 |
Основные непрерывные распределения
|
|
|
|
Лекция 2. Основные распределения случайных величин.
Основные дискретные распределения
Биномиальное распределение
Дискретная СВ X с реализациями 
, имеет биномиальное распределение с параметрами 
и 
, что символически записывается как 
, если вероятность события 
определяется формулой Бернулли:
(2.1)
Числовые характеристики биномиального распределения:
(2.2)
Правая часть формулы Бернулли совпадает с выражением для (к + 1) -го слагаемого в разложении бинома Ньютона 
, поэтому такое распределение называется биноминальным 
.
Наиболее вероятное значение 
биномиально распределённой случайной величины 
удовлетворяет неравенству
.
Ряд распределения биномиальной величины приведён в таблице
| X | … | k | … | n-1 | n | ||
| P | 
| 
| … | 
| … | 
| 
|
Условия возникновения. Проводится n одинаковых независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р. Случайная величина X - число опытов, в которых произошло событие А (см. теорему о повторении опытов) имеет биномиальное распределение.
Геометрическое распределение
Дискретная СВ X с реализациями 
, имеет геометрическое распределение с параметром , что символически записывается как 
, если вероятность события определяется формулой:
(2.3)
Числовые характеристики геометрического распределения:
(2.4)
Вероятности 
образуют геометрическую прогрессию с первым членом 
и знаменателем 
, поэтому это распределение называется геометрическим.
Ряд распределения величины, распределённой по геометрическому закону приведён в таблице
| X | … | k | … | ||
| P |
| 
| … | 
| … |
Условия возникновения. Проводится ряд одинаковых независимых опытов до первого появления некоторого события А. Случайная величина X - число проведенных безуспешных опытов до первого появления события А.
|
|
|
Распределение Пуассона
Дискретная СВ X с реализациями , имеет распределение Пуассона с параметром 
, что символически записывается как 
, если вероятность события определяется формулой:
(2.5)
Числовые характеристики распределения Пуассона:
(2.6)
Наиболее вероятное значение пуассоновской случайной величины удовлетворяет неравенству
.
На практике СВ имеет, как правило, физическую размерность. В этом случае физические размерности 
и 
не совпадают, хотя их числовые значения для распределения Пуассона равны.
Распределение Пуассона является предельным случаем биномиального, когда число опытов п неограниченно увеличивается 
, а вероятность р события A в одном опыте стремится к 0 
, так что существует предел 
Поэтому при больших и малых двухпараметрическое биномиальное распределение 
можно приближенно заменить однопараметрическим распределением Пуассона 
, где 
. Ошибка от такой замены не превышает 
:
Ряд распределения величины, распределённой по закону Пуассона приведён в таблице
| X | … | k | … | ||
| P | 
| 
| … | 
| … |
Условия возникновения. Распределение Пуассона широко используется в теории массового обслуживания при описании потоков случайных событий.
Рассмотрим временную ось, на которой будем отмечать моменты возникновения случайных событий (например, отказы компонентов в сложном техническом устройстве, заявки на обслуживание и т.п.). Последовательность таких моментов называется потоком случайных событий.
Поток случайных событий называется стационарным, если число событий, приходящихся на интервал 
, в общем случае не зависит от расположения этого участка на временной оси и определяется только его длительностью, т.е. среднее число событий в единице времени X (интенсивность потока - 
) постоянно.
|
|
|
Поток случайных событий называется ординарным, если вероятность попадания в некоторый малый участок 
двух и более случайных событий значительно меньше, чем вероятность попадания одного события.
В потоке отсутствует последействие, если вероятность попадания событий на участок не зависит от того, сколько событий попало на другие участки, не пересекающиеся с данным.
Поток случайных событий называется пуассоновским, если он является ординарным и без последействия. Пуассоновский поток случайных событий называется простейшим, если он стационарный.
Распределение событий простейшего потока 
с интенсивностью на временном интервале длиной является пуассоновским:
(2.7)
Основные непрерывные распределения
Равномерное распределение
СВ X распределена равномерно на отрезке 
, т.е. 
, если её плотность распределения имеет вид
(2.8)
а функция распределения определяется выражением
(2.9)
Графики плотности и функции распределения представлены на рисунках
Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределённой величины определяются следующими выражениями:
(2.10)
(2.11)
Равномерное распределение является непрерывным аналогом дискретного распределения вероятностей для опытов с равновероятными исходами.
СВ X, являющаяся погрешностью приближенных вычислений каких-либо параметров при округлении до ближайших целых чисел, удовлетворительно описывается распределением 
.
|
|
|
