Тема 3. Статистическая проверка гипотез

Статистической называют гипотезу (предположение) о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу Н₀, которую необходимо проверить. Конкурирующей (альтернативной) гипотезой Н₁ называют гипотезу, противоположную нулевой гипотезе.

Если проверяемое утверждение сводится к гипотезе о том, что значение некоторого параметра θ в точности равно заданной величине θ₀, то это гипотеза называется простой, в других случаях гипотеза будет называться сложной.

Статистическим критерием называют случайную величину , которая служит для проверки гипотезы. Статистический критерий однозначно определяет правило, устанавливающее условия, при которых выдвинутую гипотезу Н₀ следует либо отвергнуть, либо принять.

Наблюдаемым (эмпирическим) значением называют то значение критерия, которое вычислено по выборке.

Критической областью (W) называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу Н₀ отвергают. Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений, Q) называют совокупность значения критерия, при которых нулевую гипотезу Н₀ принимают. Критическими точками (границами) q_кр называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.

В зависимости от содержания конкурирующей гипотезы Н₁ выбирают правостороннюю, левостороннюю или двустороннюю критические области.

Правосторонней называют критическую область, определяемую неравенством > q_кр, где q_кр - положительное число. Левосторонней называют критическую область, определяемую неравенством < q_кр, где q_кр - отрицательное число. Двусторонней называют критическую область, определяемую неравенствами < q₁ и > q₂ , где q₂ > q₁ .

В частности, если критические точки симметричны относительно нуля, то двустороння критическая область определяется неравенствами (в предположении, что q_кр>0): <- q_кр, > q_кр, или равносильным неравенством > q_кр.

Основной принцип проверки статистических гипотез: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то нулевую гипотезу отвергают; если наблюдаемое значения критерия принадлежит области принятия гипотез, то гипотезу принимают. При использовании этого принципа возможны четыре случая:

- гипотеза Н₀ верна и ее принимают согласно критерию;

- гипотеза Н₀ неверна и ее отвергают согласно критерию;

- гипотеза Н₀ верна но ее отвергают согласно критерию, т.е. допускается ошибка, которую принято называть ошибкой первого рода.

- гипотеза Н₀ неверна и ее принимают согласно критерию, т.е. допускается ошибка второго рода.

Уровнем значимости α = 1-γ называют вероятность совершить ошибку первого рода. С уменьшением α возрастает вероятность ошибки второго рода β.

Мощностью критерия (1- β) называют вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что справедлива конкурирующая гипотеза. Другими словами, мощность критерия есть вероятность того, что нулевая гипотеза Н₀ будет отвергнута, если верна конкурирующая гипотеза.

Пусть Р( W/Н) – вероятность попадания статистики критерия в критическую область W, если верна соответствующая гипотеза Н.

Тогда требования к критической области можно записать следующим образом:

(3.1)

Из условия (3.1) следует, что критическую область нужно выбирать так, чтобы вероятность попадания в нее была бы минимальной (равной α), если верна нулевая гипотеза и максимальной в противоположном случае.

Границы критической области при заданном уровне α находят из соотношений:

при правосторонней критической области: Р( > q_кр) = α; (3.2)

при левосторонней критической области: Р( <q_кр) = α; (3.3)

при двусторонней критической области: Р( > q _кр.пр) = ;

Р( <q _кр.лев) = . (3.4)