 |
Разложение многочленов на неприводимые множители.
|
|
|
|
Пусть f(x) ÎP[x], степень f(x) ≥ 1, очевидно, что a │ f(x), a ÎP, a ≠ 0.
Определение. Многочлен f(x) называется приводимым над полем Р, если в P[x] существуют делители f(x), степени которых больше нуля, и ≠ cm.f, т.е.: f(x)=f1(x)f2(x), причём deg f2 <deg f, deg f1<deg f.
Многочлен f(x) называется неприводимым над полем Р в противном случае, т.е. один из многочленов f1(x) или f2(x) нулевой степени, если f(x)=f1(x)f2(x).
Замечание. Неприводимость многочлена f(x) ÎP[x] зависит от поля, над которым он рассматривается, и есть в этом смысле понятие относительное.
Пример: Многочлен x^2 +1 над полем R неприводим, но над полем C он приводим.
Действительно: x^2+1=(x-i)(x+i), т.е. приводим над C.
Простейшие свойства неприводимых многочленов:
1) Всякий многочлен первой степени неприводим (это следует из определения)
f(x)=f1(x)f2(x), deg f(x)=1 Þ deg f1(x)=0 или 1, deg f2(x)=1 или 0;
2) Если f(x) неприводим над полем Р, то а f(x), где a ÎP, a ≠ 0, тоже неприводим над полем Р;
3) Если f(x) неприводим над полем Р и g(x) ÎP[x] — некоторый многочлен над P, то (f(x), g(x))=1 либо f(x) │ g(x).
< Рассмотрим НОД многочленов (f(x), g(x))=d(x).Значит d(x) │ g(x) и d(x) │ f(x) Þ d(x) равен 1, т.е. (f(x), g(x))=1
или 
, т.е. f(x) / g(x). >
4) Если произведение многочленов f(x)g(x) делится на неприводимый многочлен h(x), то хотя бы один из множителей f(x) или g(x) делится на h(x) < Пусть h(x) ∤ f(x) Þ по свойству 3 (h(x),f(x))=1 Þ
Þ 
и 
, ибо h(x) │ f(x)g(x) и h(x) │ g(x)h(x). >
Теорема 1 (о разложении многочлена на неприводимые множители). Всякий многочлен f(x)ÎP[x] степени ≥1 можно представить в виде
произведения неприводимых над P многочленов. Разложение многочлена на неприводимые множители определено однозначно с точностью до многочлена нулевой степени и порядка следования сомножителей, то есть
|
|
|
если имеется два разложения f(x) на неприводимые множители:
f(x)= φ1(x)… φ S(x) = ψ1(x)… ψ k(x), то s=k и при подходящей нумерации множителей: ψi =ai φi i = 1,…,s 0 ≠aiÎP.
< Сначала докажем существование:
Если f(x) — неприводим, то в разложении будет один множитель (всё ясно).
Если f(x) приводим, то он представляется в виде f(x) = f1(x)f 2(x). Если f1(x) и f 2(x) — неприводимые, то существование есть.
Если f1(x) или f 2(x) приводим, то с ним поступаем аналогично, как с f(x) и получаем дальше разложение f(x). Этот процесс на каком-то месте оборвётся, так как степени многочленов, которые мы получаем, всё время убывают. Это и доказывает первую часть теоремы.
Докажем вторую часть теоремы — однозначность.
Доказательство будем проводить индукцией по степени f(x). Если степень f(x) равна 1, то всё сводится к свойству 1.Утверждение считаем верным, если степень f(x) < n.Если f(x) неприводим, то доказывать нечего.
Если f(x) приводим, то возьмём разложение:
f(x)= φ1(x)… φ S(x) = ψ1(x)… ψ k(x).
Очевидно, что φ1 делит произведение
φ1 | ψ1(x)… ψ k(x).
Следовательно, по свойству 4 φ1 | ψi Þ по свойству 2 ψi = aφ1.
После, может быть, перенумерации ψi можно считать ψ1 и Ψ1 =a1φ1.
φ1(x)… φ S(x) = ψ1(x)… ψ k(x)
Сократим обе части равенства на φ1. Получим
φ 2(x)… φ S(x) = ψ2(x)… ψ k(x) (1)
Обе части равенства (1) представляет собой многочлен степени меньше n. А для многочленов степени меньше n мы имеем индуктивное предположение, из которого следует, что s-1 = k-1 и Ψi =aiφi i=2, …,k после, может быть, перенумерации. >
Замечание1. Мы добьемся полной однозначности в каноническом смысле, если в разложении многочлена на неприводимые множители из каждого сомножителя вынесем его старший коэффициент:
f(x) = a p1(x)… p k(x); а – ст. к. f(x). ст. к. pi = 1 (2)
Определение. Если неприводимый многочлен p(x) встречается в разложении (2) несколько раз, то он называется кратным множителем.
|
|
|
Например: если он встречается s раз, то он s-кратным. После этого разложение (2) допускает запись вида (3):
f(x) = a pk1 (x)… p km (x); pi ≠ pj (3)
Разложение (3) называют каноническим разложением многочлена на неприводимые. Оно определено однозначно (с точностью до порядка сомножителей).
Замечание 2. Задача о разложении многочлена на неприводимые над произвольным полем до сих пор не решена. Во многих случаях она решена. Мы приведем решение в случаях P=R;С.
Пусть f(x) =р^k(x)f1(x), где неприводимый многочлен р(x) не делит f1(x).
Тогда р(x) называют неприводимым множителем кратности к для многочлена f(x)
Теорема 2.Пусть р(x) — к-кратный неприводимый множитель для многочлена f(x). Тогда он является k-1-кратным неприводимым множителем для его производной.
Доказательство. Возьмем производную f(x):
f’(x)=k p(^k-1)(x) p'(x)f1(x)+p(x)^k f1'(x) = p(^k-1)(x) (k p'(x) f1(x)+ p(x) f1(x)).
Очевидно, что многочлен в скобках не делится на p(x), что и доказывает теорему.
КОРНИ МНОГОЧЛЕНА.
Пусть f(x) — некоторый многочлен над фиксированным полем P. f(x)=an x^n+…+a0ÎP[x]. И пусть c — некоторое число (не обязательно из P). Если мы подставим вместо x число c, то получим f(c) = an c^n+…+a0 — значение многочлена при x = c. Если f(x)=g(x), то f(c)=g(c).
Определение 1.Если f(c)=0, то с называют корнем многочлена f(x) или корнем уравнения f(х)=0.
Разделим с остатком f(x) на (x-c): f(x)=(x-c)q(x)+r(x), где r(x)=0 и r(x)=aÎ, a¹0, то есть r(x) в любом случае число.
Следующая теорема позволяет найти остаток от деления f(x) на многочлен (x-a) не выполняя самого деления.
Теорема (Безу). Остаток от деления многочлена f(x) на многочлен (x-a) равен значению этого многочлена при x=a.
Следствие. а является корнем f(x) тогда и только тогда,когда (x-а) делит f(x).
< Þ f(a)=0 (т.к. а-корень). Значит по теореме Безу (x-a) делит
f(x) Ü f(x)=(x-a)f1(x). Очевидно f(a)=0. >
Это позволяет свести нахождение всех корней многочлена к нахождению делителя первой степени. Это можно сделать при помощи схемы Горнера.
Схема Горнера:
Пусть f(x)= a0 x^n +…+ an. Разделим многочлен f(x) на x-a:
f(x)=(x-a) f 1(x)+r (1)
где
f1 (x)=b0 x(^n-1)+…+(b) (n-1).
Сравним коэффициенты при одинаковых степенях в равенстве (1):
x^n: a 0=b0
x(^n-1): a 1=b1-a b0
x(^n-2): a 2=b2-a b1
…
x^0: a n = r -a (b)(n-1).
Отсюда имеем:
b0= a 0
b1= a 1 + a b0
b2= a 2+ a b1 (2)
… …
r= a n +a (b)(n-1).
Для запоминания вычисления коэффициентов применяют схему Горнера. Делают таблицу следующего вида:
|
|
|
| a0 a1 a2 … an | |
| a | a0 a1+b0 c … |
В первой строке этой таблицы выписывают один за другим все коэффициенты f(x), а во второе слева — элемент a. Коэффициенты частного f1(x) и остаток записывают последовательно во второй строке, согласно равенствам (2).
???.
|
|
|
