 |
Выполнение действий с векторами через их координаты
|
|
|
|
В координатной форме записи удобно выполнять любые действия с векторами.
Чтобы умножить вектор на число, нужно все его координаты умножить на это число:
.
Чтобы найти сумму или разность векторов, нужно сложить или вычесть соответствующие координаты.
; 
;
; 
.
Используя свойства скалярного произведения, а также тот факт, что базисные вектора взаимно ортогональны, можно получить формулу для вычисления скалярного произведения векторов, заданных своими координатами:
; ;
.
Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат.
Формула для вычисления угла между векторами:
Учитывая свойства векторного произведения и взаимную перпендикулярность базисных векторов, можно получить способ определения координат векторного произведения через координаты входящих в него векторов 
и 
.
; ;
.
Формулы для вычисления координат векторного произведения легче запоминаются, если представить его в виде определителя, составленного из базисных векторов и координат векторов и , разложенного по элементам первой строки:
Смешанное произведение легко вычисляется, если вектора 
заданы своими координатами:
Смешанное произведение равно определителю, составленному из координат векторов, входящих в смешанное произведение.
Пример решения контрольной работы №2
Задание 1
Дано: 
. Для векторов 
и 
найти скалярное произведение и модуль векторного произведения.
Решение
Используя свойства и определение скалярного произведения, найдём:
Используя свойства векторного произведения векторов и определение его модуля, найдём:
Задание 2
Дан тетраэдр с вершинами в точках
.
Найти: 1) внутренние углы в основании 
(с точностью до десятых долей градуса), сделать проверку;
|
|
|
2) объём пирамиды, площадь основания и длину высоты, проведённой из вершины 
.
Решение
1) Внутренние углы в основании 
можно найти как углы между векторами, выходящими из соответствующих вершин:
, 
, 
.
Как изложено в теоретическом материале, координаты вектора равны разности координат конца и начала вектора, его длина равна корню квадратному из суммы квадратов его координат. Тогда:
Подставим координаты векторов и их длины в формулы для нахождения косинусов углов:
;
;
.
Проверка: 
.
С учётом проведённых округлений нахождение углов можно признать правильным.
2) Как показано в теоретическом материале данного раздела, объём треугольной пирамиды можно найти как 1/6 модуля смешанного произведения векторов, на которых она построена:
.
Найдём смешанное произведение векторов, учитывая координаты вектора 
:
.
Тогда 
.
Площадь треугольника, являющегося основанием , можно найти как половину модуля векторного произведения векторов, которые образуют данный треугольник:
.
Найдём векторное произведение:
Тогда площадь основания 
.
Высоту пирамиды из вершины 
найдём, используя формулу:
.
В данном случае 
и высота 
.
Ответ: 1) 
2) 
; 
; 
.
Задания контрольной работы №2
Вариант 1
Задание 1
Дано: 
. Для векторов 
и 
найти скалярное произведение и модуль векторного произведения.
Задание 2
Дан тетраэдр с вершинами в точках
.
Найти: 1) внутренние углы в основании (с точностью до десятых долей градуса), сделать проверку;
2) объём пирамиды, площадь основания и длину высоты, проведённой из вершины .
Вариант 2
Задание 1
Дано: 
. Для векторов 
и 
найти скалярное произведение и модуль векторного произведения.
Задание 2
Дан тетраэдр с вершинами в точках
.
Найти: 1) внутренние углы в основании (с точностью до десятых долей градуса), сделать проверку;
|
|
|
2) объём пирамиды, площадь основания и длину высоты, проведённой из вершины .
Вариант 3
Задание 1
Дано: 
. Для векторов 
и 
найти скалярное произведение и модуль векторного произведения.
Задание 2
Дан тетраэдр с вершинами в точках
.
Найти: 1) внутренние углы в основании (с точностью до десятых долей градуса), сделать проверку;
2) объём пирамиды, площадь основания и длину высоты, проведённой из вершины .
Вариант 4
Задание 1
Дано: 
. Для векторов 
и 
найти скалярное произведение и модуль векторного произведения.
Задание 2
Дан тетраэдр с вершинами в точках
.
Найти: 1) внутренние углы в основании (с точностью до десятых долей градуса), сделать проверку;
2) объём пирамиды, площадь основания и длину высоты, проведённой из вершины .
Вариант 5
Задание 1
Дано: 
. Для векторов 
и 
найти скалярное произведение и модуль векторного произведения.
Задание 2
Дан тетраэдр с вершинами в точках
.
Найти: 1) внутренние углы в основании (с точностью до десятых долей градуса), сделать проверку;
2) объём пирамиды, площадь основания и длину высоты, проведённой из вершины .
Вариант 6
Задание 1
Дано: 
. Для векторов 
и 
найти скалярное произведение и модуль векторного произведения.
Задание 2
Дан тетраэдр с вершинами в точках
.
Найти: 1) внутренние углы в основании (с точностью до десятых долей градуса), сделать проверку;
2) объём пирамиды, площадь основания и длину высоты, проведённой из вершины .
Вариант 7
Задание 1
Дано: 
. Для векторов 
и 
найти скалярное произведение и модуль векторного произведения.
Задание 2
Дан тетраэдр с вершинами в точках
.
Найти: 1) внутренние углы в основании (с точностью до десятых долей градуса), сделать проверку;
2) объём пирамиды, площадь основания и длину высоты, проведённой из вершины .
Вариант 8
Задание 1
Дано: 
. Для векторов 
и 
найти скалярное произведение и модуль векторного произведения.
Задание 2
Дан тетраэдр с вершинами в точках
.
Найти: 1) внутренние углы в основании (с точностью до десятых долей градуса), сделать проверку;
2) объём пирамиды, площадь основания и длину высоты, проведённой из вершины .
|
|
|
Вариант 9
Задание 1
Дано: 
. Для векторов 
и 
найти скалярное произведение и модуль векторного произведения.
Задание 2
Дан тетраэдр с вершинами в точках
.
Найти: 1) внутренние углы в основании (с точностью до десятых долей градуса), сделать проверку;
2) объём пирамиды, площадь основания и длину высоты, проведённой из вершины .
Вариант 10
Задание 1
Дано: 
. Для векторов 
и 
найти скалярное произведение и модуль векторного произведения.
Задание 2
Дан тетраэдр с вершинами в точках
.
Найти: 1) внутренние углы в основании (с точностью до десятых долей градуса), сделать проверку;
2) объём пирамиды, площадь основания и длину высоты, проведённой из вершины .
|
|
|
