Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

 и уравнений, приводимых к ним




 и уравнений, приводимых к ним

 

 

 

 

Уравнение вида asinx+bcosx=c, a2+b2≠ 0

1)

А это уже однородное тригонометрическое уравнение второй степени

относительно  и .           (? ) Делим на

2) а) ОДЗ:

         

б)      ОДЗ:

ОДЗ уравнения б) уже, чем ОДЗ уравнения а). Поэтому необходимо проверять, не являются ли числа ,  корнями данного уравнения.

3)

, где , .

Тогда ,

                             

    Решений нет , . Если , , то  находится из условия  или Если , то Если , то

Задание 4: Решить тригонометрическое уравнение:

1.   ;

2.   ;

3.  

Тема 9. Решение тригонометрических уравнений

методом группировки и разложения на множители

Пример1: Решить тригонометрическое уравнение

2 sin x cos 2x – 1 + sin x – 2cos 2x = 0

Решение:

Способом группировки разложим левую часть исходного уравнения на множители:

2 cos 2x (sin x – 1) + (sin x –1) = (sin x – 1)(2 cos 2x + 1).

Уравнение (sin x – 1)(2 cos 2x + 1) = 0 равносильно совокупности уравнений (sin x – 1) = 0,

2 cos 2x+ 1 = 0.

a) sin x – 1 = 0, sin x = 1, x = + 2 Пn, n Î Z;

б) 2 cos 2x + 1 = 0, cos 2x = - , 2x = ± + 2Пn, n Î Z, x = ± + Пn, n Î Z

Ответ: x = + 2Пn, n Î Z, x = ± + Пn, n Î Z

Пример 2: Решить тригонометрическое  уравнение: sin x + cos x = 1.

Решение: Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0,

преобразуем и разложим на множители выражение в левой части уравнения:

Пример 3: Решить тригонометрическое уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Решение: cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0,

sin x · cos x – sin 2 x = 0,

 

sin x · ( cos x – sin x ) = 0,

Пример 4: Решить тригонометрическое уравнение:

cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1.

Решение: cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x,

cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0,

               1). cos 4x = 0, 2). sin 3x = 0, 3). sin x = 0,

Задание 1: Решить тригонометрическое уравнение:

1. sin x – sin 2x = 0

2.

3.

4.

 

Тема 10. Решение тригонометрических уравнений,

решаемые с помощью формул сложения, понижения степени и другим

Пример 1: Решить уравнение: 2 sin x · sin 3x = cos 4x.

Решение: Преобразуем левую часть в сумму:

cos 4x – cos 8x = cos 4x,

cos 8x = 0,

8x =  + π k , kÎ Z

x =  + , kÎ Z

Ответ: x =  + , kÎ Z

 

Задание 1: Закончить решение:

 

           по формуле

 или

                                         ……………………………………………..

Задание 2: Решить тригонометрическое уравнение:

1.

2.

3.

4.

 

 

Тема 11. Решение простейших тригонометрических неравенств

Простейшими тригонометрическими неравенствами называются неравенства вида:

Тригонометрические неравенства могут быть решены по следующему общему правилу.

1. Найти область допустимых значений неизвестной (ОДЗ).

2. Записать соответствующее уравнение, заменив знак неравенства знаком равенства.

3. Решить уравнение, полученное в предыдущем пункте.

4. На числовой оси отметить ОДЗ, корнями уравнения разбить ОДЗ на промежутки.

5. На каждом интервале выбрать одну пробную точку и подставить ее в исходное неравенство. Если неравенство выполняется, то данный интервал необходимо включить в ответ. Если неравенство не выполняется, то интервал следует исключить из рассмотрения.

6. Сделать отбор характерных для неравенства точек – корней уравнения и концов промежутков ОДЗ. Если исходное неравенство нестрогое, то корни уравнения следует записать в ответ, в противном случае – отбросить. Концы промежутков ОДЗ проверить подстановкой в исходное неравенство. Подходящие из них включить в ответ.

Решение неравенств с синусами

Неравенства вида sin t < a

0< a< 1 -1< a< 0
t1 = arcsin a t2 = - П - arcsin a t2 < t < t1 -П- arcsin a< t< arcsin a t1 = - arcsin a t2 = - П + arcsin a t2 < t < t1 -П+arcsin a< t< -arcsina

Учитывая, что arcSsin(-|a|) = - arcsin |a| и периодичность функции

получаем для любого |a|≤ 1 рещение:

-П-arcsin a + 2Пn < t < arcsin a + 2Пn, nÎ Z.

Неравенства вида sin t ≥ a

t1 = arcsin a t2 = П - arcsin a t1 ≤ t ≤ t2 t1 = - arcsin a t2 = П + arcsin a t1 ≤ t ≤ t2

Аналогично объединяем два решения:

arcsin a + 2Пn ≤ t ≤ П - arcsin a +2Пn, nÎ Z.

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...