 |
Задача о составлении рациона питания
|
|
|
|
Требуется составить ежедневный рацион питания животного на основе имеющихся видов кормов так, чтобы общая стоимость использованных кормов была минимальной. При этом животное не должно получать менее определённого количества питательных веществ, например, таких, как жиры,углеводы, белки, витамины и т.п.
Каждый вид корма содержит разную комбинацию этих веществ. Известна цена единицы веса каждого корма.
Пусть имеется п различных кормов (продуктов) Р 1, Р 2 ,..., Рп иперечень из т необходимых питательных веществ S 1, S 2,..., Sm. Обозначим через аij содержание (в весовых единицах) i -го питательного вещества в единице j -го корма, а через bi минимальную суточную потребность животного в i -м веществе. Через хj обозначим количество каждого вида корма в ежедневном рационе. Очевидно, что хj ≥0.
Условия задачи можно представить в виде таблице 2.
Таблица 2 – Данные задачи.
| Питательное вещество | aij | Суточная потребность | |||
| P 1 | Р 2 | … | Рп | ||
| S 1 | a 11 | a 12 | … | a 1 n | b 1 |
| S 2 | a 21 | a 22 | … | a 2 n | b 2 |
| … | … | … | … | … | … |
| Sm | am 1 | am 2 | … | a m n | bm |
| Стоимость 1 кг корма | с 1 | с 2 | … | сп | - |
Для первого вида питательного вещества неравенство-ограничение примет вид a 11 x 1+ a 12 x 2+…+ a 1 n xn ≥ b 1.
Аналогичные неравенства будут и для остальных питательных веществ. Следует учитывать также, что все значения хj≥ 0, j= 1, 2,..., п.
Общие затраты на весь рацион питания животного можно найти на основе линейной функции
F(X) = с 1 х 1+ с 2 х 2 +... + сп хп.
Необходимо эту функцию минимизировать.
Итак, математическая модель задачи составления рациона питания запишется в виде
F(X) = с 1 х 1+ с 2 х 2 +... + сп хп→ min,
Рассмотрим варианты составления математической модели для следующих задач.
|
|
|
Задача 1. (Планирование производства.)
Некоторое предприятие выпускает три типа продукции П1,П2,П3 двумя технологическими способами S 1и S 2. Количество продукции j- гoвида (j = 1,2,3), произведенного i -м способом (i = 1,2) за единицу времени, задано таблице 3.
Необходимо так организовывать производство, чтобы получить наибольшую прибыль при реализации продукции по указанной стоимости.
Таблица 3 – Данные задачи.
Математическая модель задачи
Обозначим через хi j — время, затраченное на изготовление продукции П j (j = 1,2,3) i -м способом. Тогда план производства будет иметь вид:
| S 1 | х 11 | х 12 | х 13 |
| S 2 | х 21 | х 22 | х 23 |
При этом продукции 1-го вида будет выпущено 20 х 11+ 30 х 21, 2-го вида 25 х 12+20 х 22, 3-го вида 30 х 13+ 15 х 23. Стоимость всей продукции (обозначим ее за F)равна 5(20 х 11+ 30 х 21)+3(25 х 12+20 х 22)+6(30 х 13+ 15 х 23) и она должна быть максимальной. Но при этом есть ограничения по времени: х 11+ х 12 + х 13 ≤10, х 21+ х 22 + х 23 ≤8 и очевидно, все хi j ≥ 0.
Окончательно получаем математическую модель задачи
F =5(20 х 11+ 30 х 21)+3(25 х 12+20 х 22)+6(30 х 13+ 15 х 23) → max,
Задача 2. (Задача о смеси.)
Известно, что при правильном питании человек должен получать в день не менее 20 единиц витамина А, не менее 15 единиц витамина В. Содержание этих витаминов в одной единице каждого из продуктов П1, П2, П3 задано таблицей 4. Составить наиболее дешевый рацион питания. Все данные занесены в таблицу 4.
Таблица 4 – данные исходной задачи.
 Витамины
Продукты
| А | В | Стоимость одной единицы П i |
| П1 | |||
| П2 | |||
| П3 | |||
| ≥20 | ≥15 |
Математическая модель задачи
Пусть хi — количество продукта П i, потребляемого в день (i =1,2,3), тогда стоимость всех продуктов (обозначим F)будет равна F= 25 х 1 +30 x 2 + +20 х 3. При этом количество витамина А равно 4 x 1 + 5 х 2 + 2 х 3 , витамина В — 5 x 1 + 2 х 2 + 6 х 3, получаем математическую модель:
F =25 х 1 +30 x 2 +20 х 3 → min,
Задача 3. (О раскрое материала.)
|
|
|
Для изготовления некоторого изделия требуется 2 планки по 2 м, 3 — по 2,5 м и одна трехметровая. Для этого используют 100 досок по 7 м длиной. Как распилить доски, чтобы получить возможно большее число комплектов?
Математическая модель задачи
Рассмотрим возможные варианты распиливания досок.
Таблица 5 – Варианты распиливания досок.
 |
| № варианта Длина планки | ||||||
| 2 м | ||||||
| 2,5 м | ||||||
| 3 м |
Обозначим через хi — количество досок, распиленных i -м способом, тогда заготовок по 2 м получится 3 x 1+ 2 х 2 + 2 х 3 + х 4, по 2,5 м — x 2 + 2 x 4 + х 5; по 3 м — х 3 + x 5 + 2 x 6. Обозначим через к — число полученных изделий, тогда
3 x 1+ 2 х 2 + 2 х 3 + х 4 = 
или 2(3 x 1+ 2 х 2 + 2 х 3 + х 4 )= к,
x 2 + 2 x 4 + х 5 = 
или 3(x 2 + 2 x 4 + х 5 )= к,
х 3 + x 5 + 2 x 6= к. Исключим к.
2(3 x 1+ 2 х 2 + 2 х 3 + х 4 )= 3(x 2 + 2 x 4 + х 5 ) или 6 x 1+ х 2 + 4 х 3 -4 х 4 -3 х 5 =0,
2(3 x 1+ 2 х 2 + 2 х 3 + х 4 )= х 3 + x 5 + 2 x 6 или 6 x 1+ 4 х 2 + 3 х 3 +2 х 4 - х 5-2 х 6=0.
Окончательно получим математическую модель
к=х 3 + x 5 + 2 x 6→ max,
все хi ≥0.
Мы видим, что различные экономические задачи приводят к одному и тому же типу математических задач. Задачи такого типа решаются методами линейного программирования.
|
|
|
