 |
Определение продольных сил
|
|
|
|
Метод сечений позволяет определять продольную силу в поперечном сечении любого силового участка. Стержень рассекают воображаемой плоскостью перпендикулярно его продольной оси, мысленно отбрасывают одну из образовавшихся частей, а действие на оставшуюся часть заменяют неизвестной продольной силой N (рис. 1,а). Далее составляют единственное уравнение равновесия оставшейся части å Z = 0.
Из этого уравнения определяют значение N, т.е. продольная сила в любом сечении бруса равна сумме проекций внешних сил, действующих на оставшуюся часть, на направление внешней нормали к сечению, взятой с обратным знаком.
Правило знаков
Силу N принято считать положительной при растяжении, т.е. когда она направлена от сечения. При сжатии, наоборот, продольная сила отрицательна и направлена к сечению.
Эпюра (график) продольных сил дает наглядное представление о законе изменения этих сил на каждом силовом участке, стержня. Эпюра позволяет быстро находить опасные сечения стержня.
Силовой участок стержня – это участок, в котором продольная сила действует по одному определенному закону.
Границами силовых участков стержня являются места приложения внешних сил, включая и реакцию заделки стержня.
рис.1
Напряжения
При центральном растяжении или сжатии в поперечных сечениях стержня возникают равномерно распределенные нормальные напряжения (рис. 1,б), равные отношению продольной силы N к площади поперечного сечения
[Н/м2] = [Па] (1.1)
Эпюра напряжений для стержней постоянного сечения аналогична эпюре продольных сил, а при ступенчатом изменении площади сечения стержней, эпюра напряжений имеет скачки не только в местах приложения внешних сил, но и в местах изменения сечения. Это связано с тем, что напряжение обратно пропорционально площади сечения.
|
|
|
Границами участков при построении эпюры напряжений для стержня переменного сечения являются не только места приложения внешних сил, но и места ступенчатого изменения площади сечения.
Оценка прочности элементов конструкции, испытывающих растяжение или сжатие, производится по наибольшему нормальному напряжению.
Условие прочности, которое требуется для нормальной эксплуатации конструкции, записывается в виде: 
, (1.2)
где 
– допускаемое напряжение (задается в расчетных нормах или в справочниках).
Допускаемые напряжения равны опасным напряжениям sоп, деленным на коэффициент запаса прочности n: 
. (1.3)
Для хрупких материалов за опасные напряжения принимают предел прочности sоп = sв, поэтому 
,
для пластичных материалов – предел текучести sоп = sТ, следовательно,
.
Очевидно, что коэффициент запаса n 1, должен быть больше n 2, так как после появления пластических деформаций стержень еще не разрушается.
Деформации и перемещения
Напряжения, не превосходящие предела пропорциональности, связаны с относительными деформациями законом Гука 
, (1.4)
где 
- относительная деформация;
- абсолютная продольная деформация (удлинение или укорочение участка бруса длиной l с постоянными напряжениями в поперечных сечениях, м;
Е - модуль упругости при растяжении, Па.
Под действием продольных сил происходит удлинение или укорочение силовых участков стержня, а, следовательно, и всего стержня. Если на силовом участке продольная сила и площадь поперечного сечения постоянны, то
,
где 
– длина стержня до деформации, м;
– то же, после деформации.
Подставляя выражения для 
и 
в (1.4), можно получить формулу для определения абсолютного удлинения стержня.
(1.5)
В случае, когда величина силы N изменяется в пределах силового участка по известному закону, деформация участка складывается из деформаций бесконечно-малых участков 
, по длине которых величину силы N можно считать постоянной. Тогда, применяя формулу (1.5) можно записать
|
|
|
. (1.6)
Полная деформация участка 
; (1.7)
Если на участке с постоянным поперечным сечением действует равномерно распределенная продольная погонная нагрузка t 
, то усилие 
от этой нагрузки будет изменяться по закону 
. (1.8)
Подставляя (1.8) в (1.7), получим
(1.9)
где 
- равнодействующая равномерно распределенной погонной нагрузки на данном участке.
Для стержня, имеющего несколько силовых участков, абсолютное изменение длины стержня определяется как алгебраическая сумма деформаций отдельных силовых участков: 
, (1.10)
где 
- абсолютные деформации соответствующих силовых участков стержня, определяемые по формуле (1.5) и (1.9).
Перемещение поперечных сечений стержня вдоль его оси обозначается буквой U и является следствием деформации силовых участков стержня.
Перемещение произвольного сечения стержня равно абсолютному удлинению той части стержня, которая заключена между этим сечением и заделкой. Если известно перемещение 
сечения в начале участка, длиной l, то перемещение 
сечения в конце участка в котором действует нормальная сила 
и, кроме того, по длине участка приложена равномерно распределенная нагрузка, может быть вычислено по формуле
; (1.11)
Знаки у слагаемых определяются соответствием выбранного положительного направления 
и направлением действия сил.
Отсюда следует, что перемещение поперечных сечений стержня может происходить и на участках, не подверженных деформации, а как результат влияния деформации соседних силовых участков. Это основное отличительное свойство перемещения от деформации.
Определяют перемещения по формуле (1.11) и начинают от неподвижного конца, т.е. от заделки.
Пример 1. Стальной стержень (Е = 2×105 МПа), один конец которого жестко защемлен, другой – свободен, находится под действием продольных сил Р и распределенной нагрузки t = 20 кН/м. Продольные силы и нагрузка вызваны взаимодействием стержня с остальными частями механизма, не показанными на схеме. Отдельные участки стержня имеют различную площадь поперечного сечения, F или 2 F (рис.2,а).
|
|
|
Требуется:
1) сделать схематический чертеж бруса по заданным размерам, соблюдая масштаб длин по вертикали;
2) вычислить значения продольной силы N и нормального напряжения s, построить их эпюры;
3) найти перемещение точки В.
Решение
|
|
|
