Линеаризация функций случайных величин.
Рассмотренный выше метод нахождения числовых характеристик функций случайных величин без определения закона распределения этих функций применим в основном к линейным функциям. На практике очень часто встречаются случаи, когда исследуемая функция случайных величин хотя и не является строго линейной, но практически мало отличается от линейной и при решении задачи может быть приближенно заменена линейной. Это связано с тем, что во многих практических задачах случайные изменения фигурирующих в них величин выступают как незначительные «погрешности», накладывающиеся на основную закономерность. Вследствие сравнительной малости этих погрешностей обычно фигурирующие в задаче функции, не будучи линейными во всем диапазоне изменения своих аргументов, оказываются почти линейными в узком диапазоне их случайных изменений. Действительно, из математики известно, что любая непрерывная дифференцируемая функция в достаточно узких пределах измененияаргументов может быть приближенно заменена линейной (линеаризована). Ошибка, возникающая при этом, тем меньше, чем уже границы изменения аргументов и чем ближе функция к линейной. Если область практически возможных значений случайных аргументов настолько мала, что в этой области функция может быть с достаточной для практики точностью линеаризована, то, заменив нелинейную функцию линейной, можно применить к последней тот аппарат числовых характеристик, который разработан для линейных функций. Зная числовые характеристики аргументов, можно будет найти числовые характеристики функции, Конечно: при этом мы получим лишь приближенное решение задачи, но в большинстве случаев точного решения и не требуется.
При решении практических задач, в которых случайные факторы сказываются в виде незначительных возмущений, налагающихся на основные закономерности, линеаризация почти всегда оказывается возможной именно в силу малости случайных возмущений. Рассмотрим вначале задачу линеаризации функции одного случайного аргумента. Пусть имеется случайная величина X и известны ее числовые характеристики: mx и Dx. Допустим, что практически возможные значения случайной величины X ограничены пределами Имеется другая случайная величина У, связанная с X функциональной зависимостью:
причем функция Требуется найти числовые характеристики величины Рассмотрим кривую
Учитывая малое отличие прямой (4.9) от функции (4.8) на интервале
К линейной функции (3.10) можно применить известные приемы определения числовых характеристик линейных функций. Так как математическое ожидание аргумента
Дисперсия величины
а СКО
Очевидно, что формулы (4.11), (4.12), (4.13) являются приближенными. Таким образом, чтобы найти математическое ожидание почти линейной функции, нужно в выражение функции вместо аргумента подставить его математическое ожидание. Чтобы найти дисперсию почти линейной функции, нужно дисперсию аргумента умножить на квадрат производной функции в точке, соответствующей математическому ожиданию аргумента. Рассмотрим линеаризацию функции нескольких случайных аргументов.
Имеется система
заданы числовые характеристики системы: математические ожидания и ковариационная матрица Случайная величина
причем функция Для решения задачи подвергнем линеаризации функцию
Разложим функцию (4.15) в ряд Тейлора в окрестности точки Введём обозначение: Тогда зависимость (4.14) можно приближенно заменить линейной зависимостью
Имея в виду, что центрированные аргументы
где Если величины
Формулы (4.18)-(4.20) находят широкое применение в практических задачах. В некоторых задачах практики возникает сомнение в применимости метода линеаризации в связи с тем, что диапазон изменений случайных аргументов не настолько мал, чтобы в его пределах функция могла быть с достаточной точностью линеаризована. В этих случаях для проверки применимости метода линеаризации и для уточнения полученных результатов может быть применен метод, основанный на сохранении в разложении функции не только линейных членов, но и некоторых последующих членов более высоких порядков и оценке погрешностей, связанных с этими членами- Пример Расстояние
Рис. 1
измеряется угол
Линейный размер объекта X, видимый из точки О, в зависимости от его случайного поворота может изменяться в пределах от 8 до 12 м; угол
Решение. Применяя метод линеаризации, имеем Линейный размер
Результат измерения угла
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|