Задача 5. Определение расстояния от точки до прямой.
![]()
![]() ![]()
![]() ![]()
![]() ![]() ![]() Координаты точки М2(x 2, y 2) находим из Рис. 4 решения системы уравнений
Введем замену: u = x 2 - x 1; v = y 2 - y 1. Тогда (7) и (8) можно записать в виде d= Au + Bv + Ax 1 + By 1 + C = 0; Au - Bv = 0. Решая систему из двух последних уравнений, находим u = - v = - Подставив эти значения в (9), получим d= Пример 8. Найти расстояние от точки М(1,-2) до прямой 3 x- 2 y -9 = 0. Решение. Искомое расстояние находится по формуле (10): d= 2[кроме ФЭУ]. Кривые второго порядка.
Уравнение вида Ax 2+ Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, (11) если хотя бы одна из трех величин A, B или C не равна нулю, называется уравнением второго порядка, а линия, представляемая таким уравнением, - кривой второго порядка. Частными случаями линий, определяемых общим уравнением (11), являются окружность, эллипс, гипербола и парабола. 2.1. Окружность. Пусть дана окружность радиуса R с центром в точке М 0(x 0, y 0). Найдем ее уравнение. Для любой точки М (x, y), принадлежащей окружности, расстояние от центра до этой точки постоянно и равно радиусу окружности R, то есть ММ 0 =R (для точек, не лежащих на окружности, это равенство выполняться не будет). Из формулы для определения расстояния между двумя точками следует R=
![]() ![]() ![]()
![]()
![]()
М 0(0,-3). Рис. 5 Решение. В данном случае x 0 = 0, y 0 = -3, R= 4, поэтому уравнение окружности имеет вид Пример 10. Выяснить геометрический смысл уравнения x 2+ y 2+6 x- 2 y+ 5=0. Решение. Выделим в левой части уравнения полные квадраты: (x 2+6 x+ 9)+(y 2-2 y+ 1)+5-9-1=0. Отсюда
2.2. Эллипс. Эллипсом называется линия, для каждой точки которой сумма расстояний до двух фиксированных точек F 1 и F 2 (фокусов) есть постоянная величина, обозначаемая 2 а. Если оси декартовой системы координат выбраны так, что фокусы данного эллипса располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала координат на расстоянии 2 с друг от друга, то в этой системе координат уравнение эллипса имеет простейший вид
Уравнение (13) называется каноническим уравнением эллипса (оно может быть получено путем несложных алгебраических преобразований из равенства MF 1+ MF 2 = 2 a). Здесь а - большая полуось, b- малая полуось эллипса; фокусы F 1 и F 2 находятся на расстоянии с =
![]()
![]() ![]() ![]() ![]()
частный случай эллипса. При этом Рис. 6 эксцентриситет окружности e = 0. Пример 11. Составить уравнение эллипса, симметричного относительно осей координат и проходящего через точки М 1(4,- Решение. Подставляя координаты точек М 1 и М 2 в уравнение (13), получаем систему двух уравнений:
Решая эту систему находим полуоси a= Пример 12. Убедившись, что точка М (-4; 2,4) лежит на эллипсе Решение. Подставляя координаты точки М в уравнение эллипса MF 1 = a + ex = 5+ 2.3. Гипербола. Гиперболой называется линия, для каждой точки которой абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек F 1 и F 2 (фокусов) есть постоянная величина, обозначаемая 2 а. В системе координат, изображенной на рис. 7, уравнение гиперболы имеет простейший вид
называемый каноническим уравнением гиперболы.
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Прямые y = Расстояния от любой точки М (x, y) гиперболы до ее фокусов F 1 и F 2 - фокальные радиусы точки М - определяются по формулам: MF 1 = |e x + a|, MF 2 = |e x - a|. (16) Две гиперболы, заданные уравнениями
в одной и той же системе координат, называются сопряженными. Пример 13. Составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точки М 1(6,-1) и М 2(-8,2 Решение. Подставляя координаты точек М 1 и М 2 в уравнение (15), получаем систему двух уравнений относительно неизвестных полуосей гиперболы a и b:
Из этой системы находим а 2 = 32, b 2 =8. Таким образом, действительная полуось гиперболы a= Пример 14. Найти координаты фокусов гиперболы
Решение. Имеем с = Точка М (-5, Замечание. Если в уравнении (15) a = b, то гиперболу в этом случае называют равнобочной; ее уравнение имеет вид x 2 - y 2 = а 2; асимптоты y = x и y = - x взаимно перпендикулярны; эксцентриситет равен 2.4. Парабола. Параболой называется линия, для каждой точки которой расстояние до фиксированной точки F (фокуса) равно расстоянию до данной прямой, называемой директрисой. Расстояние FС = р от фокуса до директрисы называется параметром параболы. Введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус данной параболы перпендикулярно директрисе и была направлена от директрисы к фокусу; начало координат О расположим посередине между фокусом и директрисой, так что FО=ОС =
А) Рис. 8 б)
В этой системе координат парабола будет определяться уравнением y 2 = 2 px. (17) Уравнение (17) называется каноническим уравнением параболы (оно получается из равенства FМ=МК). В этой же системе координат фокус данной параболы F ( Уравнение x2 = 2py или же y = аx2 (где а=
Пример 15. Составить уравнение параболы, проходящей через начало координат, точку М (1,-2) и симметричной относительно оси абсцисс; написать уравнение директрисы; найти фокальный радиус точки М. Решение. Подставив координаты точки М (x = 1, y = -2) в уравнение y 2 = 2 px, получим 4=2 p× 1, р =2, так что уравнение параболы y 2 = 4 x. Уравнение директрисы x = -1. Фокальный радиус MF =1+ 1 =2. ■
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|