Графический метод решения задач линейного программирования

Графический метод характеризуется простотой и наглядностью, однако он недостаточно точен и применим только для задач с не более чем тремя переменными. Последнее обусловлено тем, что человек, живущий в трехмерном пространстве, практически не способен представить себе визуально пространство более высокого порядка.

Метод основан на том, что каждое ограничение неравенство отсекает в n-мерном пространстве n-мерную полуплоскость (в данной курсовой работе это – двухмерное пространство (плоскость) и простая полуплоскость). Совокупность этих полуплоскостей (если ограничения совместны) образует n-мерный многогранник допустимых решений. Оптимальное решение достигается в одной из вершин многогранника. Для определения этой вершины необходимо построить поверхность уровня целевой функции (в курсовом проекте – линию уровня). Затем следует перемещать эту поверхность (линию) в направлении градиента до крайней точки области допустимых решений (ОДР).

Рассмотрим следующий простой пример решения задачи линейного программирования (ЗЛП) графическим методом.

Математическая модель:

2Х1+3Х2≤60;

3Х1+2Х2≤60;

4Х1+20Х2≤200;

Х1≥0; Х2≥0;

F=40Х1+30Х2→Мах.

Перейдем от неравенств к равенствам:

2Х1+3Х2=60;

3Х1+2Х2=60;

4Х1+20Х2=200.

Это уравнения прямых линий, которые могут быть легко построены по двум точкам:

для первого ограничения –

Х1=0; Х2=20;

Х2=0; Х1=30.

для второго ограничения –

Х1=0; Х2=30;

Х2=0; Х1=20.

для третьего ограничения –

Х1=0; Х2=10;

Х2=0; Х1=50.

Градиент целевой функции – это вектор, характеризующий направление и скорость изменения функции (в данном случае – целевой функции). Он определяется ее частными производными по каждой переменной:

 

Линия уровня целевой функции перпендикулярна градиенту.

Графическое решение данной задачи приведено на рисунке 6.1.

 

 

Рис. 6.1. Графическое решение задачи

Область допустимых решений (ОДР) в данном случае образуется четырехугольником ОВСД. Ни одна точка внутри его или на его границе не противоречит ни одному из ограничений. Оптимальное решение находится в одной из вершин четырехугольника. Для нахождения оптимального решения перемещаем линию уровня целевой функции в направлении градиента до крайней точки ОДР. Такой точкой является точка С с координатами: Х1=16; Х2=8. Значение целевой функции F=40×16+30×8=880. Очевидно, что это решение не отличается высокой точностью, что характерно для графического метода. Из рисунка видно, что ресурсы второго и третьего видов использованы полностью, а ресурс первого вида оказался в избытке. Для количественной оценки этого избытка определим сначала расход данного ресурса: 2×16+3×8=56. Запас равен 60, тогда остаток составит 60–56=4.

Графический метод

Графическим методом в основном решаются задачи с малым числом переменных. Он включает следующие этапы:

1. Строится многогранник решений.

Геометрический смысл системы ограничений состоит в следующем: уравнение a11x1 +... + a1nxn = b1 представляет собой

гиперплоскость в n-мерном пространстве, неравенство же есть точки подпространства, лежащие по одну сторону от

гиперплоскости и образующие выпуклое множество. Следовательно, система ограничений (1.2) задачи линейного

программирования есть множество точек n-мерного пространства, причем это множество выпуклое и каждая точка является

решением системы неравенств.

2. Находятся вектор

и вершина многоугольника решений, на которой достигается max z.

Известно, что вектор-градиент функции z показывает направление наибольшего роста функции. Строится линия уровня c1x1

+...+ cnxn = h, проходящая через начало координат. Линия уровня обладает замечательным свойством: после подстановки

координат любой ее точки в выражение целевой функции z последняя принимает постоянное значение. Далее перемещаем

линию уровня в направлении вектора с до тех пор, пока не будет достигнута угловая вершина многоугольника решений либо

установлена неограниченность функции на множестве решений.

3. Определяются координаты угловой вершины, являющиеся оптимальным планом, и значение целевой функции в этой

точке. Замечание. При нахождении решения задачи линейного программирования графическим методом могут встретиться

случаи, изображенные на следующих рисунках.

 

 

На первом рисунке изображен случай, когда целевая функция принимает максимальное значение в единственной точке M.

Из второго рисунка видно, что максимальное значение целевая функция принимает в любой точке отрезка AB. На третьем рисунке изображен случай, когда целевая функция не ограничена сверху на множестве допустимых решений. Отметим, что нахождение минимального значения целевой функции отличается от нахождения ее максимального

значения лишь тем, что линия уровня c1x1 +... + cnxn = h перемещается не в направлении вектора с, а в противоположном направлении.

 

Способы заливки форм.

Литниковаясистема.

. Классификация способов заливки форм и типов литниковых систем

Металл, выплавленный в печи, обычно сначала выпускают в ковш, из которого в заливочном пролете цеха его заливают в формы. В отдельных случаях формы заливаются непосредственно из печи (рис. 3).

Свободная заливка небольших порций металла (обычно до 1 т) — чугуна или цветных сплавов — производится из поворотных ковшей через носик (рис. 3, а). Если на поверх­ности расплава образуется много шлака или иных загрязнений, заливка может производиться через чайниковое устройство с за­бором металла из нижней части ковша (рис. 3, б). Большие коли­чества металла, в особенности стали, заливаются из ковшей со стопорным устройством (рис. 3, в). Свободная заливка из пово­ротных и стопорных ковшей является способом, преобладающим в литейном производстве.

При заливке деталей, имеющих специфическую конфигурацию или малую толщину стенок, для облегчения заливки, а также с целью механизации и автоматизации применяют принуди­тельную заливку. Детали типа тел вращения, в осо­бенности трубы и кольца, а в отдельных случаях и фасонные детали, заливают на центробежных машинах во вращающиеся формы (рис. 3, г). Металл в этом случае, под действием центро­бежных сил, заполняет форму лучше, чем в обычных условиях. Кроме того, в отливке легко получается осевое отверстие.

Сложные тонкостенные детали отливают под давлением (рис. 3, д). В камеру сжатия из печи или небольшого ковша зали­вается определенная порция сплава, откуда она под действием давления поршня впрыскивается в полость металлической пресс-формы.

При заливке под низким давлением форма помещается на крышку печи. Печь заключена в металлический кожух. При повы­шении давления в кожухе металл через металлопровод заливается в форму. В этих условиях металл не окисляется, процесс запол­нения легко регулируется и поддается автоматизации (рис. 3, е). Детали типа втулок из цветных сплавов изготовляются путем вакуумного всасывания сплава в специальную форму, нижний конец которой погружается в металл непосредственно в печи (рис. 3, ж).

При литье небольших порций тугоплавких металлов приме­няется свободная заливка без ковша. В этом случае печь и форма помещаются в кожух, в котором создаетсявакуум. Когда металл расплавляется, кожух поворачивается и металл прямо из печи через носик или желоб переливается в форму (рис. 3, з)

Детали типа втулок из цветных сплавов изготовляются путем вакуумного всасывания сплава в специальную форму, нижний конец которой погружается в металл непосредственно в печи (рис. 3, ж).

При литье небольших порций тугоплавких металлов приме­няется свободная заливка без ковша. В этом случае печь и форма помещаются в кожух, в котором создается

Свободная запивка из ковша

Рис. 3. Классификация способов заливки форм

Свободная заливка вез ковша

вакуум. Когда металл расплавляется, кожух поворачивается и металл прямо из печи через носик или желоб переливается в форму (рис. 3, з).

Сплав из ковша или печи заполняет форму через литниковую систему. Литниковая система представляет собой совокупность каналов и резервуаров, через которые металл за­полняет полость формы, соответствующую отливке. В общем случае литниковая система (рис. 4) состоит из литниковой чаши /, стояка 2, распределительного канала, или шлакоуловителя, 3 и литников, или питателей, 4.

На рис. 5 показаны некоторые конструктивные варианты эле­ментов литниковых систем.

Литниковая чаша или воронка (рис. 5, а) предназначается для принятия струи металла из ковша, гашения ее энергии, первич­ного отделения крупных частиц шлака и поддержания постоян-

 

ства уровня металла при заполнении формы. Применяется она при литье чугуна и цветных сплавов, заливаемых из поворотных ковшей. Для того чтобы облегчить отделение шлака, в чашах устанавливаются перегородки (рис. 5, б). С этой же целью, а также для обеспечения спокойного заполне­ния формы, применяются мерные чаши (рис. 5, в) со стопорным устройством (пробкой). Объем такой чаши должен быть равен всему объему полости формы. Когда мерная чаша заполнена, стопор удаляется и металл перетекает в форму.

При литье стали, заливаемой из сто­порного ковша, применяются литнико­вые воронки (рис. 5, г). В воронках от­деление шлака не происходит. Металл в них охлаждается меньше, чем в чашах, а это имеет большое значение для сталь­ного литья.

Стояк (рис. 5, д) предназначается для передачи металла из литниковой чаши или воронки в нижние части формы. Стояки имеют круглое сечение и небольшую конусность. Как правило,

Рис. 5. Элементы литниковых систем

 

они располагаются вертикально. При литье из цветных сплавов в металлические формы иногда применяются зигзагообразные стояки (рис. 5, е).

В основании стояка имеется чашечка—зумпф, гасящая удар струи и препятствующая размыванию формы.

 

Распределительный канал предназначается для направления жидкого металла к нескольким отливкам, помещаемым в одной форме, или к различным узлам одной крупной отливки. Кроме того, в нем происходит отделение шлаковых частиц. При литье чугуна этот элемент часто называют шлакоуловителем; цветных сплавов — коллектором. Распределительный канал размещается горизонтально по разъему, обычно в верхней полуформе. Его сечение чаще всего имеет форму трапеции.

Литники, или питатели, предназначаются для подвода металла от распределительного канала непосредственно в полость формы. Обычно они имеют в сечении форму трапеции или щели. При литье тонкостенных крупногабаритных отливок применяются плоские

Рис. G. Классификация литниковых систем по их расположению относительно отливки: а — верхняя; б—по разъему, или боковая; в — сифонная, или нижняя; г — ярусная

литники — топорики (рис. 5, ж), имеющие большую площадь сечения и толщину, равную толщине отливки. При литье высоких чугунных отливок делают несколько вертикальных литников, присоединенных прямо к литниковой чаше или коллектору («дождевые» литники, рис. 5, з). При падении мелкими струями, даже с большой высоты, металл не размывает форму. При изготов­лении отливок из цветных сплавов, склонных к окислению и вспениванию, необходимо более спокойное заполнение формы. Такой режим обеспечивают вертикально-щелевые литники (рис. 5, и).

Классификация литниковых систем может быть произведена по их расположению относительно отливки (рис. 6).

Литниковые системы могут состоять из двух элементов (лит­никовая воронка, литники); трех элементов (литниковая воронка, стояк, литники); четырех элементов (литниковая воронка, стояк, распределительный канал, литники).

 

⇐ Предыдущая12345678

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: