условие идентификации:

1-е уравнение: D=1, H=2, D+1=H - уравнение идентифицировано.

2-е уравнение: D=1, H=1, D+1=2 - уравнение сверхидентифицировано.

3-е уравнение: D=1, H=2, D+1=H - уравнение идентифицировано.

Следовательно, необходимое условие идентифицируемости выполнено.

Проверим достаточное условие:

В первом уравнении нет переменных I_t, G_t

Строим матрицу:

 

	It	Gt
2 ур.	b23	b23
3 ур.

 

det M = det , rank M =2.

 

Во втором уравнении нет переменных M_t

det M № 0

В третьем уравнении нет переменных Y_t, M_t, G_t

Строим матрицу:

det M /

Следовательно, достаточное условие идентифицируемости выполнено.

Система точно идентифицируема.

2. Найдем структурные коэффициенты модели.

Для этого:

Запишем систему в матричной форме, перенеся все эндогенные переменные в левые части системы:

R_t-b₁₂Y_t=a₁+b₁₂M_t

Y_t-b₂₁R_t-b₂₃I_t=a₂+b₂₅G_t

I_t-b₃₁R_t=a₃

 

откуда

 

, и , , , .

 

Решаем систему относительно : . Найдем

 

, где –

 

алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы , – минор, т. е. определитель, полученный из матрицы вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

 

,

,

,

.

 

Поэтому

 

В данном случае эти коэффициенты можно найти значительно проще. Находим из второго уравнения приведенной системы и подставим его в первое уравнение этой системы. Тогда первое уравнение системы примет вид: , откуда , . Из третьего уравнения системы находим и подставляем во второе уравнение системы, получим: , решая его совместно с уравнением и, исключая , получим . Сравнивая это уравнение со вторым уравнением системы получим . Выражая из второго уравнения, и подставляя в третье системы (3. 2), получим . Сравнивая это уравнение с третьим уравнением системы, получим .

Задача 9.

Имеются данные за пятнадцать дней по количеству пациентов клиники, прошедших через соответствующие отделения в течение дня. Данные приведены в табл. 6.

 

Таблица 6

День	Глазное отделение

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: Р Р‡.Мессенджер ВКонтакте Одноклассники Telegram Twitter РњРѕР№ РњРёСЂ

Воспользуйтесь поиском по сайту: