Непосредственные умозаключения

Непосредственными называются умозаключения из одной посылки, являющейся категорическим суждением (общеутвердительным, общеотрицательным, частноутвердительным или частноотрицательным атрибутивным суждением). Непосредственными умозаключениями являются выводы по логическому квадрату, превращение и обращение категорических суждений, противопоставление предикату и противопоставление субъекту.

Выводы по логическому квадрату — это умозаключения, основанные на отношениях между категорическими суждениями, выраженными логическим квадратом (логический квадрат был рассмотрен в § 2 третьей главы).

Превращение категорического суждения —это изменение его качества одновременно с заменой предиката на противоречащий ему термин; осуществляется в соответствии во следующими схемами:

А: Все S суть P. Е: Ни один S не суть P.

Ни один S не суть не-P. Все S суть не-P.

I: Некоторые S суть P. О: Некоторые S не суть P.

Некоторые S не суть не- P Некоторые S суть не-P.

 

Пример:

Некоторые материалисты — метафизики.

Некоторые материалисты не являются не метафизиками.

Обращение категорического суждения — это непосредственное умозаключение, в котором в заключении субъектом является предикат, а предикатом — субъект исходного суждения, т.е. происходит перемена мест субъекта и предиката при сохранении качества суждения:

 

Все S суть P.

Некоторые P суть S.

 

Общеутвердительное суждение обращается с ограничением, т.е. вывод по схеме:

А: Все S суть P.

Все P суть S.

 

I: Некоторые S суть P. Е: Ни один S не суть P.

Некоторые P суть S. Ни один P не суть S.

О: Частноотрицательное суждение не обращается, т.е. вывод по схеме:

Некоторые S не суть P.

Некоторые P не суть S не является правильным.

 

Противопоставление предикату —это умозаключение, в котором субъектом заключения является термин, противоречащий предикату посылки, предикатом – субъект посылки, и заключение и посылка различны по качеству [15, 23, 34].

Противопоставление субъекту —это умозаключение, в котором субъектом заключения является предикат посылки, предикатом заключения – термин, противоречащий субъекту посылки, и заключение и посылка различны по качеству. Противопоставление предикату и противопоставление субъекту можно осуществлять и анализировать поэтапно (например, в случае противопоставления предикату сначала произвести превращение, а затем осуществить правильное обращение) [69].

Общие схемы противопоставления предикату:

 

S суть P. S не суть P.

не-P не суть не-S. не-P суть S.

 

Общие схемы противопоставления субъекту:

S суть P. S не суть P.

P не суть не- S. … P суть не-S.

 

Категорический силлогизм

Категорическим силлогизмомявляется умозаключение, в котором из двух атрибутивных суждений выводится третье атрибутивное суждение. Пример:

 

Все философские произведения — мировоззренческие.

Некоторые поэтические произведения — философские.

Некоторые мировоззренческие произведения — поэтические.

 

В категорическом силлогизме три дескриптивных термина, являющихся общими или единичными именами. Термины, входящие в заключение, называются крайними, а термин, входящий в каждую из посылок, но не входящий в заключение, — средним. Средний термин обычно обозначается буквой М (от латинского «terminus medius» — «термин средний»). Термин, соответствующий субъекту заключения, называется меньшим. Он обозначается латинской буквой S. Термин, соответствующий предикату заключения, называется большим и обычно обозначается латинской буквой P.

Структура приведённого выше силлогизма:

 

Некоторые P суть M.

Все M суть S.

Некоторые S суть P.

 

Один из способов установления правильности силлогизмов заключается в следующем: нужно проверить, соблюдены ли (общие) правила силлогизмов [38].

Общие правила:

1. По крайней мере, одна из посылок должна быть общим суждением.

2. По крайней мере, одна из посылок должна быть утвердительной.

3. При одной частной посылке заключение должно быть частным.

4. При одной отрицательной посылке заключение должно быть отрицательным.

5. При обеих утвердительных посылках заключение должно быть утвердительным.

6. Средний термин должен быть распределён по крайней мере в одной из посылок.

7. Термин, не распределённый в посылке, не должен быть распределён в заключении.

Если все общие правила соблюдены, то силлогизм правильный. Приведённый выше силлогизм удовлетворяет всем этим правилам, т.е. является правильным. Если хотя бы одно из этих правил не соблюдено, то силлогизм неправильный.

Фигуры силлогизмов. Фигурами называются типы силлогизмов, выделяемые на основе способов расположения терминов в посылках:

 

 

I II III IV

 

Силлогизмы не всегда высказываются полностью. Часто одна из посылок или заключение опускается. Такие рассуждения называются энтимемами (от греч. «энтиме» — «в уме») [4, 53].

Пример энтимемы: «Все пушные звери имеют ценный мех, а норка имеет ценный мех».

Для проверки правильности энтимемы нужно попытаться восстановить пропущенную часть таким образом, чтобы получился правильный силлогизм. Если этого сделать нельзя, то энтимема является неправильной, если удаётся – то правильной.

Полный силлогизм:

 

Ни один кит (M) не является рыбой (P).

Все дельфины (S) — киты (M).

Все дельфины (S) не являются рыбами (P).

 

Соблюдены общие правила силлогизма. Силлогизм является правильным.

Умозаключения, в которых вывод получается из нескольких посылок, называются опосредствованными. Широко распространенным видом опосредствованных умозаключений является простой категорический силлогизм, вывод в котором получается из двух категорических суждений. Таким образом, простой категорический силлогизм состоит из трех категорических суждений, два из которых являются посылками, а третье – заключением.

В отличие от терминов суждений — субъекта (S) и предиката (P) – понятия, входящие в состав силлогизма, называются терминами силлогизма. Различают меньший, больший и средний термины.

Меньшим термином силлогизма называется понятие, которое в заключении является субъектом. Большим термином силлогизма называется понятие, которое в заключении является предикатом. Меньший и больший термины называются крайними и обозначаются соответственно латинскими буквами S (меньший термин) и P (больший термин).

Каждый из крайних терминов входит не только в заключение, но и в одну из посылок. Посылка, в которую входит меньший термин, называется меньшей посылкой, посылка, в которую входит больший термин, называется большей посылкой.

Для удобства анализа силлогизма посылки принято располагать в определенной последовательности: большую — на первом месте, меньшую — на втором. Под чертой записывают заключение. Однако в практике рассуждения такой порядок необязателен. Меньшая посылка может находиться на первом месте, большая — на втором.

Посылки различаются не их местом в силлогизме, а входящими в них терминами.

Вывод в силлогизме был бы невозможен, если бы в нем не было среднего термина. Средним термином силлогизма называется понятие, входящее в обе посылки и отсутствующее в заключении. Средний термин обозначается латинской буквой М (от лат. medius — средний) [4, 20, 53].

Средний термин связывает два крайних термина. Отношение крайних терминов (субъекта и предиката заключения) устанавливается благодаря их отношению к среднему термину. В самом деле, из большей посылки нам известно отношение большего термина к среднему, из меньшей посылки — отношение меньшего термина к среднему. Зная отношение крайних терминов к среднему, мы можем установить отношение между крайними терминами.

Таким образом, вывод из посылок оказывается возможным потому, что средний термин выполняет роль связующего звена между двумя крайними терминами силлогизма.

Итак, простой категорический силлогизм — это умозаключение об отношении двух крайних терминов на основании их отношения к среднему термину.

А теперь перейдем к рассмотрению понятия аксиомы силлогизма. Аксиомой называется исходное положение теории, которое принимается за истинное без доказательств и которое обосновывает другие положения теории. Аксиома силлогизма — это положение, обосновывающее правомерность его вывода, т.е. логического перехода от посылок к заключению.

Известны две формулировки аксиомы: атрибутивная и объемная.

Первая выражает связь между предметом и его признаком: признак признака некоторой вещи есть признак самой этой вещи; то, что противоречит признаку вещи, противоречит и вещи. Или в сокращенном виде: признак признака есть признак вещи.

Рассмотрим первую часть аксиомы. Если P есть признак M, а M – признак S, то P выступает как признак признака M предмета S. Но тогда признак признака (P) есть признак S, что и выражено в заключении S – P. Например:

 

Всякая наука (M) имеет свой предмет исследования (P).

Логика (S) – наука (M).

Логика (S) имеет свой предмет исследования (P).

 

В этом примере признак науки — иметь свой предмет исследования – является вместе с тем признаком логики.

Теперь рассмотрим вторую часть аксиомы. Если S обладает признаком М, но признак P противоречит этому признаку, то в таком случае P противоречит и S. Следовательно, S не обладает признаком P.

Вторая формулировка аксиомы выражает объемную интерпретацию терминов силлогизма: все, что утверждается (или отрицается) относительно всех предметов класса, утверждается (или отрицается) относительно каждого предмета и любой части предметов этого класса. В сокращенном виде эта аксиома формулируется следующим образом: сказанное обо всем и ни об одном.

Следует заметить, что из истинных посылок не всегда можно получить истинное заключение. Его истинность обусловлена правилами силлогизма. Этих правил семь: три из них относятся к терминам и четыре — к посылкам.

Pасcмотрим сначала правила терминов.

Первое правило: в силлогизме должно быть только три термина. Вывод в силлогизме основан на отношении двух крайних терминов к среднему, поэтому в нем не может быть ни меньше, ни больше трех терминов. Нарушение этого правила связано с отождествлением разных понятий, которые принимаются за одно и рассматриваются как средний термин. Эта ошибка основана на нарушении требований закона тождества и называется учетверением терминов. Например, из посылок «Определение вынесено судом первой инстанции» и «Одной из важных логических операций является определение» нельзя получить заключение, так как вместо трех терминов мы имеем дело с четырьмя: «определение» (суда) и «определение» (как логическая операция) — два разных понятия, которые не могут связать крайние термины.

Второе правило: средний термин должен быть распределен хотя бы в одной из посылок. Если средний термин не распределен ни в одной из посылок, то связь между крайними терминами остается неопределенной. Например, в посылках «Некоторые юристы (M-) — члены коллегии адвокатов (P)», «Все сотрудники нашего института (S) — юристы (М-)» средний термин (М), согласно правилам распределенности терминов в суждениях, в большей посылке не распределен, так как является субъектом частного суждения, но он не распределен в меньшей посылке как предикат утвердительного суждения.

Следовательно, средний термин не распределен ни в одной из посылок. Но в этом случае необходимую связь между крайними терминами (S и P) установить нельзя.

Третье правило относится к крайним терминам: термин, не распределенный в посылке, не может быть распределен и в заключении.

Например, из посылок «Государство (М) не будет существовать вечно (P+)», «Государство (М)– элемент надстройки (S-)» следует частное заключение «Некоторые элементы надстройки (S-) не будут существовать вечно (P+)».

Меньший термин (S) не распределен в посылке (как предикат утвердительного суждения), поэтому он не распределен и в заключении (как субъект частного суждения). Делать вывод с распределенным субъектом в форме общего суждения («Ни один элемент надстройки не будет существовать вечно») это правило запрещает. Ошибка, связанная с нарушением правила распределенности крайних терминов, называется незаконным расширением меньшего (или большего) термина.

Рассмотрим правила посылок.

Первое правило: хотя бы одна из посылок должна быть утвердительным суждением. Из двух отрицательных посылок заключение с необходимостью не следует.

Например, из посылок «Студенты нашего института (М) не изучают высшую математику (P)», «Сотрудники НИИ (S) не являются студентами нашего института (М)» нельзя получить необходимого заключения, так как оба крайних термина (S и P) исключаются из среднего. Поэтому средний термин не может установить определенного отношения между крайними терминами. В заключении меньший термин (S) может полностью исключаться из него. В соответствии с этим возможны три случая: «Все сотрудники НИИ изучают высшую математику»; «Некоторые сотрудники НИИ изучают высшую математику»; «Ни один сотрудник НИИ не изучает высшую математику».

Второе правило: если одна из посылок — отрицательное суждение, то и заключение должно быть отрицательным. Поэтому в силлогизме с одной отрицательной посылкой средний термин исключается из объема крайнего термина, поэтому объем крайнего термина, который входит в объем среднего, исключается из объема другого крайнего термина.

Третье и четвертое правила посылок являются производными, вытекающими из рассмотренных.

Третье правило: хотя бы одна из посылок должна быть общим суждением. Из двух частных посылок заключение с необходимостью не следует.

Если обе посылки — частноутвердительные суждения (II), то вывод сделать нельзя согласно второму правилу терминов: в частноутвердительном суждении ни субъект, ни предикат не распределены, поэтому и средний термин не распределен ни в одной из посылок.

Если обе посылки — частноотрицательные суждения (ОО), то вывод сделать нельзя согласно первому правилу посылок.

Если одна посылка частноутвердительная, а другая — частноотрицательная (IO или OI), то в таком силлогизме распределенным будет только один термин — предикат частноотрицательного суждения. Если этим термином будет средний, то вывод сделать нельзя, так как, согласно третьему правилу посылок, заключение должно быть отрицательным. Но в этом случает предикат заключения должен быть распределен, что противоречит третьму правилу терминов: (1) больший термин, не распределенный в посылке, окажется распределенным в заключении, (2). Если же распределен крайний термин, то вывод не следует согласно второму правилу терминов.

Четвертое правило: если одна из посылок – частное суждение, то и заключение должно быть частным.

Если одна посылка общеутвердительная, а другая — частноутвердительная (AI), то в них распределен только один термин — субъект общеутвердительного суждения.

Согласно второму правилу терминов, это должен быть средний термин. Но в таком случае два крайних термина, в том числе меньший, не будут распределены. Поэтому в соответствии с третьим правилом терминов меньший термин не будет распределен в заключении, которое будет частным суждением.

Если одна из посылок утвердительная, а другая — отрицательная, причем одна из них частная (EI, AO, OA), то распределенными окажутся два термина: субъект и предикат общеотрицательного суждения (EI) или субъект общего и предикат частного суждения (АО, ОА). Но и в том и в другом случае, согласно второму правилу посылок, заключение будет отрицательным, т.е. суждением с распределенным предикатом. А так как вторым распределенным термином должен быть средний (второе правило терминов), то меньший термин в заключении окажется нераспределенным, т.е. заключение будет частным.

В посылках простого категорического силлогизма средний термин может занимать место субъекта или место предиката. В зависимости от этого различают четыре разновидности силлогизма, которые называются фигурами.

В первой фигуре средний термин занимает место субъекта в большей и место предиката в меньшей посылке.

Во второй фигуре — место предиката и в большей, и в меньшей посылках.

В третьей фигуре — место субъекта в обеих посылках.

В четвертой фигуре — место предиката в большей и место субъекта в меньшей посылке.

Описанные выше фигуры исчерпывают все возможные комбинации терминов.

Итак, фигуры силлогизма — это его разновидности, различающиеся положением среднего термина в посылках.

Посылками силлогизма могут быть суждения, различные по качеству и количеству: общеутвердительные (А), общеотрицательные (Е), частноутвердительные (I) и частноотрицательные (О). Например, большая и меньшая посылки — общеутвердительные суждения (АА), большая посылка — общеутвердительное, меньшая – общеотрицательное суждение (АЕ) и т.д. Так как каждая посылка может быть любым из четырех видов суждений, число возможных комбинаций посылок в каждой фигуре равно 2², т.е. 16:

АА АЕ IA OA

AE (EE) IE (OE)

AI EI (II) (OI)

AO (EO) (IO) (OO)

Очевидно, в четырех фигурах число комбинаций равно 64.

Разновидности силлогизма, различающиеся количеством и качеством посылок, называются модусами простого категорического силлогизма.

Однако не все модусы согласуются с общими правилами силлогизма. Например, модусы, заключенные в скобки, противоречат первому и третьему правилам посылок, модус IА не проходит по первой и второй фигурам, так как противоречит второму правилу терминов, и т.д. Поэтому, отобрав только те модусы, которые согласуются с общими правилами силлогизма, получим 19 модусов, которые называются правильными. Их принято записывать вместе с заключением:

Первая фигура: AAA, EAE, AII, EIO

Вторая фигура: EAE, AEE, EIO, AOO

Третья фигура: AAI, IAI, AII, EAO, OAO, EIO

Четвертая фигура: AAI, AEE, IAI, EAO, EIO

В соответствии с этим называют модусы первой фигуры, модусы второй фигуры и т.д. Например, модус ААА первой фигуры, модус AЕЕ второй фигуры и т.д.

Существуют особые правила и познавательное значение фигур силлогизма. Так как средний термин занимает в фигурах силлогизма разное место, каждая фигура имеет свои особые правила, которые выводятся из общих.

Как видно из анализа модусов первой фигуры (ААА, ЕАЕ, AII, EIO), они имеют следующие два правила.

1. Большая посылка — общее суждение.

2. Меньшая посылка — утвердительное суждение.

Рассмотрим сначала второе правило. Если меньшая посылка будет отрицательным суждением, то, согласно второму правилу посылок, заключение также будет отрицательным, в котором P распределен, но тогда он будет распределен и в большей посылке, которая также должна быть отрицательным суждением (в утвердительном суждении P не распределен), а это противоречит первому правилу посылок. Если же большая посылка будет утвердительным суждением, то P будет не распределен. Но тогда он не будет распределен и в заключение (согласно третьему правилу терминов). Заключение с нераспределенным P может быть только утвердительным суждением, так как в отрицательном суждении P распределен. А это значит, что и меньшая посылка — утвердительное суждение, так как в противном случае заключение будет отрицательным [38, 61].

Теперь рассмотрим второе правило. Так как средний термин в этой фигуре занимает место субъекта в большей и место предиката в меньшей посылке, то, согласно второму правилу терминов, он должен быть распределен хотя бы в одной из посылок. Но меньшая посылка — утвердительное суждение, значит, средний термин в ней не распределен. Но в таком случае он должен быть распределен в большей посылке, а для этого она должна быть общим суждением (в частной посылке субъект не распределен).

Таким образом, исключим сочетания посылок IA, OA, IE, которые противоречат первому правилу фигуры, и сочетания АЕ и АО, противоречащие второму правилу. Остаются четыре модуса ААА, ЕАЕ, AII, EIO, которые являются правильными. Эти модусы показывают, что первая фигура дает любые заключения: общеутвердительные, общеотрицательные, частноутвердительные и частноотрицательные, что и определяет ее познавательное значение и широкое применение в рассуждения.

Первая фигура — наиболее типичная форма дедуктивного умозаключения. Широко применяется эта фигура в судебной практике. Юридическая оценка (квалификация) правовых явлений, применение нормы права к отдельному случаю, назначение наказания за преступление, совершенное конкретным лицом, и другие судебные решения принимают логическую форму первой фигуры силлогизма. Например:

Лица, занимающиеся спекуляцией, подлежат уголовной ответственности по ст. 154 УК РСФСР.

Обвиняемый занимался спекуляцией.

Обвиняемый подлежит уголовной ответственности по ст. 154 УК РСФСР.

 

Модусы второй фигуры (EAE, AEE, EIO, AOO) показывают, что она имеет следующие правила.

1. Большая посылка — общее суждение.

2. Одна из посылок — отрицательное суждение.

Второе правило фигуры выводится из второго правила терминов (средний термин должен быть распределен хотя бы в одной из посылок). Но так как средний термин занимает место предиката в обеих посылках, то одна из них должна быть отрицательным суждением, т.е. суждением с распределенным предикатом.

Если одна из посылок — отрицательное суждение, то и заключение должно быть отрицательным (суждение с распределенным предикатом). Но в этом случае предикат заключения (больший термин) должен быть распределен и в большей посылке, где он занимает место субъекта суждения. Такой посылкой должно быть общее суждение, в котором субъект распределен. Значит, большая посылка должна быть общим суждением.

Правила второй фигуры исключают сочетания посылок AA, IA, IE, AI, оставляя модусы EAE, AEE, EIO, AOO, которые показывают, что эта фигура дает только отрицательные заключения.

Вторая фигура применяется, когда необходимо показать, что отдельный случай (конкретное лицо, факт, явление) не может быть подведен под общее положение. Этот случай исключается из числа предметов, о которых сказано в большей посылке. В судебной практике 2-я фигура используется для заключений об отсутствии состава преступления.

Третья фигура (AAI, IAI, AII, EAO, OAO, EIO) имеет правила:

1. Меньшая посылка — утвердительное суждение.

2. Заключение — частное суждение.

Первое правило доказывается так же, как второе правило первой фигуры. Но если меньшая посылка — утвердительное суждение, то его предикат (меньший термин силлогизма) не распределен в заключении. Значит, заключение должно быть частным суждением.

Давая только частные заключения, третья фигура применяется чаще всего для установления частичной совместимости признаков, относящихся к одному предмету.

В практике рассуждения третья фигура применяется сравнительно редко.

Четвертая фигура силлогизма также имеет свои правила и модусы. Однако выведение заключения из посылок по этой фигуре не характерно для естественного процесса рассуждения.

Такой ход рассуждения представляется, в известной мере, искусственным, на практике выводы в подобных случаях делаются обычно по первой фигуре [33].

Рассмотрим категорический силлогизм с выделяющими суждениями. Посылками категорического силлогизма могут быть выделяющие суждения. Такие силлогизмы не подчиняются некоторым общим правилам, а также особым правилам фигур. Наиболее распространенные случаи:

1. Вывод из двух частных посылок.

