Сложение колебаний одного направления и одной частоты.

При сложении двух гармонических колебаний одинакового направления и частоты, результирующее смещение будет суммой смещений и , которые запишутся следующими выражениями:

Сумма двух гармонических колебаний также будет гармоническим колебанием той же круговой частоты:

Значения амплитуды А и начальной фазы φ этого гармонического колебания будет зависеть от амплитуд исходных колебаний и их начальных фаз (Рис. 1.2).

Рисунок 1.2. Сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и частоты

На рисунке 1.2. приведено два примера А и В сложения гармонических колебаний с использованием метода векторных диаграмм. Из векторных диаграмм видно, что направление (начальная фаза φ) и длина А вектора амплитуды суммарного гармонического колебания зависит, как от направления (от начальных фаз), так и от длины векторов амплитуд исходных гармонических колебаний.
Если угол (разность фаз: Δφ = φ1 - φ2) между векторами А1 и А2 равен 0, то исходные колебания находятся в фазе и суммарная амплитуда (А =А1 +А2) будет максимальна. Если угол (разность фаз: Δφ = φ1 - φ2) между векторами А1 и А2 равен - π или π, то исходные колебания находятся в противофазе и суммарная амплитуда (А = А1 -А2 ) будет минимальна.

25. Сложение колебаний одного направления и близких частот.

Если частоты колебаний и , неодинаковы, векторы А1 и А2 будут вращаться с различной скоростью. В этом случае результирующий вектор А пульсирует по величине и вращается с не постоянной скоростью. Результирующим движение уже будет не гармоническое колебание, а сложный колебательный процесс.

Биения возникают при сложении колебаний, отличающихся по частоте на небольшую величину, и проявляются в появлении более низкочастотных изменений амплитуды суммарного сигнала, по сравнению с исходными частотами. Амплитуда колебаний при этом меняется от минимального значения равного разности исходных амплитуд до максимального значения, равного сумме амплитуд исходных колебаний, и вновь до минимального значения. Периодом биений является время повторения этого процесса (Рис 1.3.).

Рисунок 1.3. Биения

За счет того, что вращение векторов А1 и А2 происходит с близкими, но отличающимися скоростями, разность фаз этих двух колебаний будет не постоянна, а медленно, то увеличиваться, то уменьшаться. Колебания будут находиться, то в фазе, то в противофазе, в результате амплитуда суммарного сигнала тоже будет меняться. Время за которое разность фаз измениться на 2π и будет периодом биений Тб (Тб = 2π/Δω). Δω -разность круговых частот исходных колебаний.
Биения применяют при обнаружении металлических предметов мин, оружия и т.д. Для этого используют два одинаковых высокочастотных колебательных контура, имеющих одинаковую частоту. Если вблизи одного из них появится металлический предмет, частота этого контура немного изменится. При сложении сигналов от этих двух контуров, в суммарном сигнале возникнет низкочастотная составляющая. Ее можно выделить и подать в наушники, в которых возникнут звуковые колебания, сигнализирующие о наличии металлического предмета.

 

26. Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу.

Рис. 9.9. Сложение синхронных взаимно перпендикулярных колебаний.

Сложение ортогональных колебаний с равными частотами.

Рассмотрим два векторных колебания, описываемых уравнениями:

Заметим, что с течением времени направление векторов не изменяется, а изменяется только их амплитуда. Очевидно также, что вектор A ₁ параллелен r ₁, а вектор A ₂ параллелен r ₂. Задача: найти r = r ₁ + r ₂. Рассмотрим только случай взаимно-перпендикулярных колебаний.

Вдоль вектора r ₁ направим ось Х, вдоль r ₂ - ось Y. Очевидно, результирующий вектор r перемещается в плоскости XY. Кривая, описываемая концом вектора r, называется фигурой Лиссажу. Эта фигура вписывается в четырехугольник со сторонами 2· A ₁ и 2· A ₂, а ее вид зависит от соотношения частот, фаз и амплитуд складываемых колебаний.

Рассмотрим случай синхронных взаимно-перпендикулярных колебаний (см. рис. 9.9):

(9.7)

(9.8)

Спроецировав уравнения (9.7) и (9.8) на оси координат и проведя суммирование проекций, получим:

x = (9.9)

y = (9.10)

Исключив с помощью тригонометрических преобразований t из (9.9) и (9.10), получим математическое выражение фигуры Лиссажу, которое представляет собой уравнение эллипса:

. (9.11)

Вид эллипса определяется величиной сдвига фаз Df. В общем случае, когда Df отлична от 0, полуоси эллипса повернуты относительно осей X и Y на определенный угол.

Если сдвиг фаз Df = 0, то как следует из уравнения (9.11) будет справедливо следующее выражение:

(х/А₁ - y/A₂)² = 0 или
y = А₂·x/А₁.

Т.е. фигура Лиссажу представляет из себя прямую линию с углом наклона aк оси X (tg a = А₂/А₁). Если Df = p, то y = - А₂·x/А₁.

Если Df = p/2, то имеем классическое уравнение эллипса, полуоси которого параллельны осям координат:

х²/А₁² + y²/A₂² = 1.

Если Df = p/2 и А₁ = А₂ = A, то эллипс превращается в окружность радиуса A.

Рис. 9.10.

 

Рис. 9.11.

Сложение ортогональных колебаний с кратными частотами.

Рассмотрим случай сложения несинхронных перпендикулярных колебаний. Пусть w ₁ не равняется w ₂, но частоты исходных колебаний относятся как целые числа: w ₁/ w ₂ = n₁/n₂. Рассмотрим следующий пример:

x =

y = .

Для нахождения вида фигуры Лиссажу используем метод графического исключения t. Изобразим на одном графике зависимости x(t) и y(t). Отметим на этом графике положение точек в некоторые последовательные моменты времени. Затем перенесем эти точки на плоскость XY. В результате получим фигуру Лиссажу типа восьмерки (см. рис. 9.10). Если взять колебания с разными начальными фазами, то при таком же соотношении частот также получим фигуры Лиссажу типа восьмерки, но не симметричные относительно осей координат. При Df = p/2, фигура Лиссажу примет вид параболы (см. рис. 9.11).

Существует правило частот Лиссажу, по которому можно определить частоты складываемых колебаний. Об их соотношении судят по числу точек пересечения фигуры прямыми, параллельными осям координат:

w _y/ w _x = n_x/n_y.

Обозначим за t - минимальное время, в течение которого полностью описывается фигура Лиссажу. Очевидно, что t равно наименьшему кратному периодов колебаний T_x и T_y, совершающихся вдоль осей X и Y. За один период конец вектора r пересечет ось X 2 раза. Следовательно, за время t число пересечений этой оси будет равно n_x = 2·t/T_y. Аналогично n_y = 2·t/T_x. Следовательно, n_y/n_x = T_y/T_x = w _x/ w _y.

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: