 |
Использование различных методов факторизации для получения двухфакторного решения
|
|
|
|
Использование различных методов факторизации для получения двухфакторного решения
После компьютерного расчета матрицы факторных нагрузок наступает наиболее сложный, ответственный и творческий этап использования ФА — определение минимального числа факторов, адекватно воспроизводящих наблюдаемые корреляции, и содержательная интерпретация результатов ФА. Напомним, что максимальное количество факторов равно числу переменных. Кроме содержательных критериев решения вопроса о минимальном числе факторов существуют формально-статистические показатели достаточности числа выделенных факторов для объяснения корреляционной матрицы. Остановимся на двух основных показателях. После расчета факторных нагрузок для каждой переменной практически любая компьютерная программа распечатывает на экране следующую табл. 2*.
* Результаты ФА взяты из работы студентов 2-го курса д/о ф-та психологии Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, 1995/96 уч. год.
Таблица 2
Статистические показатели для определения минимального количества факторов
Первый важный показатель в этой таблице (второй столбец) — это величина собственного значения каждого фактора; факторы расположены в таблице по убыванию этой величины. Не очень строго говоря, этот показатель характеризует вес, значимость каждого фактора в найденном факторном решении*. Из таблицы 2 видно, что от 1-го фактора к 10-му (всего было 10 переменных) величина собственного значения убывает более, чем в 100 раз. Естественно возникает вопрос о том, какая величина данного показателя свидетельствует о значимом, существенном вкладе соответствующего фактора, и каков критерий для отсечения незначимых, несущественных факторов. Достаточно часто в качестве такого критического значения используют величину собственного значения, равную 1. 0. Таким образом, с определенной степенью уверенности предполагают, что те факторы, у которых этот показатель меньше 1. 0, не вносят значительного вклада в объяснение корреляционной матрицы. Кроме анализа табличных величин бывает полезно визуально оценить динамику величины собственного значения по графику. Как правило, в большинстве статистических программ такая возможность пользователю предоставляется (см. рис. 3). Как предлагал в свое время Р. Кеттел (1965), выделение факторов заканчивается, когда после резкого падения величины собственного значения изменяются незначительно, и график фактически превращается в горизонтальную прямую линию. Несмотря на видимую простоту и ясность такого рецепта, следует отметить, что когда на графике имеется более чем один излом, то выделение горизонтального участка становится неоднозначным.
|
|
|
* Более точно, собственное значение каждого фактора — это его вклад в дисперсию переменных, объясняемую влиянием общих факторов. Расчет собственных значений корреляционной матрицы — один из основных вычислительных алгоритмов ФА.
Другой не менее важный расчетный показатель значимости каждого фактора — процент объясняемой дисперсии переменных, содержащейся в корреляционной матрице (третий столбец в табл. 2). Естественно, что все 100% дисперсии будут объясняться только всеми десятью факторами. Однако не стоит забывать, что при любых измерениях (а особенно в разведочных, пилотажных исследованиях) имеют место разного рода случайные ошибки, и поэтому их вклад в общую дисперсию тоже может оказаться весьма значительным. Предполагается, что ряд выделенных факторов отражает влияние случайных процессов, никак не связанных с оценкой наблюдаемых переменных. Таким образом, формально задача заключается в том, чтобы, с одной стороны, выбрать некоторое минимальное количество факторов, которые бы, с другой стороны, объясняли достаточно большой процент всей дисперсии переменных. Ясно, что эти два требования в принципе взаимно противоречивы, и, следовательно, исследователь стоит перед выбором некоторой критической величины процента объясняемой дисперсии. К сожалению, никаких строго формальных рецептов по этому поводу не существует, но принято считать, что при хорошем факторном решении выбирают столько факторов, чтобы они в сумме (последний столбец таблицы) объясняли не менее 70—75%. В хорошо спланированных исследованиях с установленной факторной структурой этот суммарный процент может достигать 85—90 %.
|
|
|
Подводя итог, укажем, что в данном случае оба статистических критерия вполне однозначно свидетельствуют о достаточности не более 3-х факторов, что и отмечено пунктирной горизонтальной линией. Тем не менее, стоит подчеркнуть, что главным критерием для выделения минимального количества будет содержательная интерпретация выделенных факторов, а к использованию формально-статистических критериев следует относиться с осторожностью.
