 |
Нормальный закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины
|
|
|
|
Закон нормального распределения вероятностей непрерывной случайной величины занимает особое место среди различных теоретических законов, т. к. является основным во многих практических исследованиях. Им описывается большинство случайных явлений, связанных с производственными процессами.
К случайным явлениям, подчиняющимся нормальному закону распределения, относятся ошибки измерений производственных параметров, распределение технологических погрешностей изготовления, рост и вес большинства биологических объектов и др.
Нормальным называют закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины, который описывается дифференциальной функцией
, где
a - математическое ожидание случайной величины;
-среднее квадратичное отклонение нормального распределения.
График дифференциальной функции нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса) (рис.7).
Рис. 7 Кривая Гаусса
Свойства нормальной кривой (кривой Гаусса):
1. кривая симметрична относительно прямой x = a;
2. нормальная кривая расположена над осью X, т. е. при всех значениях X функция f(x) всегда положительна;
3. ось ox является горизонтальной асимптотой графика, т. к.
4. при x = a функция f(x) имеет максимум равный
,
в точках A и B при 
и 
кривая имеет точки перегиба, ординаты которых равны.
При этом, вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины, распределенной нормально, от ее математического ожидания не превысит среднего квадратичного отклонения , равна 0,6826.
в точках E и G, при 
и 
, значение функции f(x) равно
а вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины, распределенной нормально, от ее математического ожидания не превысит удвоенного среднего квадратичного отклонения, равна 0,9544.
|
|
|
Асимптотически приближаясь к оси абсцисс, кривая Гаусса в точках C и D, при 
и 
, очень близко подходит к оси абсцисс. В этих точках значение функции f(x) очень мало
а вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины, распределенной нормально, от ее математического ожидания не превысит утроенного среднего квадратичного отклонения, равна 0,9973. Это свойство кривой Гаусса называется " правило трех сигм ".
Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.
Изменение величины параметра a (математического ожидания случайной величины) не изменяет форму нормальной кривой, а приводит лишь к ее смещению вдоль оси X: вправо, если a возрастает, и влево, если a убывает.
При a=0 нормальная кривая симметрична относительно оси ординат.
Изменение величины параметра (среднего квадратичного отклонения) изменяет форму нормальной кривой: с возрастанием ординаты нормальной кривой убывают, кривая растягивается вдоль оси X и прижимается к ней. При убывании ординаты нормальной кривой увеличиваются, кривая сжимается вдоль оси X и становится более "островершинной".
При этом, при любых значениях 
и площадь ограниченная нормальной кривой и осью X, остается равной единице (т. е. вероятность того, что случайная величина, распределенная нормально, примет значение ограниченное на оси X нормальной кривой, равна 1).
Нормальное распределение с произвольными параметрами и , т. е. описываемое дифференциальной функцией
называется общим нормальным распределением.
Нормальное распределение с параметрами 
и 
называется нормированным распределением (рис. 8). В нормированном распределении дифференциальная функция распределения равна:
|
|
|
Рис. 8 Нормированная кривая
Интегральная функция общего нормального распределения имеет вид:
|
Интегральная функция нормированного распределения имеет вид:
|
где
Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону в интервале (c, d). Тогда вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (c, d) равна
Пример. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины равны a=30 и 
. Найти вероятность того, что X примет значение в интервале (10, 50).
Решение:
По условию: 
. Тогда
Пользуясь готовыми таблицами Лапласа (см. приложение 3), имеем:
.
|
|
|
