 |
Синусоидальный ток в отдельных элементах электрической цепи.
|
|
|
|
1) При прохождении синусоидального тока через активное сопротивление сдвиг фаз напряжения и тока отсутствует. Электрическая энергия полностью переходит в другие виды энергии. Процессы необратимы. 
2) Для идеальной катушки индуктивности величина активного сопротивления равна 0. Тогда напряжение на зажимах катушки можно записать 
, полученный результат показывает, что напряжение на катушке индуктивности опережает по фазе ток на π/2.
U=ωLI=XLI; XL=ωL – реактивное индуктивное сопротивление катушки, оно характеризует обмен реактивно энергии в электрической цепи. Величина активной мощности будет равна 0, а реактивной Q= XLI2 Вар.
3) Реальная катушка индуктивности. На схеме заменяется активным сопротивлением и индуктивностью. Физически эти элементы неразделимы. 
При прохождении синусоидального тока через реальную катушку индуктивности, в катушке будут потери активной и реактивной мощностей.4) Цепь с идеальным конденсатором. Идеальный – конденсатор, в котором отсутствуют токи проводимости, а токи смещения вызваны разностью потенциалов на пластинах конденсатора.
Полученный результат показывает, что напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока на π/2. 
Параметр ХС называют реактивным ёмкостным сопротивлением конденсатора. При обмене реактивной энергией между источником электрической энергии и конденсатором в цепи присутствует только реактивная мощность Q= XCI2 Вар.
5) Последовательное соединение R-C элементов (реальный конденсатор)
30) Векторное изображение синусоидально
изменяющихся величин
На декартовой плоскости из начала координат проводят векторы, равные по модулю амплитудным значениям синусоидальных величин, и вращают эти векторы против часовой стрелки (в ТОЭ данное направление принято за положительное) с угловой частотой, равной w. Фазовый угол при вращении отсчитывается от положительной полуоси абсцисс. Проекции вращающихся векторов на ось ординат равны мгновенным значениям ЭДС е1 и е2 (рис. 3). Совокупность векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, напряжения и токи, называют векторными диаграммами. При построении векторных диаграмм векторы удобно располагать для начального момента времени (t=0), что вытекает из равенства угловых частот синусоидальных величин и эквивалентно тому, что система декартовых координат сама вращается против часовой стрелки со скоростью w. Таким образом, в этой системе координат векторы неподвижны (рис. 4). Векторные диаграммы нашли широкое применение при анализе цепей синусоидального тока. Их применение делает расчет цепи более наглядным и простым. Это упрощение заключается в том, что сложение и вычитание мгновенных значений величин можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов.
|
|
|
|
Пусть, например, в точке разветвления цепи (рис. 5) общий ток 
равен сумме токов 
и 
двух ветвей: 
.
Каждый из этих токов синусоидален и может быть представлен уравнением
и 
.
Результирующий ток также будет синусоидален:
.
Определение амплитуды 
и начальной фазы 
этого тока путем соответствующих тригонометрических преобразований получается довольно громоздким и мало наглядным, особенно, если суммируется большое число синусоидальных величин. Значительно проще это осуществляется с помощью векторной диаграммы. 
На рис. 6 изображены начальные положения векторов токов, проекции которых на ось ординат дают мгновенные значения токов для t=0. При вращении этих векторов с одинаковой угловой скоростью w их взаимное расположение не меняется, и угол сдвига фаз между ними остается равным 
.
|
|
|
Так как алгебраическая сумма проекций векторов на ось ординат равна мгновенному значению общего тока, вектор общего тока равен геометрической сумме векторов токов:
.
Построение векторной диаграммы в масштабе позволяет определить значения и из диаграммы, после чего может быть записано решение для мгновенного значения путем формального учета угловой частоты: 
.
Представление синусоидальных ЭДС, напряжений
и токов комплексными числами
Геометрические операции с векторами можно заменить алгебраическими операциями с комплексными числами, что существенно повышает точность получаемых результатов.
Каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое может быть записано в:
показательной 
тригонометрической 
или
алгебраической 
- формах.
Например, ЭДС 
, изображенной на рис. 7 вращающимся вектором, соответствует комплексное число
.
Фазовый угол 
определяется по проекциям вектора на оси “+1” и “+j” системы координат, как
.
В соответствии с тригонометрической формой записи мнимая составляющая комплексного числа определяет мгновенное значение синусоидально изменяющейся ЭДС:
 ,
| (4) |
Комплексное число 
удобно представить в виде произведения двух комплексных чисел:
 ,
| (5) |
Параметр 
, соответствующий положению вектора для t=0 (или на вращающейся со скоростью w комплексной плоскости), называют комплексной амплитудой: 
, а параметр 
- комплексом мгновенного значения.
Параметр 
является оператором поворота вектора на угол wt относительно начального положения вектора.
Вообще говоря, умножение вектора на оператор поворота 
есть его поворот относительно первоначального положения на угол ±a.
Следовательно, мгновенное значение синусоидальной величины равно мнимой части без знака “ j” произведения комплекса амплитуды и оператора поворота :
.
Переход от одной формы записи синусоидальной величины к другой осуществляется с помощью формулы Эйлера:
 ,
| (6) |
Если, например, комплексная амплитуда напряжения задана в виде комплексного числа в алгебраической форме:
,
- то для записи ее в показательной форме, необходимо найти начальную фазу 
, т.е. угол, который образует вектор 
с положительной полуосью +1:
|
|
|
.
Тогда мгновенное значение напряжения:
,
где 
.
При записи выражения для определенности было принято, что 
, т.е. что изображающий вектор находится в первом или четвертом квадрантах. Если 
, то при 
(второй квадрант)
 ,
| (7) |
а при 
(третий квадрант)
| (8) |
или
| (9) |
Если задано мгновенное значение тока в виде 
, то комплексную амплитуду записывают сначала в показательной форме, а затем (при необходимости) по формуле Эйлера переходят к алгебраической форме:
.
Следует указать, что при сложении и вычитании комплексов следует пользоваться алгебраической формой их записи, а при умножении и делении удобна показательная форма.
Итак, применение комплексных чисел позволяет перейти от геометрических операций над векторами к алгебраическим над комплексами. Так при определении комплексной амплитуды результирующего тока по рис. 5 получим:
где 
;
.
|
|
|