3. Вращение факторной структуры и содержательная интерпретация результатов ФА. Одним из основных кажущихся парадоксов ФА как метода, обеспеченного весьма солидным и современным математическим аппаратом, является неоднозначность расчета факторных нагрузок по исходной корреляционной матрице. Фактически это означает следующее: любой алгоритм факторизации корреляционной матрицы дает какой-то один вариант расчета факторных нагрузок из целого множества эквивалентных. Это означает, что расчет факторных нагрузок выполняется с точностью до любого линейного преобразования в правой части уравнения (2), что эквивалентно возможности произвольного поворота факторных осей вокруг векторов-переменных. Поясним сказанное, используя геометрическую интерпретацию результатов ФА. На рис. 4 представлены три переменные (vl, v2 и v3) в пространстве двух ортогональных факторов (F1 и F2). Переменные изображены в виде векторов, а факторные нагрузки переменных на факторы геометрически представляют собой проекции данного вектора (переменной) на соответствующую координатную ось (фактор). Если мы осуществим произвольный поворот осей координат на какой-то угол, например, на 45 градусов вправо (новые оси — штрих-пунктирные линии на рис. 4), то расположение переменных в новой системе координат (F1' — F2’) с математической точки зрения полностью эквивалентно исходному. Изменились лишь величины факторных нагрузок (сравните проекции переменной vl на оси F1 и F1', соответственно, до и после поворота). Таким образом, исходное факторное решение справедливо с точностью до любого угла поворота ортогональных факторных осей вокруг пучка векторов, образованного переменными vl, v2 и v3.
|
|
|
Естественно, возникает вопрос об оптимальном расположении переменных в пространстве факторных осей. Как было отмечено выше, эта проблема в принципе не имеет строгого математического решения. Она относится уже к содержательной интерпретации расположения переменных в факторном пространстве. Фактически суть проблемы состоит в следующем: какой набор факторных нагрузок (или какая геометрическая модель результатов ФА) будет более подходящим для интерпретации исследователем. Поскольку при повороте осей координат факторные нагрузки по одному фактору могут расти, а по другому — уменьшаться, то, соответственно, будет расти или уменьшаться вклад этих факторов в разные переменные. Из этого следует, что нужно искать такой вариант расположения переменных в факторном пространстве, который наилучшим образом соответствует ожиданиям исследователя, его предположениям о взаимосвязи и взаимозависимости исследуемых переменных. Как правило, при использовании ФА полагают, что существует одно оптимальное положение осей координат, соответствующее существенным для данного исследования и хорошо интерпретируемым факторам.
Описанный выше процесс поиска оптимальной факторной структуры получил название процедуры вращения факторов. По образному выражению Л. Терстоуна, цель исследователя заключается в поиске " простой структуры" или попытке объяснить большее число переменных меньшим числом факторов. С формальной точки зрения при поиске простой структуры следует иметь в виду следующее: целесообразно стремиться к получению для каждой переменной максимального числа больших факторных нагрузок по одним факторам и одновременно наибольшего количества минимальных факторных нагрузок по другим факторам. Следуя этому правилу, мы стремимся сделать так, чтобы одну группу переменных можно было в большей степени объяснить влиянием одних факторов, а другую — других. Таким образом, " простота" хорошего факторного решения заключается в том, что каждая переменная имеет наиболее простое факторное объяснение, т. е. характеризуется преобладающим влиянием некоторого одного фактора, и в меньшей степени связана с другими факторами. И наоборот: один фактор должен быть специфическим образом связан с одной группой переменных и не связан с другими переменными. В предельном случае самая простая структура получается тогда, когда все переменные располагаются на соответствующих факторных осях, т. е. имеют ненулевые факторные нагрузки только по одному фактору, а по остальным — нулевые. Возвращаясь к рис. 4, укажем на результат вращения: после поворота факторных осей на 45 градусов вправо, нагрузка переменной vl по первому фактору резко уменьшилась и одновременно немного возросла по второму. Кроме того заметно уменьшились факторные нагрузки переменных v2 и v3 по второму фактору. Таким образом " простота" новой факторной структуры выразилась в доминирующем влиянии первого фактора на переменную vl, а второго фактора — на две других переменных.
