 |
Таблица 6. Решение
|
|
|
|
Таблица 6
| День | Глазное отделение |
Требуется:
1. Определить коэффициенты автокорреляции уровней ряда первого и второго порядка.
2. Обосновать выбор уравнения тренда и определите его параметры.
3. Сделать выводы.
4. Результаты оформить в виде пояснительной записки.
Решение
Определим коэффициент корреляции между рядами 
и 
. Ррасчеты приведены в таблице 7:
|
| год | 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | |||
| - | -6, 14 | 1, 64 | 37, 73 | 2, 70 | - | - | - | - | 10, 09 | - | ||||
| -9, 14 | -6, 36 | 83, 59 | 40, 41 | -9, 36 | 1, 23 | 87, 56 | 1, 51 | 58, 12 | 11, 52 | |||||
| -0, 14 | -9, 36 | 0, 02 | 87, 56 | -0, 36 | -6, 77 | 0, 13 | 45, 82 | 1, 34 | 2, 42 | |||||
| -4, 14 | -0, 36 | 17, 16 | 0, 13 | -4, 36 | -9, 77 | 18, 98 | 95, 44 | 1, 48 | 42, 57 | |||||
| -10, 14 | -4, 36 | 102, 88 | 18, 98 | -10, 36 | -0, 77 | 107, 27 | 0, 59 | 44, 19 | 7, 97 | |||||
| 6, 86 | -10, 36 | 47, 02 | 107, 27 | 6, 64 | -4, 77 | 44, 13 | 22, 75 | 71, 02 | 31, 68 | |||||
| 0, 86 | 6, 64 | 0, 73 | 44, 13 | 0, 64 | -10, 77 | 0, 41 | 115, 98 | 5, 69 | 6, 92 | |||||
| 11, 86 | 0, 64 | 140, 59 | 0, 41 | 11, 64 | 6, 23 | 135, 56 | 38, 82 | 7, 62 | 72, 54 | |||||
| 5, 86 | 11, 64 | 34, 31 | 135, 56 | 5, 64 | 0, 23 | 31, 84 | 0, 05 | 68, 19 | 1, 30 | |||||
| 2, 86 | 5, 64 | 8, 16 | 31, 84 | 2, 64 | 11, 23 | 6, 98 | 126, 13 | 16, 12 | 29, 68 | |||||
| 0, 86 | 2, 64 | 0, 73 | 6, 98 | 0, 64 | 5, 23 | 0, 41 | 27, 36 | 2, 27 | 3, 36 | |||||
| 6, 86 | 0, 64 | 47, 02 | 0, 41 | 6, 64 | 2, 23 | 44, 13 | 4, 98 | 4, 41 | 14, 82 | |||||
| -5, 14 | 6, 64 | 26, 45 | 44, 13 | -5, 36 | 0, 23 | 28, 70 | 0, 05 | 34, 16 | 1, 24 | |||||
| -1, 14 | -5, 36 | 1, 31 | 28, 70 | -1, 36 | 6, 23 | 1, 84 | 38, 82 | 6, 12 | 8, 46 | |||||
| - | - | - | 0, 00 | 0, 00 | 547, 71 | 549, 21 | 3, 36 | 0, 00 | 507, 94 | 518, 31 | 330, 84 | 234, 47 | |
| Средн. | 28, 14 28, 36 | 28, 36 | 28, 77 |
Результат говорит о заметной зависимости между показателями и наличии во временном ряде линейной тенденции.
|
|
|
Определим коэффициент автокорреляции второго порядка:
, 
Результат подтверждает наличие линейной тенденции. Выбираем линейное уравнение тренда: 
.
Параметры определим, используя МНК. Результаты расчетов приведены в табл. 8.