2. Вывод по первой фигуре, в которой большая посылка — частное суждение.

3. Одна из посылок — частное суждение, заключение — общее суждение.

4. Вывод по второй фигуре из двух утвердительных посылок.

5. Вывод по первой фигуре, в которой меньшая посылка — не утвердительное, а отрицательное суждение.

Силлогизмы, в состав которых входят выделяющие суждения, подчиняются не всем, а лишь некоторым правилам. Это обусловлено особенностью выделяющих суждений, распределенностью их терминов. Поэтому, устанавливая логическую необходимость вывода в силлогизме с выделяющим суждением, необходимо иметь в виду эту особенность. Целесообразно проверять правильность вывода с помощью круговых схем.

В некоторых случаях большей посылкой силлогизма является определение через род и видовое отличие. Так как такое определение подчиняется правилу соразмерности (объем определяемого понятия равен объему определяющего понятия, А=Вс), оно выражается в форме общеутвердительного выделяющего суждения, оба термина которых распределены. А это значит, что на силлогизм, большей посылкой которого является суждение — определение, также не распространяются некоторые правила.

Обычно такие силлогизмы используются в судебной практике, в частности при квалификации преступлений.

Индуктивные умозаключения

Выделение способов рассуждения, соответствующих правильным дедуктивным умозаключениям, — одна из центральных проблем логики с момента её возникновения. Однако в традиционной логике не были выработаны достаточно универсальные критерии правильности умозаключений, хотя было выделено большое число отдельных типов умозаключений, правильность которых очевидна или может быть обоснована с помощью несложных рассуждений.

Умозаключение, основанное на исследовании всех частных случаев, которые полностью исчерпывают объем данного класса, называют полной индукцией. Заключение такого рассуждения имеет достоверный характер, в связи с чем некоторые логики относят его к дедуктивным умозаключениям.

По-видимому, такая традиция восходит еще к Аристотелю, который рассматривал полную индукцию как силлогизм по индукции. Бесспорно, что по характеру полученного знания полная индукция может быть отнесена к дедуктивным умозаключениям, однако по направленности процесса рассуждения от частного к общему она стоит ближе к индуктивным рассуждениям. Правда, это простейший способ индукции, который в отличие от других ее форм не дает принципиально нового знания и не выходит за пределы того, что содержится в ее посылках [4].

Тем не менее, общее заключение, полученное на основе исследования частных случаев, суммирует содержащуюся в них информацию и позволяет обобщить ее, взглянуть на нее с иной точки зрения. Именно поэтому полная индукция используется не только в повседневной практике, но и в ходе исследования и обучения.

Суммирование информации, ее систематизация, целостный охват множества частных случаев в совокупном знании представляют собой первый шаг на пути к интеграции знания.

Если обозначить суждения, характеризующие некоторое общее свойство частных случаев через Р, а их субъекты соответственно — через S₁, S₂ ,..., Sn, то логическая структура полной индукции может быть представлена схемой:

S₁ есть Р.

S₂ есть Р.

Sn есть Р.

 

При этом S₁, S₂,...,S_n исчерпывают весь класс рассматриваемых случаев S_n, т.е. все S есть Р (n = 1,2,...n).

В математике доказательства, основанные на полной индукции, называют доказательствами частных случаев (или разбором случаев). Например, доказательство теоремы «Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту» проводится путем рассмотрения случаев, когда треугольник является остроугольным, прямоугольным и тупоугольным.

Несмотря на простой характер умозаключения полной индукции, иногда и здесь допускаются ошибки, которые связаны главным образом с пропуском какого-либо частного случая, вследствие чего заключение не исчерпывает все случаи и тем самым является необоснованным. Чаще всего это происходит тогда, когда не проводится четкого разграничения между частными случаями или допускается как сознательная уловка в споре, когда одному из его участников оказывается невыгодным рассмотреть все случаи, которые могут опровергнуть его утверждение [38].

Математическая индукция

Обычно такую индукцию считают типично дедуктивным способом умозаключения не только потому, что она приводит к достоверно истинным заключениям, а из-за ее использования в качестве специфического математического доказательства. Между тем исторически и по характеру рассуждения математическая индукция отличается от обычной дедукции тем, что она начинается с некоторого предположения, которое опирается на наблюдение некоторых частных случаев. Затем, допуская это предположение верным для некоторого случая, скажем, для числа п, доказывают, что оно верно также для последующего числа n + 1. Поскольку непосредственно было найдено, что предположение справедливо относительно натуральных чисел 1, 2, 3, то на основе доказанного предположения, т.е. перехода от п к n + 1, его переносят на все числа натурального ряда. Отсюда нетрудно понять, что математическая индукция опирается на особую структуру образования натурального ряда чисел, где каждое последующее число образуется путем прибавления единицы к предыдущему. Основываясь на этом свойстве натуральных чисел, Б. Паскаль и Я. Бернулли разработали метод доказательства с помощью математической индукции. Чтобы яснее представить суть данного метода, рассмотрим пример из элементарной математики, относящийся к установлению формулы п-го члена арифметической прогрессии. Если нам дана, скажем, прогрессия 1, 3, 5, 7, то каждый последующий член в ней образуется из предыдущего путем прибавления числа 2 – знаменателя прогрессии. Отсюда мы можем сделать допущение, что и во всякой другой арифметической прогрессии любой n-й член получается аналогичным образом. Следовательно, на индуктивной фазе рассуждения предполагается, что для прогрессии а ₁, а ₂, а ₃ ,..., аn, an+ 1... ее п- й член а _n определяется формулой:

a_n = а₁ + (n - 1 ) d.

Фаза доказательства должна продемонстрировать, что если формула верна для некоторого члена an, то она будет верна и для a_n+1. Для этого достаточно прибавить к предыдущему члену а знаменатель прогрессии а, тогда получим: a_n +1 = a₁ + d (n - 1) + d = a_n+nd. Если формула, как мы непосредственно убедились, верна для а 1 = 1, то по доказанному она верна для а₂ = 3, а₃ = 5 и т.д. Таким образом, наше предположение верно для всех целых чисел, из которых состоит данная прогрессия [45, с. 34-39].

Тот факт, что математическая индукция начинается с некоторого предположения (или гипотезы), сближает ее с индуктивными рассуждениями, но, так как предположение подкрепляется доказательством, основанным на переходе от a_n к a_n+1, это придает ей доказательный характер.

Следовательно, в математической индукции органически сочетаются индукция с дедукцией, предположение — с доказательством. Поэтому она находит такое широкое применение в математике. В ней догадка, открытие всегда сопровождается обоснованием и доказательством, а это требует, с одной стороны, приобретения опыта в умении догадываться, открывать новые соотношения, а с другой — овладения техникой математического доказательства.

Обобщающая индукция

Кроме полной и математической индукции, которые приводят к достоверным заключениям, все остальные формы индукции лишь наводят на истину, и потому их результаты имеют лишь проблематический (вероятностный) характер. Это иногда служит основанием для недооценки их роли в научном познании. Между тем стоит лишь задуматься над вопросом, откуда берутся общие посылки для дедуктивных умозаключений, как сразу же вспоминают о движении познания от частного к общему, а это и есть индукция в общепринятом смысле слова.

Под обобщающей индукцией понимают такой процесс рассуждения, в котором от знания определенных предметов некоторого класса переходят к знанию о классе в целом, т.е. переносят знание, установленное путем исследования некоторой части класса, на весь класс, в том числе на неисследованные его части. Другими словами, рассуждение в этом случае совершается от частного к общему, и поэтому переход получил название обобщающей индукции

В традиционной логике именно подобной индукции противопоставлялась дедукция, как переход от знания общего к частному. Хотя с современной точки зрения такое противопоставление, как мы видели, оказывается несостоятельным, тем не менее, оно верно подмечает различие между типичными индуктивными обобщениями и дедуктивными умозаключениями. В этом смысле даже полная и математическая индукции могут с известными оговорками рассматриваться как особые случаи обобщающей индукции, поскольку ход рассуждения в них является типично индуктивным, основанным на исследовании некоторых частных случаев и переносе открытого в результате этого знания на весь их класс в целом. Однако к типичным видам индуктивного обобщения относят различные формы неполной индукции, когда заключение имеет не достоверный, а лишь правдоподобный (вероятностный) характер. При этом степень вероятности заключения зависит от глубины и тщательности исследования тех конкретных случаев, на которые опирается индуктивное обобщение. Соответственно можно выделить несколько видов индуктивного обобщения [33].

⇐ Предыдущая78910111213141516Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: