Постановка задачи векторной оптимизации. Принципы оптимальности
Стр 1 из 6Следующая ⇒ Н.Б. Баева, Ю.В. Бондаренко, Т.В. Азарнова, И.Л. Каширина
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА ВЕКТОРНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
Учебное пособие
Издательский дом ВГУ
Утверждено учебно-методическим советом факультета прикладной математики, информатики и механики 10 января 2017 г., протокол № 5
Рецензент: декан математического факультета ВГУ, доктор физико-математических наук, профессор А.Д. Баев
В пособии излагается теоретический и практический материал, затрагивающий основные разделы векторной оптимизации. Приведены различные алгоритмы решения задач векторной оптимизации, обоснованные доказательством теорем и проиллюстрированные примерами. Учебное пособие подготовлено на кафедре математических методов исследования операций факультета ПММ Воронежского государственного университета. Рекомендуется для студентов, обучающихся по направлениям: "Прикладная математика и информатика", "Бизнес-информатика"
СОДЕРЖАНИЕ
Постановка задачи векторной оптимизации. Принципы оптимальности
Рассмотрим задачу принятия решений, в которой качество альтернатив множества
и называется задачей векторной оптимизации (ЗВО), а каждая из функций Если в исходной задаче критерии однонаправлены, т.е. все критерии, например, стремятся к максимуму (или к минимуму), то задача называется однородной. В противном случае исходная задача – неоднородная задача оптимизации. Если Если С учетом того, что каждая оптимизированная задача может быть переписана в эквивалентной постановке как задача максимизации критериев, будем для удобства рассматривать задачу векторной максимизации (ЗВМ), записывая её в следующем виде:
Введем в рассмотрение ряд определений, связанных с понятием решения ЗВО. Определение 1. Вектор
Другими словами, идеальное решение задачи (2) является одновременно решением всех M частных задач:
Требования, предъявленные к функциям
множество решений исходной задачи. Однако на практике критерии
1.Принцип Слейтера Определение 2. Точка Множество оптимальных по Слейтеру точек Sl называют множеством слабо эффективных точек. Другими словами, если ввести множество
Замечание 1. Любое решение каждой частной задачи (3) является точкой, оптимальной по Слейтеру.
2. Принцип Парето Определение 3. Точка Множество Парето – оптимальных точек Pr называют множеством эффективных точек. Другими словами, если ввести множество
Замечание 2. Отметим, что в множестве решений каждой частной задачи (3) существует непустое подмножество точек, являющихся Парето – оптимальными, что обеспечивает существование решение задачи выбора с принципом Парето. Более того, если решение каждой частной задачи С понятием решения ЗВО связано понятие доминирования.
Доминирование. Недоминируемые критериальные векторы
Рассмотрим задачу векторной максимизации (2). Каждой точке Множество Таким образом, каждой задаче векторной максимизации (2) может быть поставлена в соответствие задача:
Для установления аналогий между решениями задач (2) и (4) введем в рассмотрение следующие определения. Пусть Определение 4. Вектор Определение 5. Вектор Определение 6. Критериальный вектор Иначе Определение 7. Критериальный вектор В рамках введенных определений Парето – оптимальное множество задачи (2) состоит из таких точек Замечание 3. Соотношения Рассмотрим следующие примеры. Пример 1. Представить графически достижимую область в пространстве критериев для задачи: Решение. Допустимое множество задачи представлено на рисунке 1. Вершинами многогранника
Каждая точка X множества
Рассмотрим отображение где Отображение F является линейным оператором, и поэтому образ любой точки Найдем координаты точки Аналогично: Достижимое множество в пространстве критериев Q изображено на рисунке 2.
Пример2. Вектор
Пример 3. Рассмотрим задачу: Найти множество оптимальных по Парето и по Слейтеру точек. Решение. Допустимая область задачи и векторы – градиенты целевых функций представлены на рисунке 3. Точка Упражнения к § 1
№ 1. Представьте графически достижимую область в пространстве критериев 1)
2)
3) № 2. Для каждого из перечисленных векторов определите слабо и сильно доминирующие векторы:
№ 3. Определите, какие точки из таблицы эффективны.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|