Многомерное нормальное распределение
Плотность нормального распределения имеет вид
(3.26)
где
- вектор математического ожидания случайного вектора X;
- ковариационная матрица случайного вектора X;
- определитель ковариационной матрицы.
Если раскрыть квадратичную форму в фигурных скобках выражения (3.26), то плотность нормального закона можно записать в виде
(3.27)
где
- элементы матрицы, обратной по отношению к ковариационной матрице
случайного вектора
;
- математическое ожидание величины
;
;
- алгебраическое дополнение элемента
матрицы ковариации
.
В силу симметрии ковариационной матрицы
, обратная ковариационная матрица также обладает свойством симметрии:
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza8/5619850552368.files/image552.png)
Таким образом, для описания нормального закона распределения системы п случайных величин нужно знать следующие величины:
математических ожиданий:
;
элементов ковариационной матрицы (из которых
дисперсий).
На главной диагонали ковариационной матрицы
стоят дисперсии случайных величин.
Если нормально распределенные СВ
не коррелированы, то ковариационная матрица становится диагональной:
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza8/5619850552368.files/image563.png)
В этом случае определитель
будет равен произведению диагональных элементов:
,
а обратная ковариационная матрица также будет диагональной:
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza8/5619850552368.files/image568.png)
Следовательно, для нормально распределенной системы некоррелированных СВ совместная плотность имеет вид:
(3.28)
где ![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza8/5619850552368.files/image572.png)
Как следует из (3.28 ) нормально распределенная система некоррелированных случайных величин
представляет собой нормально распределенную систему независимых случайных величин, так как совместная плотность
системы
равна произведению плотностей отдельных величин
, входящих в систему. Таким образом, для нормально распределенной системы п СВ из некоррелированности отдельных величин следует их независимость.
Любая подсистема случайных величин
входящая в нормально распределенную систему
также распределена по нормальному закону, зависящему от
математических ожиданий и
элементов ковариационной матрицы.
Можно определить условную плотность распределения подсистемы СВ
вычисленную при условии, что остальные случайные величины
входящие в систему, приняли определенные значения: ![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza8/5619850552368.files/image588.png)
, (3.29)
где
-нормальная плотность распределения системы случайных величин
,
определяемая по формуле (2.28);
- нормальная плотность распределения подсистемы случайных величин
. При этом закон распределения (2.29) будет тоже нормальным.
В инженерных приложениях чаще всего имеют дело с условным законом распределения случайной величины
вычисленным при условии, что остальные случайные величины, входящие в систему, приняли определенные значения:
. Этот условный закон будет нормальным с характеристиками
(3.30)
(3.31)
где
- элемент матрицы
, обратной по отношению к ковариационной матрице
.
Условное математическое ожидание
представляет собой линейную функцию (п —1) переменных
, поэтому поверхность регрессии
на
представляет собой гиперплоскость в
-мерном пространстве.
Условная плотность распределения СВ
, при условии, что
равна
(3.32)
Вероятность попадания случайной точки
в n – мерный прямоугольный параллелепипед Rn со сторонами, параллельными координатным осям выражается через функцию Лапласа:
(3.33)
где
— координаты границ прямоугольного параллелепипеда Rn в направлении оси
— м. о. и с к о- случайной величины
, Ф0 (z)—функция Лапласа.
Если нормально распределенные СВ независимы (не коррелированы) и при этом
, то их плотность распределения может быть записана в виде:
(3.34)
которая называется канонической (простейшей) формой нормального закона системы п СВ
Найдем уравнение
-мерного гиперэллипсоида равной плотности, в который попадает случайная точка
. Уравнение гиперэллипсоида можно получить из условия:
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza8/5619850552368.files/image645.png)
откуда
(3.35)
При п = 2 получаем уравнение эллипса равной плотности в декартовой прямоугольной системе координат на плоскости ![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza8/5619850552368.files/image649.png)
(3.36)
Центр этого эллипса находится в начале координат, его полуоси равны: ![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza8/5619850552368.files/image653.png)
Найдем вероятность попадания СВ
в область
, ограниченную эллипсом (3.36).
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza8/5619850552368.files/image659.png)
Для вычисления интеграла перейдём к полярной системе координат
:
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza8/5619850552368.files/image663.png)
Якобиан этого преобразования
Тогда
. При этом уравнение эллипса преобразуется в уравнение окружности радиуса
. Следовательно
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza8/5619850552368.files/image670.png)
Лекция 4. Числовые характеристики и законы распределения функций случайных величин. Характеристические функции. Линеаризация функций случайных величин
1. Числовые характеристики функций случайных величин. Если
— дискретная или непрерывная случайная величина с известным законом распределения и
где
— неслучайная функция, то математическое ожидание и дисперсия случайной величины
в случае, если они существуют, могут быть найдены по формулам
(4.1)
Аналогичные формулы имеют место и для всех прочих начальных и центральных моментов распределения случайной величины
, которая является неслучайной функцией
. Таким образом, для вычисления числовых характеристик неслучайной функции случайной величины не надо знать закона распределения зависящей от X случайной величины Y, а достаточно знать закон распределения случайного аргумента X. Сформулированное правило естественно обобщается на функции от большего числа случайных переменных. Например, если
, то
(4.2)
Если существуют соответствующие моменты, то справедливы следующие свойства математического ожидания и дисперсии:
- Для любых случайных величин
- свойство линейности. (4.3)
- Для любых случайных величин
(4.4)
где ![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza8/5619850552368.files/image690.png)
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza8/5619850552368.files/image692.png)
-
(4.5) -
- неравенство Коши-Буняковского. - Если
и
независимы, то
(4.6)
Свойство 1 может быть записано в более общей форме в матричных обозначениях:
(4.7)
где X — случайный n-мерный вектор-столбец,
— неслучайный
-мерный вектор-столбец, компоненты которого равны математическим ожиданиям случайных компонент вектора X,
А, В и С — постоянные матрицы порядков соответственно ![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza8/5619850552368.files/image707.png)
Воспользуйтесь поиском по сайту: