Уравнение прямой в отрезках
Если в общем уравнении прямой
где a, b – отрезки, отсекаемые прямой на осях координат,
Пусть прямая l, проходящая через точку Из треугольника BMK находим
откуда, обозначив
или Угол между двумя прямыми Угол определяется по следующим формулам. Если уравнения прямых заданы в виде
то Если уравнения прямых даны в общем виде
то Расстояние от точки до прямой Рассмотрим прямую l, заданную общим уравнением Под расстоянием от точки до прямой понимается длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Формула для нахождения расстояния может быть выведена аналогично расстоянию от точки до плоскости и имеет вид: Кривые второго порядка
Окружность Окружностью называется геометрическое место точек, для каждой из которых, расстояние до фиксированной точки, называемой центром, постоянно. Выведем уравнение окружности в декартовой системе координат. Пусть точка
откуда
Если центр окружности находится в начале координат, то уравнение окружности примет вид: Если в левой части уравнения
При умножении или делении обеих частей данного уравнения на произвольное число, отличное от 0, коэффициенты при Пример. Найти координаты центра и радиус окружности, заданной уравнением Сгруппируем слагаемые, содержащие переменные
В скобках выделим полный квадрат:
Раскрывая квадратные скобки и сокращая обе части уравнения на 4, получим
Сравнивая полученное уравнение с уравнением окружности в общем виде, найдем, что координаты центра Эллипс Эллипсом называется геометрическое место точек, для каждой из которых, сумма расстояний до двух фиксированных точек, называемых фокусами, постоянна и больше расстояния между фокусами.
Выведем уравнение эллипса в декартовой системе координат. Расположим фокусы эллипса на оси
то Преобразуем выписанное равенство, возведя вначале обе его части в квадрат: Раскроем скобки, приведем подобные: Введем обозначение
Снова возведем в квадрат обе части равенства:
После упрощения:
Разделив обе части последнего равенства на
В уравнении использовано обозначение
Из уравнения следует, что эллипс должен проходить через точки Из рисунка видно, что эллипс имеет две оси симметрии и центр симметрии. Параметры
Заметим, что если фокусы эллипса расположены на оси Пусть теперь центр эллипса расположен в произвольной точке
Из рисунка видно, что координаты произвольной точки на эллипсе в исходной и вспомогательной системе координат связаны соотношениями: Используя эти равенства, получим уравнение эллипса со смещенным центром:
Чтобы нарисовать эллипс по данному уравнению, нужно отметить центр эллипса
Пример. Изобразить эллипс по его уравнению: Координаты центра Указанное в данном примере уравнение можно записать в другом виде:
Обе части исходного уравнения умножили на 144. Раскроем скобки и приведем подобные:
В общем виде подобное уравнение можно записать так:
Отметим, что в уравнении эллипса коэффициенты Обратный переход от уравнения вида (*) к уравнению со смещенным центром, можно выполнить аналогично примеру, рассмотренному в предыдущем пункте. Гипербола Гиперболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых, модуль разности расстояний до двух фиксированных точек, называемых фокусами, имеет постоянное значение, меньшее расстояния между фокусами. Если разместить фокусы гиперболы на
Преобразуя выписанное равенство подобно тому, как это было сделано при выводе уравнения эллипса, получим каноническое уравнение гиперболы: В уравнении использовано обозначение Если фокусы гиперболы расположить на
Такая гипербола называется сопряженной. Для построения графика гиперболы, описываемой уравнением Учитывая этот результат, график гиперболы строим следующим образом. Проводим прямые
Отметим вершины График гиперболы состоит из двух половин — ветвей, он имеет две оси симметрии и центр симметрии. Пунктирной линией на рисунке нанесен график сопряженной гиперболы. Уравнение гиперболы, центр симметрии которой находится в точке
Отметим, что в уравнении гиперболы коэффициенты при Пример. Установить, что уравнение определяет гиперболу и построить ее. Т.к. коэффициенты при Сгруппируем слагаемые с
Выделим в скобках полный квадрат:
Разделим обе части последнего равенства на 144:
Это уравнение гиперболы с центром в Отметим положение центра и проведем через него вспомогательные оси
Парабола Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки, называемой фокусом, и заданной прямой, называемой директрисой при условии, что директриса не проходит через фокус. Чтобы составить уравнение параболы, разместим фокус в точке
Возведем в квадрат обе части уравнения:
Раскрывая скобки и приводя подобные, получим каноническое уравнение параболы:
Если Если расположить директрису параллельно
В соответствии со знаком параметра График параболы имеет только одну ось симметрии и не имеет центра симметрии. На графике имеется точка, называемая вершиной параболы. Если вершина параболы находится не в начале координат, а в произвольной точке
В уравнение параболы одна из координат входит в первой степени, а другая - во второй.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|