 |
Теоретический обзор. Исследование функции на безусловный экстремум
|
|
|
|
Введение
Настоящая работа является первой в серии методических указаний к лабораторным работам по дисциплинам "Методы оптимизации и нелинейное программирование" и "Методы оптимизации". Данные дисциплины читаются студентам 2-го курса специальности 230101 - Вычислительные машины, комплексы, системы и сети и направления 230100 - Информатика и вычислительная техника (бакалавры).
В указаниях рассматриваются задачи безусловной и условной нелинейной оптимизации. В теоретической части по каждой теме приводятся базовые понятия, теоремы и алгоритмы, которые потребуются для выполнения работ. Для выполнения графической и расчетной частей задач и реализации численных методов оптимизации студенты должны применить знание языков программирования и пакетов MATLAB, MATCAD, EXCEL. Выбор конкретного инструмента предоставляется самому студенту. Приведены примеры порядка выполнения и оформления лабораторных работ.
Проведенные вычисления, графические работы, анализ полученных результатов должны быть оформлены в виде отчета в соответствии со стандартными требованиями, предъявляемыми к отчетам и пояснительным запискам [1]. Сведения из теории, содержащиеся в данных методических указаниях, в отчет включать не рекомендуется.
Лабораторная работа № 1.
Методы безусловной оптимизации
Цель лабораторной работы - закрепление навыков исследования функций на выпуклость, решение задач на нахождение безусловного экстремума выпуклой функции аналитически и численными методами, изучение способов визуализации функций двух переменных в EXCEL и MATLAB.
Теоретический обзор. Исследование функции на безусловный экстремум
|
|
|
Рассматривается задача
f (x) → extr, x 
Rn. (1)
Метод поиска безусловного экстремума основывается на следующих утверждениях:
Пусть функция f (x) дифференцируема в точке х* Rn. Тогда если х* - локальное решение задачи (1), то
grad f (x*) = 0. (2)
Пусть функция f (x) дважды дифференцируема в точке х* Rn. Тогда
а) если х* - точка локального минимума в задаче (1), то матрица Гессе Н (х*) неотрицательно определена, т.е. 
р Rn выполняется неравенство (Н (х*) р,р) ≥0;
б) если х* - точка локального минимума в задаче (1), то матрица Н (х*) неположительно определена, т.е. р Rn выполняется неравенство (Н (х*) р,р) ≤0.
Пусть функция f (x) дважды дифференцируема в точке х* Rn и
grad f (x*) = 0. Тогда
а) если матрица Н (х*) положительно определена, т.е. р Rn, р ≠0, (Н (х*) р,р) >0, то х* - точка строгого локального минимума функции f (x) на Rn;
б) если матрица Н (х*) отрицательно определена, т.е. р R, р ≠0, (Н (х*) р,р) <0, то х* - точка строгого локального максимума функции f (x) на Rn.
Если grad f (x*) = 0, то х* называется стационарной точкой. Для выпуклой (вогнутой) на Rn функции стационарные точки являются точками ее глобального минимума (максимума). Строго выпуклые (вогнутые) функции имеют единственный глобальный минимум (максимум).
Критерий выпуклости функции. Дважды непрерывно дифференцируемая на выпуклом множестве Х с непустой внутренностью функция является выпуклой (вогнутой) на этом множестве в том и только том случае, когда матрица Гессе Н (х*) неотрицательно (не положительно) определена для всех х Х.
При исследовании на знакоопределенность матрицы вторых производных функции рекомендуется применять критерий Сильвестра или анализ собственных значений матрицы.
Схема поиска безусловных экстремумов функции:
Составить и решить систему алгебраических уравнений (2).
В стационарных точках (точках, являющихся решением системы (2)) исследовать на знакоопределенность матрицу вторых производных; точки, в которых Н (х) > 0, являются точками глобального минимума; стационарные точки, в которых Н (х) < 0, являются точками глобального максимума.
|
|
|
Исходя из вида исследуемой функции, проанализировать стационарные точки, в которых матрица вторых производных не является строго знакоопределенной.
Найденные точки локального экстремума исследуются на глобальный экстремум (если это возможно). В частности, если матрица Гессе неотрицательно (не положительно) определена на всем пространстве Е n, то все стационарные точки функции являются точками глобального минимума (максимума).
|
|
|
