Лучом iSo; / - дирекционный угол проекции главной вертикали, отсчитываемый в

Системы углов а, со, % и со, ср, i находят широкое применение в научных исследованиях, при аналитической, цифровой обработке аэ­роснимков и в конструкциях фотограмметрических приборов. Система углов а_с, t и %' применяется главным образом при математическом анализе изображения на аэроснимке и в конструкциях некоторых при­боров (в частности - фототрансформаторов).

где a_if b_if c_t (i = 1, 2, 3) - косинусы углов, составленных координатными осями X, У, Z системы OXYZ с координатными осями х, у, z системы Oxyz (табл. 3.1).

Величины a_h Ъ_и c_t называют направляющими косинусами, или компонентами матрицы ортогонального преобразования.

Три параметра, от которых зависят значения направляющих коси­нусов, называют углами Эйлера, которые в фотограмметрии ото­ждествляют с угловыми элементами внешнего ориентирования. Выбор этих углов осуществляется различными способами, и от того, как это сделано, зависит вид функции для определения направляющих коси­нусов. Три подхода к выбору^угловых элементов рассмотрены в § 21.

Девять направляющих косинусов определяются через три незави­симых угла, и должны быть связаны шестью независимыми усло­виями. Таковыми, как известно, являются:

О?

П

а₂

Ь₂

(3.2)

(3.3)

В коодинатной системе Sxyz для всех точек аэроснимка z =-/, поэтому вместо (3.1) будем иметь:

Определение направляющих косинусов

Для определения направляющих косинусов воспользуемся извест­ными из аналитической геометрии формулами связи исходных (х, у) и преобразованных (х\ у') координат точек при повороте координатных осей на угол <р, отсчитываемый против часовой стрелки:

(3.5)

(3.6)

Очевидно, что преобразования, описываемые этими формулами, можно интерпретировать как поворот пространственной координатной системы вокруг оси Z. Тогда, имея в виду определение направляющих косинусов и данные табл. 3.1, матрицы элементарных поворотов во­круг координатных осей X, У и Z будут иметь следующий вид:

А_х =

Где нижний индекс обозначает координатную ось, вокруг которой выполнен поворот.

Если поворотов несколько, то суммарный поворот описывается произ­ведением матриц элементарных поворотов, причем, каждый раз умноже-

нис выполняется слева. Так, если?• = A_XF, a r₂ = А_уг;, то второе преобра­зование можно записать как г₂ = А_Г(А_Х^) = АуА_хг_} т.е. А_ух = A_YA_X. Гак что если поворот осей выполняется вначале вокруг оси X, а второй вокруг оси Z, то суммарный поворот описывается результирующей матрицей A=Az*Ax- Сопоставляя элементы полученной матрицы с элементами соответствующей матрицы (3.3), легко найти и формулы связи направляющих косинусов с элементами ориентирования.

Обратим внимание, что в каждой системе отсчета угловых элемен­тов ориентирования (рис. 3.7, 3.8 и 3.9) один угол лежит в координат­ной плоскости системы Sxyz (x, к и %'\ другой - в координатной плоскости системы SXYZ (а, со и £), а третий - в секущей плоскости (со, ф и а_с). Поэтому при взаимном преобразовании координатных сис­тем Sxyz и SXYZ с использованием рассмотренных систем отсчета углов Эйлера существует только одна, строго определенная последо­вательность поворотов, которая й представлена в табл. 3.2. При этом структура результирующей матрицы определяется тем, какая из фор­мул (3.5 или 3.6) использована для преобразования, или иначе - был ли переход SXYZ —>Sxyz или, напротив, Sxyz —> SXYZ.

Таблица 3.2

Так, для установления связи направляющих косинусов с угловыми элементами внешнего ориентирования а, со и % (рис. 3.7) и преобразо­вания системы Sxyz -^SXYZ в соответствии с табл. 3.2 необходимо:

• записать три матрицы (AaA^j) в нужном порядке (табл. 3.2), с учетом знаков углов (рис. 3.7) и зависимостей (3.5) -(3.7):

4.4А

• найти результирующую матрицу A_a^_x=A_aA_iaA_x и сопоставить ее с соответствующим выражением (3.3).

Перемножить две матрицы - значит составить новую, каждый эле­мент которой равен сумме произведений элементов строк первой мат­рицы на элементы столбцов второй. Таким образом:

cosacosx - sinasincosinx coscosmx since cosx + cosasmcosinx

|- cosa sinx " ^si^not sincocosx coscocosx - sina sinx + cosa sincocosa]

-sinacosco -since cosacosco

Сопоставив это выражение с (3.3), получим следующие формулы связи направляющих косинусов с угловыми элементами внешнего ориентирования а, со, их*

а_г = cosacosx - sinasincosinx, а₂ = -cosasinx - sinasincocosx, а₃ = -sinacosco, с_х = sinacosx + cosasincosinx, c₂ = -sinasinx + cosasincocosx, c₃ = cosacosco.

bj = coscosinx, b₂ = coscocosx, b₃ = -sinco,

(3.8)

Выполнив те же те же преобразования путем поворотов на углы ср, ш;ик (рис. 3.8) в нужном порядке (табл. 3.2), получим

АоАрАс

После перемножения этих матриц и сопоставления результирую­щей с (3.3) получим:

а, = cos ф cos к, b_x = cos со sin к + sin ф sin со cos к,

а₀ = -совфвтк, b₂ = cos со cos к - sin фsin со sin к,

а₃ = втф, Ь₃ ⁼ -соэфвтю,

с, = sin со sin к-sin ф cos со cos к,

С = sin со cos к + sin ф cos со sin к, с₃ = cos фcos со,

При использовании угловых элементов а_с, * и х' (рис. 3.9) будем иметь:

-sinЈ 0|

fcosx' -sin%' 0\
jsinx' cosx' 4»
0 0 1

cosa„