Дифференциальные уравнения
Рассматриваются дифференциальные уравнения первого порядка (с разделяющимися переменными, однородные, линейные), однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами, задача Коши.
Задача 66. Найти общее решение дифференциального уравнения . Решение. Уравнение, содержащее переменную, функцию этой переменной, а также производные этой функции, называется дифференциальным. Решить дифференциальное уравнение – значит найти функцию у (х), обращающую уравнение в тождество. В данном уравнении можно разделить переменные, то есть с помощью преобразований сделать так, чтобы в одной части было выражение, зависящее только от х, а в другой – только от у. Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными. Перепишем уравнение, используя другое обозначение для производной: . Получим . Разделим переменные, умножив уравнение на выражение . Это приведет к равенству . Проинтегрируем обе части полученного уравнения , вычислим интегралы с помощью формул интегрирования (4) и (2) [приложение 5] и выразим у . Получившееся выражение называется общим решением дифференциального уравнения.
Задача 67. Найти общее решение дифференциального уравнения . Решение. Данное дифференциальное уравнение также относится к уравнениям с разделяющимися переменными и решается аналогично задаче 66. Перепишем уравнение в виде . Разделим переменные, умножив обе части уравнения на : . В результате вычисления интегралов по формулам интегрирования (16) и (8) [приложение 5] получим . Тогда общее решение дифференциального уравнения будет иметь вид .
Задача 68. Найти общее решение дифференциального уравнения
. Решение. Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям первого порядка вида . Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки , где u (x) и v (x) – две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение и , получим , или . Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно (поскольку лишь произведение uv должно удовлетворять исходному уравнению), возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения . При этом исходное дифференциальное уравнение примет вид . Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные , , . Интегрируя, находим , , или (формулы интегрирования (3), (2) [приложение 5]). Взяв в качестве , преобразуем уравнение : , откуда . Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и , , , (формулы интегрирования (1), (2) [приложение 5]). Возвращаясь к функции у, получим общее решение исходного дифференциального уравнения .
Задача 69. Найти общий интеграл дифференциального уравнения Решение. Данное уравнение относится к однородным дифференциальным уравнениям первого порядка вида и решается заменой (здесь – новая функция), приводящей его к уравнению с разделяющимися переменными. Выполняя замену, получим , Исходное уравнение примет вид , Разделяем переменные и интегрируем , , . Согласно формулам интегрирования (15), (3) [приложение 5] имеем , Выполнив обратную замену, получаем решение исходного уравнения, записанное в неявном виде, то есть общий интеграл дифференциального уравнения .
Задача 70. Найти общее решение уравнения . Решение. Данное дифференциальное уравнение относится к однородным линейным дифференциальным уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами
. Этому уравнению соответствует так называемое характеристическое уравнение , от корней k 1 и k 2 которого зависит вид общего решения исходного дифференциального уравнения. При этом 1) если k 1и k 2– действительны и различны (дискриминант D > 0, ), общее решение дифференциального уравнения имеет вид , то есть каждому корню соответствует слагаемое вида ; 2) если k 1и k 2 –действительные и равные (дискриминант D = 0, k 1= k 2 = k), общее решение дифференциального уравнения имеет вид , или ; 3) если k 1и k 2 – комплексные (дискриминант D < 0, ) общее решение дифференциального уравнения в этом случае будет иметь вид . Составляя характеристическое уравнение для заданного дифференциального уравнения , получим . Оно имеет два различных действительных корня k 1= 1 и k 2 = 2 (случай 1). Поэтому общее решение будет записано в виде .
Задача 71. Найти общее решение уравнения . Решение. Согласно теории, изложенной в задаче 70, составим характеристическое уравнение . Оно имеет два равных корня k 1= k 2 = 3 (случай 2). Поэтому общее решение есть , или .
Задача 72. Найти общее решение уравнения . Решение. Согласно теории, изложенной в задаче 70, составим характеристическое уравнение . Дискриминант этого уравнения отрицательный (случай 3) . Это означает, что уравнение имеет комплексные корни , где – мнимая единица, такая, что . Так как , , общим решением будет . Задача 73. Найти общее решение уравнения . Решение. Согласно теории, изложенной в задаче 70, составим характеристическое уравнение , откуда получаем: (корни комплексные – случай 3). Здесь , , значит, общее решение имеет вид .
Задача 74. Найти общее решение дифференциального уравнения . Решение. Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением третьего порядка с постоянными коэффициентами и решается аналогично уравнениям второго порядка (см. задачу 70). Его характеристическое уравнение , или , откуда . Паре корней соответствует решение Корню соответствует решение . Общее решение исходного уравнения есть сумма полученных решений .
Задача 75. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее условиям: , .
Решение. Дифференциальное уравнение вида решается n –кратным последовательным интегрированием: , и т.д. В данном случае , поэтомуинтегрируем два раза. При этом получим (формула интегрирования (2) [приложение 5]) . Подставив начальное условие , найдем константу С 1: , . Тогда уравнение примет вид . Еще раз проинтегрируем: . Подставив начальное условие , найдем константу С 2: , . Значит, частное решение исходного дифференциального уравнения имеет вид .
Задача 76. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее условиям: , . Решение. Данное дифференциальное уравнение решается аналогично задаче 75. Проинтегрировав первый раз, получим (формула интегрирования (4) [приложение 5]). Подставив начальное условие , найдем константу С 1 , . Уравнение примет вид . Еще раз проинтегрируем, получим . Подставив начальное условие , найдем константу : , . Итак, частное решение дифференциального уравнения имеет вид .
ГЛАВА 3
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|