 |
Избавляемся от импликации в скобках;
|
|
|
|
2. во второй скобке используем закон де Моргана 
& 
и далее закон дистрибутивности.
(Х®Y)((
®Z)® 
) = ( ÚY)(
Ú ) = ( ÚY)(( & 
) Ú ) = ( 
ÚY)&( 
) & 
)
Ответ: (Х®Y)((
®Z)® 
) = ( ÚY)&(
) & 
).
Разнообразие логических задач очень велико. Способов их решения тоже немало. Но наибольшее распространение получили следующие три способа решения логических задач: средствами алгебры логики с помощью равносильных преобразований; табличный; с помощью рассуждений.
Пример 3. Решить задачу с помощью преобразований
Кто из учеников идет на олимпиаду по физике, если известно следующее:
1) Если Миша идет, то идет Аня, но не идет Маша.
2) Если Маша не идет на олимпиаду, то идет Аня, но не идет Миша.
3) Если Аня идет, то идет Миша, но не идет Маша.
Решение. Введем обозначение для простых логических высказываний:
А – Аня идет на олимпиаду
В – Маша идет на олимпиаду
С – Миша идет на олимпиаду
Запишем сложные высказывания, выражающие известные факты:
1) С ® (A 
)
2) ® (A 
)
3) A ® (C )
Запишем произведение сложных высказываний и упростим его:
(С® (A 
) 
® (A 
))&(A ® (C )) = (
Ú (A ) 
Ú (A ))&(
Ú(C )) =
= ( B Ú A 
Ú 
Ú A 
&( Ú(C )) = ( B Ú 
Ú A 
) &( Ú(C )) =
= ( B Ú 
(1 Ú )) &( Ú(C )) = ( B Ú ) &( Ú(C )) = B Ú 
Ú B C Ú 
= 
B 
Ответ: на олимпиаду идет Маша ÿ
Пример 4. Решить задачу с помощью преобразований
Трое друзей, болельщиков автогонок "Формула-1", спорили о результатах предстоящего этапа гонок.
|
|
|
1) Вот увидишь, Шумахер не придет первым, — сказал Джон. Первым будет Хилл.
2) Да нет же, победителем будет, как всегда, Шумахер, — воскликнул Ник. — А об Алези и говорить нечего, ему не быть первым.
3) Питер, к которому обратился Ник, возмутился: Хиллу не видать первого места
По завершении этапа гонок оказалось, что каждое из предположений двоих друзей подтвердилось, а предположения третьего из друзей оказались неверны. Кто выиграл этап гонки?
Решение. Введем обозначения для логических высказываний:
А — победит Шумахер; В — победит Хилл; С — победит Алези.
Запишем сложные высказывания, выражающие известные факты:
1.
2.
3.
Возможные три случая:
Прав Джон и Ник, Питер не прав: 
= 0 (должно быть 1)
Прав Питер и Джон, Ник не прав: (
= 0 (должно быть 1)
Прав Питер и Ник, Джон не прав:
(
= (
= 
= 1
Ответ: А – победит Шумахер; Хилл и Алези не победят
Пример 5. Решить задачу табличным способом
Три дочери писательницы Дорис Кей — Джуди, Айрис и Линда, тоже очень талантливы. Они приобрели известность в разных видах искусств — пении, балете и кино. Все они живут в разных городах, поэтому Дорис часто звонит им в Париж, Рим и Чикаго.
Известно, что:
1. Джуди живет не в Париже, а Линда — не в Риме;
2. парижанка не снимается в кино;
3. та, кто живет в Риме, певица;
4. Линда равнодушна к балету.
Где живет Айрис, и какова ее профессия?
Решение. Составим таблицу и отразим в ней условия 1 и 4, заполнив клетки цифрами 0 и 1 в зависимости от того, ложно или истинно соответствующее высказывание:
| Париж | Рим | Чикаго | Пение | Балет | Кино | |
| 0 | Джуди | |||||
| Айрис | ||||||
| 0 | Линда | 0 |
Так как Линда живет не в Риме, то, согласно условию 3, она не певица. В клетку, соответствующую строке "Линда" и столбцу "Пение", ставим 0. Из таблицы сразу видно, что Линда киноактриса, а Джуди и Айрис не снимаются в кино.
|
|
|
| Париж | Рим | Чикаго | Пение | Балет | Кино | |
| 0 | Джуди | 0 | ||||
| Айрис | 0 | |||||
| 0 | Линда | 0 | 0 | 1 |
Согласно условию 2, парижанка не снимается в кино, следовательно, Линда живет не в Париже. Но она живет и не в Риме. Следовательно, Линда живет в Чикаго. Так как Линда и Джуди живут не в Париже, там живет Айрис. Джуди живет в Риме и, согласно условию 3, является певицей. А так как Линда киноактриса, то Айрис балерина.
В результате постепенного заполнения получаем следующую таблицу:
| Париж | Рим | Чикаго | Пение | Балет | Кино | |
| 0 | 0 | 1 | Джуди | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | Айрис | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | Линда | 0 | 0 | 1 |
Ответ. Айрис балерина, живет в Париже.
|
|
|
