 |
Тема 2. Арккосинус числа. Тема3. Арктангенс числа, арккотангенс числа. Тема 4.Уравнение sinх = а. х = (-1)n arcsin a +Пn, nÎZ
|
|
|
|
Тема 2. Арккосинус числа
Определение: Арккосинусом числа а℮ [-1; 1] называется такое число α ℮ [0; π ], косинус которого равен а.
Обозначение: arccosa, 0≤ arccosa ≤ π
Определение: arccosa = α ↔ cosα = а
Свойства: 1) cos(arccosa)=а
| а | 
|  (  )
| 
| ||
| arccosa | 
| 
| 
| 
|
2) arccos(cosα )=α
Таблица значений arccosa
3) arccos(-a)=π - arccosa
| а | -
| -
| -
| -1 |
| arccosa | 
| 
| 
| π |
Пример: Вычислить:
· 2аrccos0+3arccos1=2∙ +3∙ 0= 
+0=π
· 12аrccos -3arccos(- )=12∙ -3∙ =2π -2π =0
Задание 1: Вычислить:
1) 4аrccos(- )+6arccos(- )
2) 5аrccos1-3arccos(- )
3) 2аrccos -5arccos(-1)
Задание 2: Соединить стрелками те функции, которые имеют одинаковое значение: 
 | ||||
| ||||
|
|
|
|
|
|
|
|
 |
Задание 4: Найти ошибку:
· аrccos (- 
)+3аrcsin(-1)= +3∙ π = + 
Задание 5: Закончить решение:
1) 4arcsin(- )+ arcos(- )=4∙ (- )+ =- 
+ =….
2) arccos +4 arccos -arcsin = +4∙ - =….
3) arcsin +4 arcsin(- )-arcсos = +4∙ (-…. )-….. =…..
Задание 6: Вычислить:
1) arcsin +arccos (- )
2) arcsin(- )+6 arccos1
3) 3arcsin0+ 5arccos(-1)+ arcsin(- )+ arccos(- )+3arccos
Задание 7: Выполнить по аналогии:
| 1) | cos(arccos )=sin =
| 1) | cos(arccos )=
|
| 2) | sin(arccos )=sin( )=
| 2) | tg(arccos )=
|
| 3) | Cos(2arccos )=cos(2∙ )=
=cos =0
| 3) | cos(3аrccos )=
|
| 4) | sin(6аrccos )= sin(6∙ )=
= sinπ =0
| 4) | tg(2аrccos )=
|
Тема3. Арктангенс числа, арккотангенс числа
Определение: Арктангенсом числа а℮ (- ; ), называется такое число α, тангенс которого равен а.
Обозначение: arctga, - < arctga <
Определение: arctga = α ↔ tgα = а
Свойства: 1) tg(arctga)=а
| а |  (  )
| 
| ||
| arctga | 
|
| 
|
2) arctg(tgα )=α
|
|
|
Таблица значений arctga
3) arctg(-a)=- arctga
| а | - (- )
| -1 | -
|
| arctga | -
| -
| -
|
Пример: Вычислить:
Тема 4. Уравнение sinх = а
Определение: Тригонометрическим уравнением называется такое уравнение, в котором неизвестное содержится под знаком тригонометрической функции.
Замечание: Поскольку каждому значению тригонометрической функции соответствует неограниченное множество углов, то тригонометрическое уравнение, если не сделано каких-либо оговорок, имеет бесчисленное множество решений.
Правило: Самый общий метод решения тригонометрических уравнений состоит в том, что различные тригонометрические функции, входящие в уравнение, выражают через какую-нибудь одну из них и, принимая функцию за неизвестное, решают полученное алгебраическое уравнение, в результате чего приходят к одному из так называемых простейших тригонометрических уравнений вида:
sin x = a, cos x = b, tg x = c, ctg x = d
Общая формула корней уравнения sin x = a
х = (-1)n arcsin a +Пn, nÎ Z
Частные случаи
| sin x = 0 | х = Пn, n Î Z |
| sin x = 1 | х = + 2 Пn, n Î Z
|
| sin x = -1 | х = - + 2Пn, n Î Z
|
Тема 5. Уравнение cosх = a
Общая формула корней уравнения cos x = a
х = ± arccos a + 2Пn, nÎ Z
Частные случаи
| cos x = 0 | x= + Пn, n Î Z
|
| cos x = 1 | х = 2Пn, n Î Z |
| cos x = -1 | х = П + 2 Пn, n Î Z |
Тема 6. Уравнение cosх = a, tgх = а, ctgх = а
Общая формула корней уравнения tg x = a
х = arctg a + Пn, nÎ Z
Задание 2: Решить тригонометрическое уравнение:
|
Тема 7. Решение тригонометрических уравнений,
приводимых к квадратным
Общая формула корней уравнения sin x = a
х = (-1)n arcsin a +Пn, nÎ Z
Общая формула корней уравнения cos x = a
х = ± arccos a + 2Пn, nÎ Z
Общая формула корней уравнения tg x = a
х = arctg a + Пn, nÎ Z
Пример: Закончить решение тригонометрического уравнения
|
|
|
Решение:
2
1
…
Задание 4: Решить тригонометрическое уравнение:
1. ; 6. ;
2. ; 7. ;
3. ; 8. ;
4. ; 9. ;
5. ; 10. .
Тема 8. Решение однородных относительно sinx и cosx тригонометрических уравнений
| Однородные тригонометрические уравнения и уравнения, сводящиеся к ним
| 
 
 (? ) Делим обе части уравнения на 
 ,  , 
Затем применяем метод введения новой переменной.
|
Уравнение  , не является однородным. Но
А это уже однородное тригонометрическое уравнение.
| |
Если  (или  ) входит множителем во все члены уравнения, то уравнение можно решать методом разложения левой части на множители, если в правой нуль.
|
|
|
|
