 |
Случайные величины. Вероятность случайного события
|
|
|
|
Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Обозначим: X, Y, Z – случайные величины
– возможные значения случайных величин.
Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные возможные значения с определенными вероятностями.
Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины, независимо от величины промежутка, бесконечно.
Для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все ее возможные значения, нужно указать еще и их вероятность.
Вероятность (Р) показывает степень возможности осуществления данного события, явления, результата.
, где n – общее число элементарных исходов (результатов испытания), m – число исходов, благоприятных случайному событию.
Вероятность невозможного события равна нулю, достоверного — единице (100%). Вероятность любого события лежит в пределах от 0 до 1 - в зависимости от того, насколько это событие случайно.
Закон распределения дискретной случайной величины
Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между ее возможными значениями и вероятностями их появления. Закон распределения можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически (в виде многоугольника распределения).
Табличное задание закона распределения:
- возможные значения случайной величины;
- вероятности появления случайной величины.
|
|
|
Аналитическое задание закона распределения:
Биномиальное распределение, определяемое законом Бернулли
k = 0, 1, 2, …, n – количество возможных появлений событий
q = 1-p – вероятность не появления событий.
Распределение Пуассона, определяемое асимптотической формулой Пуассона:
Где 
- интенсивность потока событий.
Графическое задание закона распределения представлено на рис. 1
Рис. 1 Полигон распределения дискретной случайной величины.
Способ описания распределения случайной величины в виде таблицы, в виде формулы или графически применим только для дискретных случайных величин.
Интегральная функция распределения
Интегральная функция распределения позволяет задать как дискретную, так и непрерывную случайную величину.
Интегральная функция распределения (ИФР) – это функция F(x), определяющая для каждого возможного значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее x, т. е.
Геометрический смысл интегральной функции распределения – это вероятность того, что случайная величина X примет значение, которое на числовой оси лежит левее точки x.
Свойства интегральной функции распределения:
1. Значения интегральной функции распределения принадлежат отрезку
[0;1]: 
.
2. Вероятность того, что случайная величина X примет значение, заключенной в интервале (a,b), равна приращению интегральной функции распределения на этом интервале
3. Если все возможные значения x случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то
, если 
, если 
График ИФР непрерывной случайной величины представлен на рис. 2
Рис. 2 График ИФР непрерывной случайной величины
График ИФР дискретной случайной величины представлен на рис. 3
Рис. 3 График ИФР дискретной случайной величины
|
|
|
