 |
Усеченное нормальное распределение
|
|
|
|
Известно, что корректность использования классического нормального распределения наработки, достигается при Т0 
3S.
При малых значениях Т0 и большом S, может возникать ситуация, когда ПРО f(t) «покрывает» своей левой ветвью область отрицательных наработок (рис. 4).
Рис. 4
Таким образом, нормальное распределение являясь общим случаем распределения случайной величины в диапазоне (- 
; ), лишь в частности (при определенных условиях) может быть использовано для моделей надежности.
Усеченным нормальным распределением называется распределение, получаемое из классического нормального, при ограничении интервала возможных значений наработки до отказа.
В общем случае усечение может быть:
- левым – (0; );
- двусторонним – (t1 , t2).
Смысл усеченного нормального распределения (УНР) рассмотрен для случая ограничения случайной величины наработки интервалом (t1 , t2).
Плотность УНР 
(t) = c f(t),
где
c – нормирующий множитель, определяемый из условия, что площадь под кривой (t) равна 1, т. е.
Откуда
где
Применяя переход от случайной величины Т = {t} к величине X = {x}:
x2 = (t2 – Т0)/S; x1 = (t1 – Т0)/S,
получается
поэтому нормирующий множитель c равен:
Поскольку [ 
(x) (x2) - (x) (x1)] < 1, то c > 1, поэтому (t) > f(t). Кривая (t) выше, чем f(t), т. к. площади под кривыми (t) и f(t) одинаковы и равны 1 (рис. 5).
Рис. 5
Показатели безотказности для УНР в диапазоне (t1 , t2):
УНР для положительной наработки до отказа – диапазон (0; ) имеет ПРО
(t) = c0 f(t),
где c0 – нормирующий множитель определяется из условия:
и равен (аналогично предыдущему):
Показатели безотказности УНР (0; )
|
|
|
Изменение нормирующего множителя c0 в зависимости от отношения Т0 /S приведено на рис. 6.
Рис. 6.
При Т 0 = S, Т 0 / S = 1 c0 = max (
1,2).
При Т 0 / S 2,5 c0 = 1,0, т.е. (t)(t) = f(t).
Контрольные вопросы и задачи:
1. Объясните почему распределение Гаусса называется нормальным?
2. Поясните на изменении кривой плотности распределения отказов влияние параметров распределения: матожидания и дисперсии?
3. Приведите расчетные выражения для показателей безотказности, определенные через табличные функции: f(x), F(x) и (x)?
4. При каких условиях корректно использовать классическое нормальное распределение, и в каких случаях целесообразно применять усеченные нормальные распределения?
5. Приведите расчетные выражения показателей безотказности для усеченного «слева» нормального распределения?
6. Наработка до отказа серийно выпускаемой детали распределена нормально с параметрами: Т0 = M(T) = 104 час, S = S (T) = 250 час. Определить:
1) вероятность того, что при монтаже прибора в него будут поставлены детали, наработка до отказа которых будет находиться в интервале [ 5000, 9000 час];
2) вероятность того, что при монтаже прибора в него будут поставлены детали, наработка до отказа которых будет находиться в интервале [ Т0 - 3S, Т0 + 3S ];
3) вероятность того, что безотказно проработав до момента времени 5000 час, деталь безотказно проработает и до 9000 час?
Ответы: 1) 0.00003, 2) 0.9974, 3) 0.99997.
7. Комплектующая деталь, используемая при изготовлении устройства, по данным поставщика этой детали имеет нормальное распределение наработки с параметрами:
Т0 = 4 · 103 час, S = 800 час. Определить интересующую конструктора прибора:
1) наработку до отказа, соответствующую 90% надежности детали;
2) вероятность того, что при монтаже деталь имеет наработку, лежащую в интервале [ 2.5 · 103, 3 · 103 ];
3) вероятность того, что при монтаже деталь имеет наработку, большую, чем 2.5 103 час?
|
|
|
Ответы: 1) 2974.4, 2) 0.0755, 3) 0.9699.
Лекция 7
ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАРАБОТКИ ДО ОТКАЗА: ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЙ, ЛОГНОРМАЛЬНЫЙ И ГАММА-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
|
|
|