|
|
|
Видимая простота решения проблемы вращения системы координат в двухмерном случае (это можно сделать и вручную) становится неочевидной при 3-х и более факторах. Пересчет системы координат вручную и построение факторных диафамм становятся очень сложными. Исходя из общего принципа построения простой структуры, изложенного выше, во многих компьютерных программах предлагаются несколько способов решения проблемы оптимальности вращения системы координат. Кратко остановимся на основных способах вращения. Выделяют два класса методов вращения — методы ортогонального вращения, когда при повороте осей координат угол между факторами остается прямым (и, следовательно, остается верным предположение о некоррелированности факторов), и более общие методы косоугольного вращения, когда первоначальное ограничение о некоррелированности факторов снимается.
|
|
|
Методы ортогонального вращения: варимакс, квартимакс, эквимакс и биквартимакс. Варимакс — наиболее часто используемый на практике метод, цель которого — минимизировать количество переменных, имеющих высокие нагрузки на данный фактор, что способствует упрощению описания фактора за счет группировки вокруг него только тех переменных, которые с ним связаны в большей степени, чем остальные.
Квартимакс в определенном смысле противоположен варимаксу, поскольку минимизирует количество факторов, необходимых для объяснения данной переменной; поэтому он усиливает интерпретабельность переменных. Квартимакс-вращение приводит к выделению одного из общих факторов с достаточно высокими нагрузками на большинство переменных. Эквимакс и биквартимакс — это два схожих метода, представляющих собой своеобразную комбинацию варимакса, упрощающего описание факторов, и квартимакса, упрощающего описание переменных. Отметим, что выбор более подходящего метода вращения конечно же требует известного опыта использования ФА, однако специальные исследования X. Кайзера (1958) при прочих равных условиях свидетельствуют в пользу преимущественного применения варимакса.
Методы косоугольного вращения также позволяют упростить описание факторного решения за счет введения предположения о коррелированности факторов и, следовательно, о возможности существования факторов более высокого порядка, объясняющих наблюдаемую корреляцию. Основное преимущество косоугольного вращения состоит в возможности проверки ортогональности получаемых факторов: если в результате вращения получаются действительно ортогональные факторы, то можно быть уверенным в том, что ортогональность им действительно свойственна, а не является следствием использования метода ортогонального вращения. В статистических программах наибольшую популярность получил метод облимин, по своей сути эквивалентный методу эквимакс при ортогональном вращении. В расчетах с помощью облимина используется специальный параметр (называемый в разных программах α или δ ), задающий степень косоугольности факторов при вращении. Большие отрицательные значения этого параметра соответствуют наиболее косоугольным решениям, а меньшие отрицательные значения — наиболее ортогональному решению. Подробнее об использовании метода облимин можно прочитать в книге Г. Хармана (1972) и руководствах к соответствующим статистическим пакетам.
Стоит особо отметить, что перед выполнением процедуры вращения следует указать количество факторов, в пространстве которых и производится вращение. Поэтому вопрос о минимальном количестве факторов следует решить (в первом приближении! ) до того. После осуществления вращения и анализа факторных диаграмм можно еще раз вернуться к проблеме минимального количества факторов, чтобы затем еще раз выполнить вращение с другим количеством (меньшим или большим) факторов. Например, на основании использования ряда статистических критериев, описанных выше, мы начинаем проводить вращение с учетом наличия 4-х факторов, но в ходе анализа факторных диаграмм убеждаемся в избыточности третьего и четвертого факторов и окончательное вращение выполняем в 2-х факторном пространстве. Таким образом, вращение и анализ факторных диаграмм следует проводить несколько раз с учетом разного количества факторов, начиная, как правило, с избыточного количества.
Вместе с тем не следует думать, что получение простой геометрической модели факторного решения является основным критерием " хорошести" результатов ФА и, следовательно, единственности и оптимальности расположения исследуемых переменных в системе факторных координат. Безусловно, решение вопроса о минимальном количестве факторов и сравнительная оценка различных вариантов вращения должны основываться на серьезном содержательном анализе полученных результатов. Укажем на основные моменты в ходе содержательного анализа:
1. По возможности следует четко сформулировать ожидаемые результаты и после этого задать себе следующие вопросы: а) согласуются ли ваши данные с вашими ожиданиями и результатами ранее выполненных исследований? б) что общего и какие есть различия между вашим и другими подобными исследованиями?
2. Стоит вспомнить, использовался ли ФА в сходных исследованиях и какие факторы выделялись в таких работах.
3. И наконец, при интерпретации факторов и объяснении их влияния на исследуемые переменные, следует подумать о согласованности найденного вами факторного решения с теоретическими основаниями данной предметной области психологии.
|
|
|