Таблица 8
|
| 
|
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| -7, 00 | ||||||||||
| -6, 00 | ||||||||||
| -5, 00 | ||||||||||
| -4, 00 | ||||||||||
| -3, 00 | ||||||||||
| -2, 00 | ||||||||||
| -1, 00 | ||||||||||
| 0, 00 | ||||||||||
| 1, 00 | ||||||||||
| 2, 00 | ||||||||||
| 3, 00 | ||||||||||
| 4, 00 | ||||||||||
| 5, 00 | ||||||||||
| 6, 00 | ||||||||||
| 7, 00 | ||||||||||
|
| ||||||||||
| Средн. | 8, 00 | 28, 27 | 82, 67 | 835, 73 | 234, 6 | - | - |
.
Уравнение тренда примет вид: 
, коэффициент корреляции
.
Расчетное значение критерия Фишера равно 
,
,
уравнение статистически значимо и прогноз имеет смысл.
Задача 6.
Имеются данные за 12 месяцев года по району города о рынке вторичного жилья (y – стоимость квартиры (тыс. у. е. ), x – размер общей площади (м2)). Данные приведены в табл. 1. 4.
Таблица 1
| Месяц | ||||||||||||
| у | 22, 5 | 25, 8 | 20, 8 | 15, 2 | 25, 8 | 19, 4 | 18, 2 | 21, 0 | 16, 4 | 23, 5 | 18, 8 | 17, 5 |
| х | 29, 0 | 36, 2 | 28, 9 | 32, 4 | 49, 7 | 38, 1 | 30, 0 | 32, 6 | 27, 5 | 39, 0 | 27, 5 | 31, 2 |
Задание:
1. Рассчитайте параметры уравнений регрессий
|
|
|
и.
2. Оцените тесноту связи с показателем корреляции и детерминации.
3. Рассчитайте средний коэффициент эластичности и дайте сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
4. Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации и оцените качество модели.
5. С помощью F-статистики Фишера (при ) оцените надежность уравнения регрессии.
6. Рассчитайте прогнозное значение, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего значения. Определите доверительный интервал прогноза для.
7. Расчеты должны быть подробны, как показано в примере 1, и сопровождены пояснениями.
Решение
Составим таблицу расчетов 2.
Все расчеты в таблице велись по формулам
.
Таблица 2
| х | х2 | у | ху | у2 | А(%) | ||||||||
| 29, 0 | 841, 0 | 22, 5 | 652, 5 | 506, 3 | 2, 1 | -4, 5 | 4, 38 | 20, 33 | 18, 93 | 3, 57 | 12, 75 | 15, 871 | |
| 36, 2 | 1310, 4 | 25, 8 | 934, 0 | 665, 6 | 5, 4 | 2, 7 | 29, 07 | 7, 25 | 21, 28 | 4, 52 | 20, 40 | 17, 506 | |
| 28, 9 | 835, 2 | 20, 8 | 601, 1 | 432, 6 | 0, 4 | -4, 6 | 0, 15 | 21, 24 | 18, 90 | 1, 90 | 3, 62 | 9, 152 | |
| 32, 4 | 1049, 8 | 15, 2 | 492, 5 | 231, 0 | -5, 2 | -1, 1 | 27, 13 | 1, 23 | 20, 04 | -4, 84 | 23, 43 | 31, 847 | |
| 49, 7 | 2470, 1 | 25, 8 | 1282, 3 | 665, 6 | 5, 4 | 16, 2 | 29, 07 | 262, 17 | 25, 70 | 0, 10 | 0, 01 | 0, 396 | |
| 38, 1 | 1451, 6 | 19, 4 | 739, 1 | 376, 4 | -1, 0 | 4, 6 | 1, 02 | 21, 08 | 21, 90 | -2, 50 | 6, 27 | 12, 911 | |
| 30, 0 | 900, 0 | 18, 2 | 546, 0 | 331, 2 | -2, 2 | -3, 5 | 4, 88 | 12, 31 | 19, 26 | -1, 06 | 1, 12 | 5, 802 | |
| 32, 6 | 1062, 8 | 21, 0 | 684, 6 | 441, 0 | 0, 6 | -0, 9 | 0, 35 | 0, 83 | 20, 11 | 0, 89 | 0, 80 | 4, 256 | |
| 27, 5 | 756, 3 | 16, 4 | 451, 0 | 269, 0 | -4, 0 | -6, 0 | 16, 07 | 36, 10 | 18, 44 | -2, 04 | 4, 16 | 12, 430 | |
