Теория функций комплексной переменной,
Операционное исчисление, Теория вероятностей
Теория функций комплексной переменной
Рассматриваются следующие задачи: действия с комплексными числами; решение уравнений с комплексной переменной; интегрирование функции комплексной переменной. Задача 77. Представить в тригонометрической и показательной форме число Решение. Число задано в алгебраической форме и в общем случае имеет вид
Здесь х и у – соответственно действительная и мнимая части комплексного числа z, а i – мнимая единица (i 2 = −1). Число z изображается на комплексной плоскости точкой с координатами х и у (рис. 7).
Рис.7
Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы связаны соотношениями
где При этом
С другой стороны,
В силу многозначности
Для
поэтому
Так как и число z расположено во второй четверти (рис. 8), получим
Тогда
Рис. 8
Задача 78. Представить в тригонометрической и показательной форме число Решение. Здесь х = 0, у = −2 (см. задачу 77), поэтому
Рис. 9 Итак,
Задача 79. Вычислить Решение. Выполнить действия с комплексными числами − значит представить результат в алгебраической, тригонометрической или показательной формах (см. задачу 77). В данном случае получим алгебраическую форму вида
Задача 80. Вычислить Решение. Возвести комплексное z число в степень n можно по формуле Муавра
где Найдем
Поскольку число z расположено в четвертой четверти (рис. 10), имеем
Рис. 10
Тогда Задача 81. Решить уравнение Решение. Преобразуем уравнение к виду
Тогда и, значит, следует применить формулу Муавра извлечения корня степени n из комплексного числа
Здесь Находим
Так как число w расположено в третьей четверти (рис. 11), то
Рис. 11
Далее получаем
Задача 82. Вычислить Решение. Поскольку i − число (
имеем
Операционное исчисление Рассматриваются задачи: нахождение изображения по заданному оригиналу; нахождение оригинала по заданному изображению, нахождение изображения свертки с применением теоремы Бореля; решение дифференциальных уравнений операционным методом. Задача 83. Найти изображение F(p) для функции-оригинала
Решение. Функция-оригинал f(t) и ее изображение F(p) связаны соотношением
Применение этого равенства приводит к известным формулам изображений элементарных функций, согласно которым
Замечание. На самом деле здесь перечислены изображения элементарных функций, умноженных на единичную функцию Хевисайда Так как изображение суммы оригиналов равно сумме изображений, получаем
l
Задача 84. Найти изображение F(p) для функции-оригинала
Решение. Преобразуем f(t) с помощью формул элементарной математики [приложение 5]:
В результате получим
Теперь можно применить формулы изображений элементарных функций [приложение 6]. Имеем
Задача 85. Найти функцию-оригинал f(t) по заданному изображению
Решение. Воспользуемся формулами связи функций-оригиналов и их изображений [приложение 6]. Получим
Окончательно имеем
Задача 86. Найти изображение свертки функций: 1) Решение. Согласно теореме Бореля свертка (обозначается 1) 2) 3)
Задача 87. Средствами операционного исчисления решить дифференциальное уравнение
Решение. Считая искомую функцию y(t) функцией-оригиналом, обозначим ее изображение Y(p) и найдем изображения левой и правой частей дифференциального уравнения. Согласно формуле дифференцирования оригинала
и с учетом нулевых начальных условий получим
Так как
В результате дифференциальное уравнение, записанное в изображениях, примет вид
Решаем его относительно
Возвращаясь от изображения Y(p) к оригиналу y(t), получим искомое решение дифференциального уравнения
Теория вероятностей
Рассматриваются задачи по темам: алгебра событий; формула полной вероятности; дискретная случайная величина и ее характеристики; непрерывная случайная величина и ее характеристики; распределения случайной величины: биномиальное, нормальное.
Задача 88. Три стрелка стреляют по мишени с вероятностями попадания 0,8, 0,9 и 0,7 соответственно. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень а) попадут все три стрелка; б) не попадет ни один; в) попадет ровно один стрелок; г) попадет хотя бы один стрелок. Решение. Обозначим А 1, А 2 и А 3 − попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелками соответственно, а
События А 1, А 2, А 3 независимы (появление одного не влияет на вероятность появления другого), поэтому вероятность трех попаданий (случай а)) равна произведению вероятностей
События А 1 и
Но тогда
Таким образом, вероятность трех промахов (случай б)) равна
Рассмотрим случай в). Искомое событие − попадет ровно один стрелок − состоит в появлении одного из событий:
Так как событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий, есть их сумма, получим, что искомое событие равно
Слагаемые этой суммы − несовместные события (появление одного из них исключает появление другого), поэтому вероятность суммы равна сумме вероятностей. Следовательно, вероятность того, что попадет ровно один стрелок, равна
Рассматривая случай г), обозначим В − событие, состоящее в том, что в мишень попадет хотя бы один стрелок, т.е. при одном залпе будет от одного до трех попаданий. Если к событию В добавить событие, означающее все три промаха, получим полную группу событий с вероятностью, равной 1. Но тогда событие, означающее три промаха, есть Итак,
Задача 89. В ящике содержится 10 деталей, изготовленных на заводе №1, 15 деталей, изготовленных на заводе №2 и 20 деталей, изготовленных на заводе №3. Вероятности брака для трех заводов соответственно равны 0,1, 0,3 и 0,2. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется бракованной. Решение. Обозначим А − событие, состоящее в том, что взятая деталь бракованная. Возможны три предположения (гипотезы): Н 1 − деталь изготовлена на заводе №1, Н 2 − деталь изготовлена на заводе №2, Н 3 − деталь изготовлена на заводе №3. Вероятности этих гипотез равны
По формуле полной вероятности (с учетом всех гипотез)
Здесь Но тогда
Задача 90. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения
Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х) случайной величины Х. Решение. Найдем р 2 из условия
Получим
Для дискретной случайной величины
Поэтому
Задача 91. Дискретная случайная величина задана законом распределения
Найти х 2, если М (Х) = 2,9. Решение. Так как
В формулу математического ожидания подставим известные значения и найдем х 2
Задача 92. Задана плотность распределения f(x) непрерывной случайной величины Х: Найти Решение. Вероятность попадания непрерывной случайной величины на отрезок [ a, b ] определяется формулой
Поскольку на отрезке [2, 4] плотность распределения f(x) задана различными аналитическими выражениями, интеграл заменяется суммой интегралов и тогда
Задача 93. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения Найти М (Х), D (Х). Решение. Найдем сначала плотность распределения f(x) непрерывной случайной величины Х по формуле
Получим Математическое ожидание М (Х) и дисперсия D (Х) непрерывной случайной величины X вычисляются по формулам
Получаем
Задача 94. Случайная величина Х − число появлений события А в n испытаниях − распределена по биномиальному закону с математическим ожиданием М (Х) = 4 и дисперсией D (Х) = 3. Найти вероятность появления события А в каждом испытании. Решение. Для случайной величины, распределенной по биномиальному закону, справедливы формулы М (Х) = np, D (Х) = npq, где р − вероятность появления события А в каждом испытании, а q – вероятность противоположного события, q =1 − p. Имеем: np = 4, npq = 3. Разделив второе равенство на первое, найдем q:
Задача 95. Найти дисперсию случайной величины Х − числа появлений события А в 20 независимых испытаниях, если вероятности появления события в каждом испытании одинаковы, а М (Х) = 2. Решение. Так как испытания независимы, а вероятность появления события А в каждом испытании одинакова, то случайная величина распределена по биномиальному закону. Но тогда М (Х) = np, D (Х) = npq. Из первого равенства найдем
Тогда значит,
Задача 96. Детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределяются по нормальному закону с параметрами М (Х) = 2 см, D (Х) = 0,25 см2. Деталь считается годной, если ее диаметр не менее 1,5 см и не более 3 см. Определить процент годных и процент бракованных деталей.
Решение. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х, распределенная по нормальному закону, примет значение, принадлежащее отрезку
где
Поэтому или, с учетом нечетности функции Лапласа,
(значения функции Лапласа можно найти в таблице приложений – см. библ. список [2, 3]). Полученный результат означает, что процент годных деталей составит 81,85%, бракованных − 18,15%.
Задача 97. Дальность полета снаряда распределена нормально с математическим ожиданием 200 м и средним квадратическим отклонением 10 м. Определить интервал, в который согласно «правилу Решение. Если в формуле вероятности попадания нормально распределенной случайной величины на отрезок
Это и есть «правило С учетом данных задачи получим
Приложение 1
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|