 |
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Решение. График.
|
|
|
|
Чтобы в реальной колебательной системе осуществлять незатухающие колебания, надо компенсировать каким-либо потери энергии. Такая компенсация возможна, если использовать какой-либо периодически действующего фактора X(t), который изменяется по гармоническому закону:
При рассмотрении механических колебаний, то роль X(t) играет внешняя вынуждающая сила
(1)
С учетом (1) закон движения для пружинного маятника (формула (9) предыдущего раздела) запишется как
Используя формулу для циклической частоты свободных незатухающих колебаний прижинного маятника и (10) предыдущего раздела, получим уравнение
(2)
При рассмотрении электрического колебательный контура роль X(t) играет подводимая к контуру внешняя соответсвующим образом периодически изменяющаяся по гармоническому закону э.д.с. или переменное напряжение
(3)
Тогда дифференциальное уравнение колебаний заряда Q в простейшем контуре, используя (3), можно записать как
Зная формулу циклической частоты свободных колебаний колебательного контура и формулу предыдущего раздела (11), придем к дифференциальному уравнению
(4)
Колебания, которые возникают под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся э.д.с., называются соответственно вынужденными механическими и вынужденными электромагнитными колебаниями.
Уравнения (2) и (4) приведем к линейному неоднородному дифференциальному уравнению
(5)
причем далее мы будем применять его решение для вынужденных колебаний в зависимости от конкретного случая (x0 если механические колебания равно F0/m, в случае электромагнитных колебаний - Um/L).
Решение уравнения (5) будет равно (как известно из курса дифференциальных уравнений) сумме общего решения (5) однородного уравнения (1) и частного решения неоднородного уравнения. Частное решение ищем в комплексной форме. Заменим правую часть уравнения (5) на комплексную переменную х0eiωt:
(6)
Частное решение данного уравнения будем искать в виде
Подставляя выражение для s и его производных (
и 
) в выражение (6), найдем
(7)
Поскольку это равенство должно быть верным для всех моментов времени, то время t из него должно исключаться. Значит η=ω. Учитывая это, из формулы (7) найдем величину s0 и умножим ее числитель и знаменатель на (ω02 - ω2 - 2iδω)
Это комплексное число представим в экспоненциальной форме:
где
(8)
(9)
Значит, решение уравнения (6) в комплексной форме будет иметь вид
Его вещественная часть, которая является решением уравнения (5), равна
(10)
где А и φ определяются соответственно формулами (8) и (9).
Следовательно, частное решение неоднородного уравнения (5) равно
(11)
Решение уравнения (5) есть сумма общего решения однородного уравнения
(12)
и частного решения уравнения (11). Слагаемое (12) играет значительную роль только в начальной стадии процесса (при установлении колебаний) до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения, которое определяется равенством (8). Графически вынужденные колебания изображены на рис. 1. Значит, в установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой ω и являются гармоническими; амплитуда и фаза колебаний, которые определяются уравнениями (8) и (9), также зависят от ω.
|
|
|
Рис.1
Запишем выражения (10), (8) и (9) для электромагнитных колебаний, учитывая, что ω02 = 1/(LC) и δ = R/(2L):
(13)
Продифференцировав Q=Qmcos(ωt–α) по t, получим силу тока в контуре при установившихся колебаниях:
(14)
где
(15)
Уравнение (14) может быть записано как
где φ = α – π/2 — сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением (см. (3)). В соответствии с уравнением (13)
(16)
Из (16) следует, что ток отстает по фазе от напряжения (φ>0), если ωL>1/(ωС), и опережает напряжение (φ<0), если ωL<1/(ωС).
Выражения (15) и (16) можно также вывести с помощью векторной диаграммы.
|
|
|
31. Резонанс. Амплитуда и частота при резонансе. График 
.
Резонанс
Т.к. 
,
то
.
Таким образом, амплитуда вынужденных колебаний изменяется с изменением частоты внешнего воздействия. При определенной частоте амплитуда достигает максимума. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота - ωрез - резонансной. Для определения ωрез исследуем функцию A(ω) на максимум, для этого достаточно найти минимум знаменателя у выражения A(ω). Возьмем от него производную по и приравняем к нулю:
,
откуда:
.
При 2β2 > ω20 резонанс отсутствует (ωрез - мнимое число).
Амплитуда при резонансе
Амплитуда при резонансе получается при подстановке найденного выражения ωрез в формулу для A(ω).
.
При β << ω0:
.
При ω = 0 отклонение системы от положения равновесия
.
Найдем отношение Aрез / A0 при условии β << ω0:
,
здесь Q - добротность.
Добротность показывает (при β << ω0) во сколько раз амплитуда при резонансе больше смещения при ω = 0.
Резонансные кривые
График зависимости A(ω) при различных β носят название резонансных кривых.
β1 < β2 < β3, 2β23 > ω20, в этом случае резонанса нет.
|
|
|