| 39, 0 | 1521, 0 | 23, 5 | 916, 5 | 552, 3 | 3, 1 | 5, 5 | 9, 56 | 30, 16 | 22, 20 | 1, 30 | 1, 69 | 5, 536 | |
| 27, 5 | 756, 3 | 18, 8 | 517, 0 | 353, 4 | -1, 6 | -6, 0 | 2, 59 | 36, 10 | 18, 44 | 0, 36 | 0, 13 | 1, 923 | |
| 31, 2 | 973, 4 | 17, 5 | 546, 0 | 306, 3 | -2, 9 | -2, 3 | 8, 46 | 5, 33 | 19, 65 | -2, 15 | 4, 62 | 12, 277 | |
| 402, 1 | 13927, 8 | 244, 9 | 8362, 6 | 5130, 7 | 0, 0 | 0, 0 | 132, 7 | 454, 1 | - | - | 79, 0 | 129, 9 | |
| Среднее значение | 33, 5 | 1160, 7 | 20, 4 | 696, 9 | 427, 6 | - | - | - | - | - | - | 6, 6 | 10, 8 |
| 6, 43 | - | 3, 47 | - | - | |||
| 41, 28 | - | 12, 06 | - | - |
Тогда
,
и линейное уравнение регрессии примет вид: .
Рассчитаем коэффициент корреляции:
.
Связь между признаком 
и фактором 
заметная.
|
|
|
Коэффициент детерминации – квадрат коэффициента или индекса корреляции.
R2 = 0, 6062 = 0, 367
Средний коэффициент эластичности 
позволяет проверить, имеют ли экономический смысл коэффициенты модели регрессии.
Для оценки качества модели определяется средняя ошибка аппроксимации:
,
допустимые значения которой 8 - 10 %.
Вычислим значение 
-критерия Фишера.
,
где
– число параметров уравнения регрессии (число коэффициентов при объясняющей переменной );
– объем совокупности.
.
По таблице распределения Фишера находим
.
Так как 
, то гипотеза 
о статистической незначимости параметра 
уравнения регрессии отклоняется.
Так как 
, то можно сказать, что 36, 7% результата объясняется вариацией объясняющей переменной.
Выберем в качестве модели уравнения регрессии 
, предварительно линеаризовав модель. Введем обозначения: 
. Получим линейную модель регрессии 
.
Рассчитаем коэффициенты модели, поместив все промежуточные расчеты в табл. 3.
Таблица 3
| 
| y | yU | y2 | 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| А(%) | |
| 5, 385 | 29, 0 | 22, 5 | 121, 17 | 506, 25 | 1, 640 | -0, 452 | 2, 69 | 0, 20 | 13, 74 | 8, 76 | 76, 7 | 38, 92 | |
| 6, 017 | 36, 2 | 25, 8 | 155, 23 | 665, 64 | 4, 940 | 0, 180 | 24, 40 | 0, 03 | 14, 01 | 11, 79 | 139, 0 | 45, 70 | |
| 5, 376 | 28, 9 | 20, 8 | 111, 82 | 432, 64 | -0, 060 | -0, 461 | 0, 004 | 0, 21 | 13, 74 | 7, 06 | 49, 9 | 33, 95 | |
| 5, 692 | 32, 4 | 15, 2 | 86, 52 | 231, 04 | -5, 660 | -0, 145 | 32, 04 | 0, 02 | 13, 87 | 1, 33 | 1, 8 | 8, 72 | |
| 7, 050 | 49, 7 | 25, 8 | 181, 89 | 665, 64 | 4, 940 | 1, 213 | 24, 40 | 1, 47 | 14, 42 | 11, 38 | 129, 5 | 44, 11 | |
| 6, 173 | 38, 1 | 19, 4 | 119, 75 | 376, 36 | -1, 460 | 0, 336 | 2, 13 | 0, 11 | 14, 07 | 5, 33 | 28, 4 | 27, 45 | |
| 5, 477 | 30, 0 | 18, 2 | 99, 69 | 331, 24 | -2, 660 | -0, 360 | 7, 08 | 0, 13 | 13, 78 | 4, 42 | 19, 5 | 24, 27 | |
| 5, 710 | 32, 6 | 21, 0 | 119, 90 | 0, 140 | -0, 127 | 0, 02 | 0, 02 | 13, 88 | 7, 12 | 50, 7 | 33, 89 | ||
| 5, 244 | 27, 5 | 16, 4 | 86, 00 | 268, 96 | -4, 460 | -0, 593 | 19, 89 | 0, 35 | 13, 68 | 2, 72 | 7, 4 | 16, 58 | |
| 6, 245 | 39, 0 | 23, 5 | 146, 76 | 552, 25 | 2, 640 | 0, 408 | 6, 97 | 0, 17 | 14, 10 | 9, 40 | 88, 3 | 39, 98 | |
| 58, 368 | 343, 4 | 208, 600 | 1228, 71 | 4471, 02 | - | - | - | - | - | - | - | 313, 567 | |
| Среднее значение | 5, 837 | 34, 34 | 20, 860 | 122, 871 | 447, 10 | - | - | - | - | - | - | - | 31, 357 |
|
|
|
| 0, 549 | - | 3, 646 | - | - | - | - | |
| 0, 302 | - | 13, 292 | - | - | - | - |
Рассчитаем параметры уравнения:
,
,
.
Коэффициент корреляции
.
Коэффициент детерминации
,
следовательно, только 9, 3% результата объясняется вариацией объясняющей переменной .
,
,
следовательно, гипотеза о статистической незначимости уравнения регрессии принимается. По всем расчетам линейная модель надежнее, и последующие расчеты мы сделаем для нее.
Оценим значимость каждого параметра уравнения регрессии.
Используем для этого t-распределение (Стьюдента). Выдвигаем гипотезу о статистической незначимости параметров, т. е.
.
.
Определим ошибки 
.
,
,
,
,
,
.
Полученные оценки модели и ее параметров позволяют использовать ее для прогноза.
Рассчитаем
.
Тогда
.
Средняя ошибка прогноза
,
где
,
.
Строим доверительный интервал с заданной доверительной вероятностью 
:
,
,
.
Найденный интервальный прогноз достаточно надежен (доверительная вероятность 
) и достаточно точен, т. к. 
.
Оценим значимость каждого параметра уравнения регрессии
.
Используем для этого t-распределение (Стьюдента). Выдвигаем гипотезу о статистической незначимости параметров, т. е.
.
.
Определим ошибки .
,
,
, 
,
, 
.
Следовательно, и 
не случайно отличаются от нуля, а сформировались под влиянием систематически действующей производной.
1. 
, следовательно, качество модели не очень хорошее.
2. Полученные оценки модели и ее параметров позволяют использовать ее для прогноза.
Рассчитаем 
. Тогда 
.
3. Средняя ошибка прогноза
,
где
,
.
Строим доверительный интервал с заданной доверительной вероятностью :
,
,
.
Найденный интервальный прогноз достаточно надежен (доверительная вероятность 
) и достаточно точен, т. к. 
.
Задача 7.
Имеются данные о деятельности крупнейших компаний в течение двенадцати месяцев 199Х года. Данные приведены в табл. 4.
Известны – чистый доход (у), оборот капитала (х1), использованный капитал (х2) в млрд у. е.
Таблица 4
| у | х1 | х2 |
| 1, 5 | 5, 9 | 5, 9 |
| 5, 5 | 53, 1 | 27, 1 |
| 2, 4 | 18, 8 | 11, 2 |
| 3, 0 | 35, 3 | 16, 4 |
| 4, 2 | 71, 9 | 32, 5 |
| 2, 7 | 93, 6 | 25, 4 |
| 1, 6 | 10, 0 | 6, 4 |
| 2, 4 | 31, 5 | 12, 5 |
| 3, 3 | 36, 7 | 14, 3 |
| 1, 8 | 13, 8 | 6, 5 |
| 2, 4 | 64, 8 | 22, 7 |
| 1, 6 | 30, 4 | 15, 8 |
Задание:
1. Рассчитайте параметры линейного уравнения множественной регрессии.
|
|
|
2. Дайте оценку силы связи факторов с результатом с помощью средних коэффициентов эластичности.
3. Оцените статистическую зависимость параметров и уравнения регрессии в целом с помощью соответственно критериев Стьюдента и Фишера (α =0, 01).
4. Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации. Сделайте вывод.
5. Составьте матрицы парных и частных коэффициентов корреляции и укажите информативные факторы.
6. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.
Решение
Результаты расчетов приведены в табл. 5.
Таблица 5
| y | x1 | x2 | yx1 | yx2 | x1x2 | x12 | x22 | y2 | |
| 1, 5 | 5, 9 | 5, 9 | 8, 85 | 8, 85 | 34, 81 | 34, 81 | 34, 81 | 2, 25 | |
| 5, 5 | 53, 1 | 27, 1 | 292, 05 | 149, 05 | 1439, 01 | 2819, 61 | 734, 41 | 30, 25 | |
| 2, 4 | 18, 8 | 11, 2 | 45, 12 | 26, 88 | 210, 56 | 353, 44 | 125, 44 | 5, 76 | |
| 35, 3 | 16, 4 | 105, 90 | 49, 20 | 578, 92 | 1246, 09 | 268, 96 | |||
| 4, 2 | 71, 9 | 32, 5 | 301, 98 | 136, 50 | 2336, 75 | 5169, 61 | 1056, 25 | 17, 64 | |
| 2, 7 | 93, 6 | 25, 4 | 252, 72 | 68, 58 | 2377, 44 | 8760, 96 | 645, 16 | 7, 29 | |
| 1, 6 | 6, 4 | 16, 00 | 10, 24 | 64, 00 | 100, 00 | 40, 96 | 2, 56 | ||
| 2, 4 | 31, 5 | 12, 5 | 75, 60 | 30, 00 | 393, 75 | 992, 25 | 156, 25 | 5, 76 | |
| 3, 3 | 36, 7 | 14, 3 | 121, 11 | 47, 19 | 524, 81 | 1346, 89 | 204, 49 | 10, 89 | |
| 1, 8 | 13, 8 | 6, 5 | 24, 84 | 11, 70 | 89, 70 | 190, 44 | 42, 25 | 3, 24 | |
| 2, 4 | 64, 8 | 22, 7 | 155, 52 | 54, 48 | 1470, 96 | 4199, 04 | 515, 29 | 5, 76 | |
| 1, 6 | 30, 4 | 15, 8 | 48, 64 | 25, 28 | 480, 32 | 924, 16 | 249, 64 | 2, 56 | |
| 32, 4 | 465, 8 | 196, 7 | 1448, 33 | 617, 95 | 10001, 03 | 26137, 30 | 4073, 91 | 102, 96 | |
| Средн. | 2, 7 | 38, 8 | 16, 4 | 120, 69 | 51, 50 | 833, 42 | - | - | 65, 80 |
| 1, 2 | 27, 1 | 8, 8 | - | - | - | - | - | - | |
| 1, 4 | 732, 4 | 77, 2 | - | - | - | - | - | - |
Рассматриваем уравнение вида:
.
Параметры уравнения можно найти из решения системы уравнений:
Или, перейдя к уравнению в стандартизированном масштабе:
, где
– стандартизированные переменные,
– стандартизированные коэффициенты:
Коэффициенты определяются из системы уравнений:
, 
;
;
, 
;
, 
;
, 
;
, 
;
, 
;
.
Стандартизированная форма уравнения регрессии имеет вид:
.
Естественная форма уравнения регрессии имеет вид:
.
Для выяснения относительной силы влияния факторов на результативный признак рассчитываются средние коэффициенты эластичности:
,
,
.
