 |
Статистические оценки числовых характеристик случайных величин
|
|
|
|
При решении многих практических задач функция распределения случайной величины не может быть определена теоретическим путем.
В таких случаях используются полученные в опыте результаты наблюдений над случайными величинами, позволяющие при достаточном их числе и надлежащей обработке:
- определить с известной степенью уверенности вид функции распределения;
- оценить числовые характеристики функции распределения.
Множество, включающее все однородные объекты, например:
- возможные сроки совершения преступления;
- уголовные дела, находящиеся у следователя;
- жители района города и др.
образуют генеральную совокупность.
Наряду с генеральной совокупностью объектов, можно рассматривать генеральную совокупность их признаков.
В соответствии с числом объектов генеральные совокупности могут быть:
- конечными (количество жителей района города);
- бесконечными (сроки совершения преступления).
Часть генеральной совокупности, отобранная наугад для наблюдений, как мы уже знаем, называется случайной выборкой или выборкой (случайной совокупностью).
Результаты наблюдений образуют эмпирическое (статистическое, выборочное) распределение.
Обработка результатов измерений позволяет вычислить числовые характеристики эмпирического распределения (выборки), называемые статистическими оценками (иначе – эмпирическими или выборочными характеристиками).
Под оцениванием понимается процесс, а под оценкой – число, полученное в результате этого процесса.
В силу случайности выборки ее характеристики являются случайными величинами, отличаясь этим от достоверных числовых характеристик теоретического распределения, которому подчиняется генеральная совокупность.
|
|
|
Статистические оценки представляют собой функции результатов наблюдений.
В соответствии с законом больших чисел статистические оценки могут служить приближенными оценками соответствующих числовых характеристик теоретического распределения при весьма общих предположениях о его характере.
Наблюдения, на основе которых вычисляются статистические оценки, должны производиться над однородными объектами в одинаковых условиях.
Пропорции в выборке должны соответствовать пропорциям в генеральной совокупности. Такую выборку называют репрезентативной (представительной). Для обеспечения репрезентативности выборка должна производиться без невольной или сознательной предвзятости по отношению к отдельным частям генеральной совокупности.
Среди возможных статистических оценок более приемлемы оценки, удовлетворяющие требованиям:
- состоятельности;
- несмещенности;
- эффективности.
Состоятельность оценки.
Пусть x1, x2,…,xn – результаты n наблюдений. Статистическая оценка θ*(x1, x2,…,xn) называется состоятельной, если она сходится по вероятности к оцениваемой теоретической характеристике θ при неограниченном увеличении числа наблюдений.
Несмещенность оценки.
Статистическая оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемой характеристике независимо от числа наблюдений, т.е. при любом n:
M[θ*(x1, x2,…,xn)]=θ
Если это равенство выполняется при n→∞, то оценку называют асимптотически несмещенной.
Эффективность оценки.
Несмещенная статистическая оценка называется эффективной, если она имеет наименьшую возможную дисперсию.
Если объект, отобранный для наблюдения, не возвращается в генеральную совокупность, то выборка называется бесповторной (или безвозвратной). В противном случае выборку называют повторной (с возвратом).
|
|
|
Различие повторных и бесповторных выборок необходимо только для конечных генеральных совокупностей.
Методы статистического оценивания распределения случайной величины полностью применимы к оцениванию вероятностей случайных событий.
Результаты n независимых наблюдений над объектами одной генеральной совокупности можно рассматривать как значения n независимых одинаково распределенных случайных величин или как n независимых значений одной случайной величины.
Упорядоченные по величине результаты наблюдений называют вариационным рядом или рядом распределения.
Условия наблюдения могут быть такими, что независимо от воли наблюдателя определяется не точный результат, а интервал округления (разряд), в который этот результат попадает.
Выбор величины интервала округления может производиться и по желанию исследователя (наблюдателя) для облегчения обработки результатов наблюдения.
Всем значениям случайной величины, попавшей в i -ый интервал округления (разряд), приписывается значение xi, соответствующее середине интервала округления (разряда).
Число разрядов m выбирают обычно в пределах 10-15. При малом объеме выборки число интервалов округления (разрядов) приходится уменьшать до 5-6.
При выборе интервала округления (числа разрядов) и его границ следует учитывать следующие рекомендации:
1. Характерные особенности эмпирического распределения не должны исчезнуть из-за слишком малого числа разрядов и не должны быть искажены случайными колебаниями частот при слишком большом числе разрядов.
2. Разряды, по возможности, должны быть равны по длине, если колебания плотности распределения не очень велики.
3. Области сгущения результатов наблюдений (если они существуют) должны быть по возможности ближе к середине разрядов.
4. Возможно меньшее число наблюдений должно совпадать с границами разрядов.
|
|
|
