 |
Показатели надежности восстанавливаемых систем
|
|
|
|
Все состояния системы S можно разделить на подмножества:
SK 
S – подмножество состояний j = 
, в которых система работоспособна;
SM S – подмножество состояний z = 
, в которых система неработоспособна.
S = SK 
SM,
SK SM = 0.
1. Функция готовности Г(t) системы определяет вероятность нахождения системы в работоспособном состоянии в момент t
где Pj(t) – вероятность нахождения системы в работоспособном j -м состоянии;
Pz(t) – вероятность нахождения системы в неработоспособном z -м состоянии.
2. Функция простоя П(t) системы
3. Коэффициент готовности kг.с. системы определяется при установившемся режиме эксплуатации (при t 
). При t устанавливается предельный стационарный режим, в ходе которого система переходит из состояния в состояние, но вероятности состояний уже не меняются
Коэффициент готовности kг.с. можно рассчитать по системе (2) дифференциальных уравнений, приравнивая нулю их левые части dPi(t)/dt = 0, т.к. Pi = const при t . Тогда система уравнений (2) превращается в систему алгебраических уравнений вида:
| (3) |
и коэффициент готовности:
есть предельное значение функции готовности при установившемся режиме t .
4. Параметр потока отказов системы
| (4) |
где 
jz – интенсивности (обобщенное обозначение) переходов из работоспособного состояния в неработоспособное.
5. Функция потока отказов
| (5) |
6. Средняя наработка между отказами на интервале t
| (6) |
Примечание: При t , когда Pj(t = ) = Pj() = Pj, средняя наработка между отказами
T0= kг.с./ 
,
где () = .
В качестве примера вычисления показателей надежности, рассмотрен восстанавливаемый объект, у которого поток отказов простейший (пуассоновский) с параметром потока
|
|
|
= = 1/ T0,
а распределение времени восстановления подчиняется экспоненциальному распределению с интенсивностью восстановления
= 1/ TВ,
где T0 – средняя наработка между отказами;
TВ – среднее время восстановления.
P0(t) – вероятность работоспособного состояния при t;
P1(t) – вероятность неработоспособного состояния при t.
Система дифференциальных уравнений:
| (7) |
Начальные условия: при t = 0 P0(t = 0) = P0(0) = 1; P1(0) = 0, поскольку состояния S0 и S1 представляют полную группу событий, то
| P0 (t) + P1 (t) = 1. | (8) |
Выражая P0(t) = 1 - P1(t), и подставляя в (7) получается одно дифференциальное уравнение относительно P1 (t):
| d P1 (t)/dt = (1 – P1 (t)) - P1 (t).
| (9) |
Решение уравнения (9) производится с использованием преобразования Лапласа.
Преобразование Лапласа для вероятностей состояния Pi(t):
т. е. Pi(S) = L{Pi(t)} – изображение вероятности Pi(t).
Преобразование Лапласа для производной dPi(t)/dt:
После применения преобразования Лапласа к левой и правой частям уравнения, получено уравнение изображений:
| (9) |
где L{ } = L{1} = /S.
При P1(0) = 0
S P1 (S) + P1 (S)( + ) = /S.
P1 (S)(S + + ) = /S,
откуда изображение вероятности нахождения объекта в неработоспособном состоянии:
| (10) |
Разложение дроби на элементарные составляющие приводит к:
Применяя обратное преобразование Лапласа, с учетом:
L{f(t)} = 1/S, то f(t) = 1;
L{f(t)} = 1/(S + a), то f(t) = e-at,
вероятность нахождения объекта в неработоспособном состоянии определяется:
| (11) |
Тогда вероятность нахождения в работоспособном состоянии P0(t) = 1 - P1(t), равна
| (12) |
С помощью полученных выражений можно рассчитать вероятность работоспособного состояния и отказа восстанавливаемого объекта в любой момент t.
Коэффициент готовности системы kг.с.. определяется при установившемся режиме t , при этом Pi(t) = Pi = const, поэтому составляется система алгебраических уравнений с нулевыми левыми частями, поскольку
|
|
|
dPi(t)/dt = 0.
Так как kг.с есть вероятность того, что система окажется работоспособной в момент t при t , то из полученной системы уравнений определяется P0 = kг.с.
При t алгебраические уравнения имеют вид:
| (13) |
Дополнительное уравнение: P0 + P1 = 1.
Выражая P1 = 1 - P0, получаем 0 = P0 - (1 - P0), или = P0 ( + ), откуда
| (14) |
Остальные показатели надежности восстанавливаемого элемента:
- функция готовности Г(t), функция простоя П(t)
Г(t) = P0 (t); П(t) = 1 - Г(t) = P1(t).
- параметр потока отказов (t) по (4)
(t) = P0(t) = Г(t).
При t (стационарный установившийся режим восстановления)
(t) = () = = P0 = kг.с.
- ведущая функция потока отказов (t )
- средняя наработка между отказами (t )
t0= kг.с./ = kг.с./ kг = 1/ .
На рис. приведено изменение вероятности нахождения объекта в работоспособном состоянии.
Рис. 1
Анализ изменения P0(t) позволяет сделать выводы:
1) При мгновенном (автоматическом) восстановлении работоспособности ( = )
/ = 0 и P0(t) = 1.
2) При отсутствии восстановления ( = 0)
/ = и P0(t) = e- t,
и вероятность работоспособного состояния объекта равна ВБР невосстанавливаемого элемента.
Некоторые дополнения по применению метода дифференциальных уравнений для оценки надежности.
Метод дифференциальных уравнений может быть использован для расчета показателей надежности и невосстанавливаемых объектов (систем).
В этом случае неработоспособные состояния системы являются «поглощающими» и интенсивности выхода из этих состояний исключаются.
Для невосстанавливаемого объекта граф состояний имеет вид:
Система дифференциальных уравнений:
Начальные условия: P0 (0) = 1; P1(0) = 0.
Изображение по Лапласу первого уравнения системы:
После группировки:
откуда
Используя обратное преобразование Лапласа, оригинал вероятности нахождения в работоспособном состоянии, т. е. ВБР к наработке t:
|
|
|