Следовательно, при увеличении оборота капитала (x1) на 1% чистый доход (y) уменьшается на 0, 14% от своего среднего уровня. При повышении использованного капитала на 1% чистый доход повышается на 0, 73% от своего среднего уровня.
Линейные коэффициенты частной корреляции для уравнения определяются следующим образом:
,
.
Линейный коэффициент множественной корреляции рассчитывается по формуле
.
Коэффициент множественной детерминации 
.
,
где
- объем выборки,
- число факторов модели.
В нашем случае
.
Так как 
, то 
и потому уравнение незначимо.
Выясним статистическую значимость каждого фактора в уравнении множественной регрессии.
Для этого рассчитаем частные -статистики.
.
Так как , то 
и следует вывод о нецелесообразности включения в модель фактора 
после фактора 
.
.
Так как , то следует вывод о нецелесообразности включения в модель фактора после фактора .
Результаты расчетов позволяют сделать вывод:
1. о незначимости фактора и нецелесообразности включения его в уравнение регрессии;
2. о незначимости фактора и нецелесообразности включения его в уравнение регрессии.
Задача 8.
1. Используя необходимое и достаточное условие идентификации, определить, идентифицировано ли каждое уравнение модели.
2. Определите тип модели.
3. Определите метод оценки параметров модели.
4. Опишите последовательность действий при использовании указанного метода.
5. Результаты оформите в виде пояснительной записки.
Модель денежного и товарного рынков:
Rt = a1+b12Yt+b14Mt+e1,
Yt = a2+b21Rt+ b23It+ b25Gt+e2,
It = a3+b31Rt+e3,
где
R – процентные ставки;
Y – реальный ВВП;
M – денежная масса;
I – внутренние инвестиции;
G – реальные государственные расходы.
Решение
1. Модель имеет три эндогенные (RtYtIt) и две экзогенные переменные (MtGt).
Проверим необходимое условие идентификации:
1-е уравнение: D=1, H=2, D+1=H - уравнение идентифицировано.
2-е уравнение: D=1, H=1, D+1=2 - уравнение сверхидентифицировано.
3-е уравнение: D=1, H=2, D+1=H - уравнение идентифицировано.
Следовательно, необходимое условие идентифицируемости выполнено.
Проверим достаточное условие:
В первом уравнении нет переменных It, Gt
Строим матрицу:
| It | Gt | |
| 2 ур. | b23 | b23 |
| 3 ур. |
det M = det 
, rank M =2.
Во втором уравнении нет переменных Mt
det M № 0
В третьем уравнении нет переменных Yt, Mt, Gt
Строим матрицу:
det M 
/
Следовательно, достаточное условие идентифицируемости выполнено.
Система точно идентифицируема.
2. Найдем структурные коэффициенты модели.
Для этого:
Запишем систему в матричной форме, перенеся все эндогенные переменные в левые части системы:
Rt-b12Yt=a1+b12Mt
Yt-b21Rt-b23It=a2+b25Gt
It-b31Rt=a3
откуда
, и 
, 
, 
, 
.
Решаем систему относительно 
: 
. Найдем
, где 
–
алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы 
, 
– минор, т. е. определитель, полученный из матрицы вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.
,
,
,
.
Поэтому
В данном случае эти коэффициенты можно найти значительно проще. Находим 
из второго уравнения приведенной системы и подставим его в первое уравнение этой системы. Тогда первое уравнение системы примет вид: 
, откуда 
, 
. Из третьего уравнения системы находим и подставляем во второе уравнение системы, получим: 
, решая его совместно с уравнением и, исключая , получим 
. Сравнивая это уравнение со вторым уравнением системы получим 
. Выражая из второго уравнения, и подставляя в третье системы (3. 2), получим 
. Сравнивая это уравнение с третьим уравнением системы, получим 
.
Задача 9.
Имеются данные за пятнадцать дней по количеству пациентов клиники, прошедших через соответствующие отделения в течение дня. Данные приведены в табл. 6.
Таблица 6
| День | Глазное отделение | ||||
|
|
|
