Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Сила притяжения между двумя разноименно заряженными обкладками конденсатора

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 8Следующая ⇒

Сила притяжения между двумя разноименно заряженными обкладками конденсатора

где S – площадь пластин.

Электроемкость:

а) уединенного проводника

C = q/φ;

г) шара

С = 4π ε ε ₀r,

где r - радиус шара.

б) плоского конденсатора

в) слоистого конденсатора

где d – расстояние между пластинами конденсатора; d_i – толщина i-го слоя диэлектрика; ε _i – его диэлектрическая проницаемость.

Электроемкость батареи конденсаторов, соединенных:

а) параллельно

C = Σ C_i

б) последовательно

Энергия поля:

а) заряженного проводника

б) заряженного конденсатора

где V – объем конденсатора.

Объемная плотность энергии электрического поля

Примеры решения задач

Пример 1. Движение тела массой 1 кг задано уравнением
s = 6∙ t³ + 3∙ t + 2. Найти зависимость скорости и ускорения от времени. Вычислить силу, действующую на тело в конце второй секунды.

Решение. Мгновенную скорость находим как производную пути от времени:

υ = ds/dt; υ = 18∙ t² + 3.

Мгновенное ускорение определяется первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени:

a = dυ /dt = d²s/dt²; a = 36∙ t.

Сила, действующая на тело, определяется по второму закону Ньютона: F = m∙ a, где а, согласно условию задачи, – ускорение в конце второй секунды. Тогда

F = m∙ 36∙ t; F = 1 кг∙ 36∙ 2 м/с² = 72 Н.

Ответ: υ = 18∙ t² + 3; a = 36∙ t; F = 72 Н.

Пример 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону
φ = A + Bt + Ct², где А = 10 рад, В = 20 рад/с, С = -2 рад/с². Найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии r = 0, 1 м от оси вращения, для момента времени t = 4 c.

Решение. Полное ускорение точки, движущейся по кривой линии, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения , направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения , направленного к центру кривизны траектории (см. рис. ):

Так как векторы и взаимно перпендикулярны, то модуль ускорения

. (1)

Модули тангенциального и нормального ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами:

а_τ = ε ∙ r; а_n = ω ²∙ r,

где ω – модуль угловой скорости тела; ε – модуль его углового ускорения.

Подставляя выражения а_τ и а_n в формулу (1), находим:

. (2)

Угловую скорость ω найдем, взяв первую производную угла поворота по времени:

ω = dφ /dt = B + 2C∙ t.

В момент времени t = 4c модуль угловой скорости

ω = [20 + 2(-2)4] рад/с = 4 рад/с.

Угловое ускорение найдем, взяв первую производную от угловой скорости по времени:

ε = dω /dt = 2C = -4 рад/с².

Подставляя значения ω, ε и r в формулу (2), получаем

а = 0, 1 м/с² = 1. 65 м/с².

Ответ: а = 1. 65 м/с².

Пример 3. Ящик массой m₁ = 20 кг соскальзывает по идеально гладкому лотку длиной l = 2 м на неподвижную тележку с песком и застревает в нем. Тележка с песком массой m₂ = 80 кг может свободно (без трения) перемещаться по рельсам в горизонтальном направлении. Определить скорость u тележки с ящиком, если лоток наклонен под углом α = 30⁰ к рельсам.

Решение. Тележку и ящик можно рассматривать как систему двух неупруго взаимодействующих тел. Но эта система не замкнута, так как на нее действуют внешние силы: силы тяжести m₁g и m₂g и сила реакции N₂ (см. рис. ). Поэтому применить закон сохранения импульса к системе ящик – тележка нельзя. Но так как проекции указанных выше сил на направление оси х, совпадающей с направлением рельсов, равны нулю, то проекцию импульса системы на это направление можно считать постоян

ной,

т. е.

р_1х + р_2х = р'_1х + р'_2х, (1)

где р_1х и р_2х – проекции импульса ящика и тележки с песком в момент падения ящика на тележку; р'_1х и р'_2х – те же величины после падения ящика.

Рассматривая тела системы как материальные точки, выразим в равенстве (1) импульсы тел через их массы и скорости, учитывая, что р_2х = 0 (тележка до взаимодействия с ящиком покоилась), а также что после взаимодействия оба тела системы движутся с одной и той же скоростью u:

m₁υ ₁_x = (m₁ + m₂)∙ u

или

m₁υ ₁∙ cos α = (m₁ + m₂)∙ u,

где υ ₁ – модуль скорости ящика перед падением на тележку; υ ₁_x = υ ₁∙ cos α – проекция этой скорости на ось х.

Отсюда u = m₁υ ₁∙ cos α /(m₁ + m₂). (2)

Модуль скорости υ ₁ определим из закона сохранения энергии:

где h = l∙ sin α, откуда

Подставив выражение для υ ₁ в формулу (2), получим:

После вычислений найдем:

Ответ: u = 0. 767 м/с.

Пример 4. На спокойной воде пруда перпендикулярно берегу и носом к нему стоит лодка массой М и длиной L. На корме стоит человек массой m. На какое расстояние s удалится лодка от берега, если человек перейдет с кормы на нос лодки? Силами трения и сопротивления пренебречь.

Решение. Систему человек – лодка относительно горизонтального направления можно рассматривать как замкнутую. Согласно следствию из закона сохранения импульса внутренние силы замкнутой системы не могут изменить положение центра масс системы. Применяя это следствие к системе человек – лодка, можно считать, что при перемещении человека по лодке центр масс системы не изменит своего положения, т. е. останется на прежнем расстоянии от берега.

Пусть центр масс системы человек – лодка находится на вертикали, проходящей в начальный момент через точку С₁ лодки (см. рис. ), а после перемещения лодки – через другую ее точку С₂. Так как эта вертикаль неподвижна относительно берега, то искомое перемещение s лодки относительно берега равно перемещению лодки относительно вертикали. А это последнее легко определить по перемещению центра масс О лодки.

Как видно из рисунка, в начальный момент точка О находится на расстоянии а₁ слева от вертикали, а после перехода человека – на расстоянии а₂ справа от вертикали. Следовательно, искомое перемещение лодки

s = a₁ + a₂.

Для определения а₁ и а₂ воспользуемся тем, что результирующий момент сил, действующих на систему относительно горизонтальной оси, перпендикулярной продольной оси лодки, равен нулю. Поэтому для начального положения системы

M∙ g∙ a₁ = m∙ g∙ (l – a₁), откуда

а₁ = m∙ l/(M + m).

После перемещения лодки M∙ g∙ d₂ = m∙ g∙ (L – d₂ – l), откуда

a₂ = m(L – l)/(M + m).

Подставив полученные выражения а₁ и а₂ в (1), найдем

, или .

Пример 5. На двух шнурах одинаковой длины l = 0. 8 м, подвешены два свинцовых шара массами m₁ = 0. 5 кг и m₂ = 1 кг. Шары соприкасаются между собой. Шар меньшей массы отвели в сторону так, что шнур отклонился на угол α = 60⁰, и отпустили. На какую высоту h поднимутся оба шара после столкновения? Удар считать центральным и неупругим. Определить энергию Δ E, израсходованную на деформацию шара при ударе.

Решение. Так как удар шаров неупругий, то после удара шары будут двигаться с общей скоростью υ. Закон сохранения количества движения при этом ударе имеет вид:

m₁∙ υ ₁+ m₂∙ υ ₂ = (m₁ + m₂)∙ υ. (1)

Здесь υ ₁ и υ ₂ – скорости шаров до удара. Скорость большего шара до удара равна нулю (υ ₂ = 0). Скорость меньшего шара найдем, используя закон сохранения энергии. При отклонении меньшего шара на угол α ему сообщается потенциальная энергия, которая затем переходит в кинетическую: m₁∙ g∙ h₁ = m₁∙ υ ₁²/2. Т. к. h₁ = = l(1_– cos α ) = 2∙ l∙ sin²(α /2), то

. (2)

Из уравнений (1) и (2) находим скорость шаров после удара:

. (3)

Кинетическая энергия, которой обладают шары после удара, переходит в потенциальную:

где h – высота поднятия шаров после столкновения. Из формулы (4) находим h = υ ²/(2∙ g), или с учетом (3):

;

h = 2(0. 5 кг)²∙ 0. 8 м∙ 0. 25/(0. 5 кг + 1 кг)² = 0. 044 м

При неупругом ударе шаров часть энергии расходуется на их деформацию. Энергия деформации определяется разностью кинетических энергий до и после удара:

Используя уравнения (2) и (3), получаем:

;

Проверим, дает ли полученная формула единицу энергии:

[g]∙ [l]∙ [m] = 1 м/с²∙ 1 м∙ 1 кг = 1 Дж.

Δ E = 2∙ 9. 81 м/с²∙ 0. 8 м∙ 0. 5 кг (1 – 0. 5 кг/1, 5 кг)∙ 0. 25 = 1. 3 Дж.

Ответ: Δ E = 1. 3 Дж.

Пример 6. Молот массой m₁= 70 кг падает с высоты h = 5 м и ударяет по железному изделию, лежащему на наковальне. Масса наковальни вместе с изделием m₂ = 1330 кг. Считая удар абсолютно неупругим, определить энергию E, расходуемую на деформацию изделия. Систему молот – изделие – наковальня считать замкнутой.

Решение. По условию задачи система молот – изделие – наковальня считается замкнутой, а удар неупругий. На основании закона сохранения энергии можно считать, что энергия, затраченная на деформацию изделия, равна разности значений механической энергии системы до и после удара.

Считаем, что во время удара изменяется только кинетическая энергия тел, т. е. незначительным перемещением тел по вертикали во время удара пренебрегаем. Тогда для энергии деформации изделия имеем:

, (1)

где υ – скорость молота в конце падения с высоты h; υ ' – общая скорость всех тел системы после неупругого удара. Скорость молота в конце падения с высоты h определяется без учета сопротивления воздуха и трения по формуле:

. (2)

Общую скорость всех тел системы после неупругого удара найдем, применив закон сохранения количества движения:

. (3)

Для рассматриваемой системы закон сохранения количества движения имеет вид m₁∙ υ = , откуда

υ ' = m₁∙ υ /(m₁ + m₂). (4)

Подставив в формулу (1) выражения (2) и (4), получим:

;

Е = 70 кг ∙ 9. 8 м/с² ∙ 5 м ∙ (1330 кг/(1330 кг + 70 кг)) = 3258 Дж.

Ответ: Е = 3258 Дж.

Пример 7. При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх пуля массой m = 20 г поднялась на высоту h = 5 м. Определить жесткость k пружины пистолета, если она была сжата на х = 10 см. Массой пружины и силами трения пренебречь.

Решение. Рассмотрим систему пружина – пуля. Так как на тела системы действуют только консервативные силы, то для решения задачи можно применить закон сохранения энергии в механике. Согласно ему полная механическая энергия Е₁ системы в начальном состоянии (в данном случае перед выстрелом) равна полной энергии Е₂ в конечном состоянии (когда пуля поднялась на высоту h), т. е.

Е₁ = Е₂, или Е_1к + Е_1п = Е_2к + Е_2п, (1)

где Е_1к, Е_2к, Е_1п, Е_2п – кинетические и потенциальные энергии системы в начальном и конечном состояниях.

Так как кинетические энергии пули в начальном и конечном состояниях равны нулю, то равенство (1) примет вид:

Е_1п = Е_2п. (2)

Примем потенциальную энергию пули в поле сил тяготения Земли, когда пуля покоится на сжатой пружине, равной нулю, а высоту подъема пули будем отсчитывать от торца сжатой пружины. Тогда энергия системы в начальном состоянии будет равна потенциальной энергии сжатой пружины, т. е. Е_1п = k∙ x²/2, а в конечном состоянии – потенциальной энергии пули на высоте h, т. е. Е_2п = m∙ g∙ h.

Подставив выражения Е_1п и Е_2п в формулу (2), найдем
k∙ x²/2 = m∙ g∙ h, откуда

k = 2 m∙ g∙ h/x².

Подставив в формулу (3) значения величин и размерностей, произведем вычисления:

Ответ: k = 196 Н/м.

Пример 8. Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу m = 80 г (см. рис. ), перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы с массами m₁ = 100 г и m₂ = 200 г. Определить ускорение, с которым будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе. Трением и массой нити пренебречь.

Решение. Рассмотрим силы, действующие на каждый груз и на блок в отдельности. На каждый груз действуют две силы: сила тяжести и сила упругости (сила натяжения нити). Направим ось х вертикально вниз и напишем для каждого груза уравнение движения (второй закон Ньютона) в проекциях на эту ось. Для первого груза

m₁∙ g – T₁ = – m₁∙ a; (1)

для второго груза

m₂∙ g – T₂ = m₂∙ a. (2)

Под действием моментов сил Т₁' и Т₂' относительно оси z, перпендикулярной плоскости чертежа и направленной за чертеж, блок приобретает угловое ускорение ε. Согласно основному уравнению динамики вращательного движения

Т₂'∙ r – Т₁'∙ r = J_z∙ ε, (3)

где ε = a/r; J_z = m∙ r²/2 – момент инерции блока (сплошного диска) относительно оси z.

Согласно третьему закону Ньютона с учетом невесомости нити Т₁' = Т₁, Т₂' = Т₂. Воспользовавшись этим, подставим в уравнение (3) вместо Т₁' и Т₂' выражения Т₁ и Т₂, получив их предварительно из уравнений (1) и (2):

(m₁∙ g – m₂∙ a)∙ r – (m₁∙ g + m₁∙ a)∙ r = m∙ r²∙ a/(2∙ r).

После сокращения на r и перегруппировки членов найдем:

Формула (4) позволяет массы m₁, m₂ и m выразить в граммах, как они даны в условии задачи, а ускорение в единицах СИ. После подстановки числовых значений и размерностей в формулу (4) получим:

Ответ: а = 2. 88 м/с².

Пример 9. Маховик массой m = 4 кг вращается с частотой n = 720 мин^-1 вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр. Массу маховика можно считать равномерно распределенной по его ободу радиусом R = 40 см. Через Δ t = 30 с под действием тормозящего момента маховик остановился. Найти тормозящий момент М и число оборотов N, которое сделает маховик до полной остановки.

Решение. Для определения тормозящего момента М сил, действующих на тело, нужно применить основное уравнение динамики вращательного движения:

J∙ Δ ω = M∙ Δ t, (1)

где J – момент инерции маховика относительно оси, проходящей через центр масс; Δ ω – изменение угловой скорости за промежуток времени Δ t.

По условию Δ ω = –ω ₀, где ω ₀ – начальная угловая скорость, так как конечная угловая скорость ω = 0. Выразим начальную угловую скорость через частоту вращения маховика; тогда ω ₀ = 2π ∙ n и Δ ω = 2π ∙ n. Момент инерции маховика J = m∙ R², где m – масса маховика; R – его радиус. Формула (1) принимает вид:

откуда

;

М = 2∙ 3, 14∙ 12 с^-1∙ 4 кг∙ 0, 16 м²с^-2/30 с = 1, 61 Н∙ м.

Угол поворота (т. е. угловой путь φ ) за время вращения маховика до остановки может быть определен по формуле для равнозамедленного вращения:

(2)

где ε – угловое ускорение. По условию ω = ω ₀ – ε ∙ Δ t, ω = 0,
ε ∙ Δ t = ω ₀. Тогда выражение (2) можно записать так:

φ = ω ₀∙ Δ t – ω ₀∙ Δ t/2 = ω ₀∙ Δ t/2.

Так как φ = 2∙ π ∙ N, ω ₀ = 2∙ π ∙ n, то число полных оборотов

N = n∙ Δ t/2; N = 12 c^-1 ∙ (30 c)/2 = 180.

Ответ: N = 180.

Пример 10. Платформа в виде сплошного диска радиусом
R = 1. 5 м и массой m₁ = 180 кг вращается около вертикальной оси с частотой n = 10 мин^-1. В центре платформы стоит человек
m₂ = 60 кг. Какую линейную скорость υ относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

Решение. Согласно условию задачи момент внешних сил относительно оси вращения z, совпадающей с геометрической осью платформы, можно считать равным нулю. При этом условии проекция L_z момента импульса системы платформа-человек остается постоянной:

L_z = J_z∙ ω = const, (1)

где J_z – момент инерции платформы с человеком относительно оси z; ω – угловая скорость платформы.

Момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, входящих в состав системы, поэтому в начальном состоянии J_z = J₁ + J₂, а в конечном состоянии J'_z = J'₁ + J'₂.

С учетом этого равенство (1) примет вид:

(J₁ + J₂)∙ ω = (J'₁ + J'₂)∙ ω ', (2)

где значения моментов инерции J₁ и J₂ платформы и человека соответственно относятся к начальному состоянию системы; J'₁ и J'₂ – к конечному.

Момент инерции платформы относительно оси z при переходе человека не изменяется: J₁ = J'₁ = m₁∙ R²/2. Момент инерции человека относительно той же оси будет изменяться. Если рассматривать человека как материальную точку, то его момент инерции J₂ в начальном состоянии (в центре платформы) можно считать равным нулю. В конечном состоянии (на краю платформы) момент инерции человека J'₂ = m₂∙ R².

Подставим в формулу (2) выражения моментов инерции, начальной угловой скорости вращения платформы с человеком (ω = 2∙ π ∙ n) и конечной угловой скорости (ω ' = υ /R, где υ – скорость человека относительно пола):

(m₁∙ R²/2 + 0) 2∙ π ∙ n = (m₁∙ R²/2 + m₂∙ R²)∙ υ /R.

После сокращения на R² и простых преобразований находим скорость:

υ = 2∙ π ∙ n∙ R∙ m₁/(m₁ + 2∙ m₂).

Произведем вычисления:

Ответ: υ = 1 м/с.

Пример 11. Стержень длиной l = 1. 5 м и массой М = 10 кг может вращаться вокруг неподвижной оси, проходящей через верхний конец стержня (см. рис. ). В середину стержня ударяет пуля массой m = 10 г, летящая в горизонтальном направлении со скоростью υ ₀ = 500 м/с, и застревает в стержне. На какой угол φ отклонится стержень после удара?

Решение. Удар пули следует рассматривать как неупругий: после удара и пуля, и соответствующая точка стержня будут двигаться с одинаковыми скоростями. В момент удара на пулю и на стержень действуют силы тя жести, линии действия которых проходят через ось вращения и направлены вертикально вниз. Моменты этих сил относительно оси вращения равны нулю. Поэтому при ударе пули о стержень будет справедлив закон сохранения импульса.

В начальный момент удара угловая скорость стержня
ω ₀ = 0, поэтому его момент им-пульса L₀₁ = J∙ ω ₀ = 0. Начальный момент импульса пули
L₀₂ = m∙ υ ₀∙ r, где r – расстояние от точки попадания до оси вращения. В конечный момент удара стержень имел угловую скорость ω, а пуля – линейную скорость υ, равную линейной скорости точек стержня, находящихся на расстоянии r от оси вращения. Так как υ = ω ∙ r, то конечный момент импульса пули L₂ = m∙ υ ∙ r = m∙ r²∙ ω.

Применив закон сохранения импульса, можем написать:

L₀₁ + L₀₂ = L₁ + L₂ или m∙ υ ₀∙ r = J∙ ω + m∙ r²∙ ω,

откуда

где J = M∙ l²/3 – момент инерции стержня. Отсюда получим:

(1)

Кинетическая энергия стержня после удара равна:

Е_к = J∙ ω ²/2, (2)

Затем стержень поворачивается на искомый угол φ, причем центр масс его С поднимается на высоту h = (l/2)∙ (1 – cosφ ). В отклоненном положении стержень будет обладать потенциальной энергией, равной

Е_п = M∙ g∙ (l/2)∙ (1 – cosφ ). (3)

Потенциальная энергия получена за счет кинетической энергии и равна ей по закону сохранения энергии. Приравняв правые части равенств (2) и (3), получим:

M∙ g∙ (l/2)∙ (1 – cosφ ) = J∙ ω ²/2.

Отсюда

cosφ = 1 – J∙ ω ²/( M∙ g∙ l).

Подставив в эту формулу выражение для момента инерции стержня J = M∙ l²/3, получим

cosφ = 1 – l∙ ω ²/(3∙ g). (4)

Подставив значение ω = 0, 5 рад/с, найденной из (1), получим
cosφ = 0. 987; φ = 9⁰20'.

Ответ: ω = 0. 5 рад/с; cosφ = 0. 987; φ = 9⁰20'.

Пример 12. Точка совершает гармонические колебания с частотой ν = 10 Гц. В момент, принятый за начальный, точка имела максимальное смещение х_max = 1 мм. Написать уравнение колебаний точки и начертить их график.

Решение. Уравнение колебаний точки можно записать в виде:

x = A∙ sin(ω t + φ ₁), (1)

где А – амплитуда колебаний; ω – циклическая частота; t – время; φ ₁ – начальная фаза.

По определению амплитуда колебаний

А = х_max. (2)

Циклическая частота ω связана с частотой ν соотношением:

ω = 2∙ π ∙ ν. (3)

Для момента времени t = 0 формула (1) примет вид:

х_max = A∙ sinφ ₁

откуда начальная фаза

φ ₁ = arcsin(х_max/A) = arcsin 1,

или

φ ₁ = (2k + 1)∙ π /2 (k = 0, 1, 2, …)

Изменение фазы на 2π не изменяет состояния колеблющейся точки, поэтому можно принять

φ ₁ = π /2. (4)

С учетом равенств (2)-(4) уравнение колебаний примет вид

x = A∙ sin(2∙ π ∙ ν ∙ t + φ ₁), или x = A∙ cos(2∙ π ∙ ν ∙ t),

где А = 1 мм = 10^-3 м, ν = 10 Гц, φ ₁ = π /2.

График соответствующего гармонического колебания приведен на рис.

Пример 13. Частица массой m = 0. 01 кг совершает гармонические колебания с периодом Т = 2 с. Полная энергия колеблющейся частицы Е = 0. 1 мДж. Определить амплитуду А колебаний и наибольшее значение силы F_max, действующей на частицу.

Решение. Для определения амплитуды колебаний воспользуемся выражением полной энергии частицы:

где ω = 2∙ π /Т. Отсюда амплитуда

(1)

Проверим размерности:

Так как частица совершает гармонические колебания, то сила, действующая на нее, является квазиупругой и, следовательно, может быть выражена соотношением F = -k∙ x, где k – коэффициент квазиупругой силы; х – смещение колеблющейся точки. Максимальная сила будет при максимальном смещении х_max, равном амплитуде:

F_max = k∙ A. (2)

Коэффициент k выразим через период колебаний:

k = m∙ ω ² = m∙ 4∙ π ²/T². (3)

Подставив выражения (1) и (3) в (2) и произведя упрощения, получим:

Произведем вычисления:

Проверим размерность:

Ответ: А = 45 мм; F_max = 4. 44 мН.

Пример 14. В баллоне объемом 10 л находится гелий под давлением р₁ = 1 МПа и при температуре Т₁ = 300 К. После того как из баллона было взято m = 10 г гелия, температура в баллоне понизилась до Т₂ = 290 К. Определить давление р₂ гелия, оставшегося в баллоне.

Решение. Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева – Клапейрона, применив его к конечному состоянию газа:

(1)

где m₂ – масса гелия в баллоне в конечном состоянии; M – молярная масса гелия; R – молярная газовая постоянная.

Из уравнения (1) выразим искомое давление:

(2)

Массу m₂ гелия выразим через массу m₁, соответствующую начальному состоянию, и массу m гелия, взятого из баллона:

m₂ = m₁ – m. (3)

Массу m₁ гелия найдем также из уравнения Менделеева – Клапейрона, применив его к начальному состоянию:

(4)

Подставив выражение для массы m₁ в (3), а затем выражение для m₂ в (2), найдем

или

(5)

Проверим, дает ли формула (5) единицу давления. Для этого в ее правую часть вместо символов величин подставим их единицы:

Произведем вычисления по формуле (5), учитывая, что М = 4∙ 10^-3 кг/моль (см. табл. Приложения):

Ответ: р₂ = 0. 364 МПа.

Пример 15. В сосуде объемом V = 2 м³ находится смесь m₁ = 4 кг гелия и m₂ = 2 кг водорода при температуре T = 27⁰С. Определить давление p и молярную массу M смеси газов.

Решение. Воспользуемся уравнением Менделеева – Клапейрона, применив его к гелию и водороду:

(1)

(2)

где р₁ – парциальное давление гелия; М₁ – молярная масса гелия; R = 8. 31 Дж/(моль∙ К) – молярная газовая постоянная; р₂ – парциальное давление водорода; М₂ – его молярная масса.

Под парциальным давлением р₁ и р₂ понимается то давление, которое производил бы газ, если бы он только один находился в сосуде. По закону Дальтона давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси:

р = р₁ + р₂. (3)

Из уравнения (1) и (2) выразим р₁ и р₂ и подставим в уравнение (3). Имеем:

(4)

Молярную массу смеси газов найдем по формуле:

(5)

где ν ₁и ν ₂ – число молей гелия и водорода соответственно.

Число молей газов определим по формулам:

ν ₁ = m₁/M₁; (6)

ν ₂ = m₂/M₂; (7)

Подставляя (6) и (7) в (5), найдем

(8)

Подставляя числовые значения в формулы (4) и (8), получаем

Ответ: р = 2493 кПа, М = 3∙ 10^-3 кг/моль.

Пример 16. Чему равны средние кинетические энергии поступательного < ε _пост> и вращательного < ε _вр> движения молекул, содержащихся в m = 2 кг водорода при температуре T = 400 К?
М = 2∙ 10^-3 кг/моль.

Решение. Считаем водород идеальным газом. Молекула водорода – двухатомная, связь между атомами считаем жесткой. Тогда число степеней свободы молекулы водорода равно 5. В среднем на одну степень свободы приходится энергия < ε ₁> = k∙ T/2, где k – постоянная Больцмана; Т – термодинамическая температура. Поступательному движению приписывается три (i = 3), а вращательному две (i = 2) степени свободы. Энергия одной молекулы

Число молекул, содержащихся в массе газа m,

где ν – число молей; N_A – постоянная Авогадро. Тогда средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул водорода

(1)

где R = k∙ N_A – молярная газовая постоянная.

Средняя кинетическая энергия вращательного движения молекул водорода

(2)

Подставляя числовые значения в формулы (1) и (2), имеем

Ответ:

Пример 17. Вычислить удельные теплоемкости при постоянном объеме с_v и при постоянном давлении с_р неона и водорода, принимая эти газы за идеальные.

Решение. Удельные теплоемкости идеальных газов выражаются формулами:

где i – число степеней свободы молекулы газа; М – молярная масса. Для неона (одноатомный газ) i = 3 и М = 20∙ 10^-3 кг/моль (см. табл. Приложения).

Произведем вычисления:

Для водорода (двухатомный газ) i =5 и М = 2∙ 10^-3 кг/моль. Тогда

Ответ: для неона с_v = 6. 24∙ 10² Дж/(кг∙ К); с_р = 1. 04∙ 10³ Дж/(кг∙ К);

для водорода с_v = 1. 04∙ 10⁴ Дж/(кг∙ К); с_р = 1. 46∙ 10⁴ Дж/(кг∙ К).

Пример 18. Вычислить удельные теплоемкости с_v и с_р смеси неона и водорода, если массовые доли неона и водорода составляют ω ₁ = 80% и ω ₂ = 20%. Значения удельных теплоемкостей газов взять из предыдущего примера.

Решение. Удельную теплоемкость с_v смеси при постоянном объеме найдем следующим образом. Теплоту, необходимую для нагревания смеси на Δ Т, выразим двумя способами:

Q = с_v∙ (m₁ + m₂)∙ Δ T; (1)

Q = (с_v₁∙ m₁ + с_v₂∙ m₂)∙ Δ T, (2)

где с_v₁ – удельная теплоемкость неона; с_v₂– удельная теплоемкость водорода.

Приравняв правые части (1) и (2) и разделив обе части полученного равенства на Δ T, получим с_v∙ (m₁ + m₂) = с_v₁∙ m₁ + с_v₂∙ m₂. Отсюда

или с_v = c_v₁∙ ω ₁ + c_v₂∙ ω ₂,

где ω ₁ = m₁/(m₁ + m₂) и ω ₂ = m₂/(m₁ + m₂).

Рассуждая так же, получим формулу для вычисления удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении:

с_р = c_р1∙ ω ₁ + c_р2∙ ω ₂.

Произведем вычисления:

c_v = (6. 24∙ 10²∙ 0. 8 + 1. 04∙ 10⁴∙ 0. 2) Дж/(кг∙ К) =

= 2. 58∙ 10³ Дж/(кг∙ К) = 2. 58 кДж/(кг∙ К);

с_р = (1. 04∙ 10³∙ 0. 8 + 1. 46∙ 10⁴∙ 0. 2) Дж/(кг∙ К) =

= 3. 75∙ 10³ Дж/(кг∙ К) = 3. 75 кДж/(кг∙ К).

Ответ: c_v = 2. 58 кДж/(кг∙ К); с_р = 3. 75 кДж/(кг∙ К).

Пример 19. Определить среднюю длину свободного пробега молекул и число соударений Z за 1 с, происходящих между всеми молекулами кислорода, находящегося в сосуде емкостью
V = 2 л при температуре t = 27⁰С и давлении p = 100 кПа. M = 32∙ 10^-3 кг/моль; d = 2. 9∙ 10^-10 м.