 |
Тема 2. Свойство потоков вызовов. Характеристики потоков
|
|
|
|
Методические указания
для выполнения курсовой работы
по дисциплине
ТЕОРИЯ ТЕЛЕТРАФИКА
для студентов, обучающихся по специальности 210406 –
Сети связи и системы коммутации
Москва, 2007
План УМД 2006/2007 уч.г.
Методические указания
для выполнения курсовой работы
по дисциплине
ТЕОРИЯ ТЕЛЕТРАФИКА
для студентов, обучающихся по специальности 210406 –
Сети связи и системы коммутации
Составители: Пшеничников А.П., к.т.н., профессор
Курносова Н.И., к.т.н., доцент
Методические указания предназначены для выполнения курсовой работы по дисциплине
ТЕОРИЯ ТЕЛЕТРАФИКА
Издание утверждено на заседании кафедры АЭС 29 мая 2007 г. Протокол №7
Оглавление.
Стр.
Тема 1. Законы распределения случайных величин…………………………………..4
1.1. Распределение Бернулли……………………………………………………...4
1.2. Распределение Пуассона………………………………………………………5
1.3. Распределение Эрланга…………………………………………….………….6
Тема 2. Свойства потоков вызовов. Характеристики потоков………..………………8
Тема 3. Телефонная нагрузка, ее параметры и распределение………………...……10
Тема 4. Метод расчета пропускной способности однозвенных
полнодоступных включений при обслуживании простейшего
потока вызовов по системе с потерями. Первая формула Эрланга………..16
Тема 5. Метод расчета полнодоступных неблокируемых включений
при обслуживании примитивного потока вызовов по системе с
потерями. Формула Энгсета……………………………………...…………..19
Тема 6. Метод расчета полнодоступных неблокируемых включений
при обслуживании вызовов простейшего потока вызовов по
системе с ожиданием…………………………………………………………20
|
|
|
6.1. Экспоненциальное распределение длительности обслуживания………...21
6.2. Постоянная длительность обслуживания…………………………………..22
Тема 7. Методы расчета однозвенных полнодоступных коммутационных схем
при обслуживании потока с повторными вызовами…………….………….25
Тема 8. Методы расчета пропускной способности однозвенных
неполнодоступных включений: упрощенная формула Эрланга,
формула О’Делла, формула Пальма – Якобеуса……………………………28
Тема 9. Метод Якобеуса для расчета пропускной способности
двухзвенных полнодоступных включений………………………………….30
Тема 10. Методы расчета пропускной способности двухзвенных схем, в
выходы которых включен неполнодоступный пучок линий……………...33
10.1. Метод Якобеуса…………………………………………………………….33
10.2. Метод эффективной доступности………………………………………....35
Тема 11. Метод построения равномерных неполнодоступных включений:
метод цилиндров…………………………………………………………….36
Тема 12. Метод вероятностных графов для расчета пропускной
способности многозвенных коммутационных схем……………………….40
Тема 13. Метод расчета сети с обходными направлениями………………………...44
13.1. Принцип построения сети с обходными направлениями………….…….44
13.2. Определение оптимального числа линий в прямом направлении………45
13.3. Расчет числа линий при обслуживании вызовов
избыточной нагрузки……………………………………………………….46
Литература……………………………………………………………………………....50
Приложение……………………………………………………………………………..51
Таблица П.1. Значения вероятности потерь первичных вызовов P и среднего
числа повторных вызовов 
…………………………………………....51
Таблица П.2. Трехшаговые схемы цилиндров………………………………………..55
Таблица П.3. Четырехшаговые схемы цилиндров…………………………………...56
Таблица П.4. Значения коэффициентов 
и 
для расчета числа линий V
|
|
|
по формуле О’Делла…………………………………………………......57
Тема 1. Законы распределения случайных величин
В настоящем разделе рассмотрены некоторые понятия, которые применяются в теории телетрафика при описании систем коммутации: случайная величина (СВ), закон распределения СВ и ее основные числовые характеристики - математическое ожидание и дисперсия.
Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем заранее неизвестно – какое именно.
Случайные величины, принимающие отделенные друг от друга значения, которые можно заранее перечислить, называются дискретными.
Случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, называются непрерывными.
Законом распределения СВ называется соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и соответствующими им вероятностями.
Основными числовыми характеристиками СВ X являются математическое ожидание M(X) и дисперсия D(X).
Средним квадратическим отклонением СВ называют корень квадратный из дисперсии
.
Рассмотрим некоторые законы распределения СВ, наиболее часто используемые в теории телетрафика.
1.1. Распределение Бернулли (биноминальное распределение)
Если производится n независимых опытов, в каждом из которых событие Впоявляется с вероятностью p, то вероятность того, что событие Впоявится ровно m раз, выразится формулой
где 
- число сочетаний из n по m.
Это распределение вероятностей называют биноминальным или распределением Бернулли.
Пусть исследуется пучок из V линий (рис.1.1), каждая линия с вероятностью a может оказаться занятой и с вероятностью (1- a) – свободной. Тогда вероятность того, что в пучке из V линий окажется i любых линий занято, может быть определена из выражения
, i = 0, 1, …, V, 
=1 (1.1)
 | |||
|
Распределение Бернулли справедливо, когда число независимых опытов, в рассматриваемом случае емкость пучка линий V, конечно и N≤V.
Для вычисления вероятностей Pi можно воспользоваться следующей рекуррентной формулой
|
|
|
Математическое ожидание и дисперсия числа занятых линий, вероятность занятия которых описывается распределением Бернулли, соответственно равны
M(i)=Va; D(i)=Va(1-a).
Распределение Пуассона
Рассмотрим следующую задачу. На оси времени на интервале[ 0,t) случайным образом распределяются точки – моменты поступления вызовов, в каждый из которых занимается одна из свободных линий из общего пучка линий V.
Требуется найти вероятность Pi того, что на интервал[ 0,t) попадет точно i точек, т.е. будет занято i любых линий из V.
Обозначим λ -математическое ожидание числа вызовов, приходящихся на единицу длины интервала. Обычно за единицу длины интервала времени принимается 1 час. Вероятность P i выражается формулой
(1.2)
Это выражение носит название распределения Пуассона. Распределение Пуассона справедливо при выполнении следующих условий:
· вероятность попадания того или иного числа точек на интервал[ 0,t) зависит только от длины этого интервала и не зависит от его положения на оси времени;
· события, состоящие в попадании того или иного числа точек в неперекрывающиеся интервалы времени, независимы;
· вероятность попадания на малый участок Δt двух и более точек пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одной точки.
Входящая в формулу (1.2) величина 
есть не что иное, как среднее число точек, приходящихся на интервал[ 0,t) (математическое ожидание числа точек, попадающих на этот участок). Пусть длина интервала [ 0,t) равна средней длительности обслуживания одного вызова - 
. Величину 
в теории телетрафика называют интенсивностью поступающей нагрузки и обозначают A.
Тогда формула (1.2) может быть записана
, 
. (1.3)
Для расчетов вероятности Pi можно использовать рекуррентную формулу
(1.4)
Математическое ожидание и дисперсия СВ, распределенной по закону Пуассона
M(i)=D(i)=A.
Распределение Пуассона можно применять для определения вероятностей Pi при условии, что N и V → ∞.
Распределение Пуассона можно получить из распределения Бернулли, если в последнем положить V → ∞.
|
|
|
Распределение Эрланга
В теории телетрафика широко применяется усеченное распределение Пуассона, связанное с формулой Эрланга
, i =0,1,…, V, 
(1.5)
В распределении Эрланга взяты первые V+ 1значения из распределения Пуассона и пронормированы так, чтобы сумма вероятностей была бы равна 1.
Для определения составляющих распределения Эрланга можно применить следующее рекуррентное соотношение
(1.6)
Можно также воспользоваться таблицами Пальма, с помощью которых при заданной интенсивности нагрузки A и числе линий V находят PV и далее для определения Pi-1 используют соотношение 
Математическое ожидание и дисперсия числа занятых линий, вероятность которых определяется по распределению Эрланга, соответственно равны
M(i) = A(1 – PV); (1.7)
D(i) = M(i) – APV[V – M(i)].
Задание 1.
1.Построить распределение вероятности занятия линий в пучке из V линий в соответствии с распределениями Бернулли, Пуассона и Эрланга.
2.Для каждого распределения рассчитать математическое ожидание числа занятых линий, их дисперсию и среднеквадратическое отклонение.
Исходные данные для расчетов приведены в таблице 1.1. Величину А принять равной А=аV.
Таблица 1.1
 |
Требования к выполнению задания:
1. Результаты расчета распределений представить в виде таблицы 1.2 и графика Pi = f(i).
Таблица 1.2
| i | V | ||||||||
| Pi |
2. На каждом графике привести значения математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения и 
.
3. Расчеты проводить с точностью до четвертого знака после запятой.
В заключении провести анализ полученных результатов.
Тема 2. Свойство потоков вызовов. Характеристики потоков
Поток вызовов – это дискретный процесс, представляющий собой последовательность однородных событий, которые наступают через некоторые интервалы времени при непрерывном отсчете времени.
Случайным называется такой поток, в котором однородные события наступают через случайные интервалы времени.
Свойства потоков: стационарность, ординарность и полное или частичное отсутствие последействия. Потоки классифицируются с точки зрения наличия или отсутствия этих свойств.
Основными характеристиками потоков вызовов являются интенсивность μ(t) и параметр λ(t). Интенсивность потока характеризует поток поступающих вызовов (число вызовов). Параметр потока характеризует не поток вызовов, а поток вызывающих моментов.
Простейшим потоком вызовов называется стационарный, ординарный поток без последействия. Для простейшего потока μ=λ.
|
|
|
Для задания случайных потоков используется функция распределения. Функцией распределения случайной величины X является вероятность события X<x, где x – некоторое текущее значение СВ, и обозначается F(X)=P(X<x ). Функция распределения – самая универсальная характеристика СВ, как дискретных, так и непрерывных.
Общие свойства функции распределения:
· 
F(x) есть неубывающая функция своего аргумента, т.е. при x2> x1F(x2) ≥ F(x1);
· F(-∞) = 0;
· F(+∞) = 1.
Рис. 2.1. Общий вид функции распределения непрерывной случайной величины
Случайный поток может быть задан тремя эквивалентными способами.
1.Функцией распределения вызывающих моментов P(t<ti), где t – случайная величина, ti – возможное значение случайной величины.
2.Функцией распределения промежутков между вызывающими моментами P(z<zi),где zi= ti- ti-1 при i≥1.
3.Законом распределения целочисленной функции K(t ),т.е. Pk(t)=P[K(t)= ki], i = 1, 2, …, n, k1 ≤ k2 ≤ … ≤ kn, t1 < t2 <…< tn.
Pk(t)=P[K(t)= ki] – вероятность поступления ki вызовов в интервале времени [0,t).
Для задания случайных потоков используется вероятность поступления не менее k вызовов на интервале времени [0,t) Pi≥k(t).
Для простейшего потока
(2.1)
F(t) = P(Z < t) = 1 – e –λt, (2.2)
где 
- математическое ожидание промежутка времени между двумя последовательными моментами поступления вызовов;
(2.3)
Входящая в формулы величина λt есть не что иное, как среднее число вызовов за интервал времени [0,t). Обозначим 
- среднее время, которое требуется для обслуживания одного вызова, и запишем формулу (2.1) в виде
Величину 
в теории телетрафика называют интенсивностью поступающей телефонной нагрузки и обозначают A.
Введем обозначение 
. Тогда формулы (2.1),(2.2) и (2.3) запишутся в виде
; (2.4)
; (2.5)
(2.6)
Величину t * можно рассматривать как величину интервала времени [0,t ), нормированную относительно средней длительности обслуживания вызова 
.
Задание 2.
1. Для простейшего потока вызовов рассчитать вероятности поступления k вызовов за промежуток времени [0,t) Pk(t*), где t*=0,5;1,0;1,5;2,0. Значения A и V взять из задания 1. Число вызовов k=[V/2] – целая часть числа.
2. Построить функцию распределения промежутков времени между двумя последовательными моментами поступления вызовов F(t*) для значений t*= 0;0,1;0,2;0,3;0,4;0,5. Результаты расчета представить в виде таблицы 2.1 и графика 
.
Таблица 2.1.
| t* | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | |
| F(t*) |
3. Рассчитать вероятность поступления не менее k вызовов за интервал времени [0,t* ) Pi≥k(t*), где t*=1.
4. Провести анализ результатов.
|
|
|
