Обсуждение методов порядка 4
Подойдем теперь вплотную к определению 4-стадийных методов Рунге-Кутты (2.3.1) с таким расчетом, чтобы они имели порядок 4. Для этого необходимо вычислить производные порядков 1, 2, 3 и 4 от при и сравнить их с производными точного решения. Теоретически при известных правилах дифференциального исчисления это совершенно тривиальная задача. Однако с использованием (2.3.2) получаются следующие условия:
Эти вычисления очень утомительны и емки. Их громоздкость очень быстро растет для более высоких порядков. Лемма 1. Если
(2.4.2)
то уравнения d), g) и h) являются следствием остальных. Доказательство. Покажем это для g). C помощью уравнений c) и e) получим:
Для уравнений d) и h) процедура аналогична. Покажем, что в нашем случае условие
является и необходимым. Лемма 2. При (2.4.2) следует из уравнений (2.4.1) и уравнений (2.3.2). Для доказательства потребуется следующая лемма 3. Лемма 3. Пусть и суть 3x3-матрицы, такие что
, (2.4.3) тогда либо , либо , где . Доказательство. Если , то из следует . Если же , то существует вектор , такой, что , и поэтому . Но тогда из (2.4.3) следует, что должен быть пропорционален вектору . Докажем теперь предыдущую лемму. Введем величины для . Итак, надо доказать, что . Введем теперь матрицы
(2.4.4)
Перемножение этих матриц с использованием условий (2.4.1) дает
, (2.4.5)
причем
Далее последний столбец не может быть нулевым, так как из того, что , следует
в силу условия h). Таким образом, из последней леммы следует, что . Последнее тождество вытекает из равенства , которое является следствием условий a) и b). Теорема.
Если выполнены предположения , то уравнения (2.4.1) эквивалентны следующим:
(2.4.6) Доказательство. Из j) и h) следует, что
. (2.4.7)
Отсюда, в частности, вытекает, что в силу k) . Решение уравнений (2.4.6). Уравнения a)-e) и k) выражают тот факт, что коэффициенты и являются весами и узлами квадратурной формулы четвертого порядка при и . В силу (2.4.7) возможны следующие четыре случая:
1) . (2.4.8)
Тогда уравнения a)-e) образуют невырожденную линейную систему для определения . Эта система имеет решение:
Остальные три случая с двойными узлами основаны на правиле Симпсона:
2) ; 3) ; 4) .
После того, как выбраны и , получаем из уравнения j), и тогда два уравнения f) и i) образуют линейную систему для определения и . Определитель этой системы
,
согласно (2.4.7) не равен нулю. Наконец, из того, что находим , и . Особенно популярными стали два варианта, которые выбрал Кутта в 1901 году. Это случай 3) при и случай 1) при . Оба метода обобщают классические квадратурные формулы, сохраняя их порядок. Первый из них более популярен, однако второй более точен. Правило 3/8 Классический метод Рунге-Кутты Оптимальные» формулы
Предпринималось много исследования, чтобы выбрать возможно «лучшие» из множества различных формул Рунге-Кутты 4-го порядка. Первой попыткой в этом направлении был очень популярный метод, который в 1951 году предложил Гилл. Он преследовал цель уменьшить на сколько возможно количество требуемой машинной памяти («регистров»). Этот метод широко использовался на первых компьютерах в пятидесятых годах и представляет поэтому исторический интерес. Гилл заметил, что больше всего машинной памяти нужно при вычислении , когда «требуются регистры для хранения в какой-либо форме» величин
.
Ясно, что для третьей стадии будет достаточно трех регистров, если подлежащие хранению величины линейно зависимы, то есть если
. Гилл заметил, что это условие удовлетворяется для методов типа 3), если . Получающийся метод можно в таком случае переформулировать следующим образом:
В настоящее время производительность компьютеров очень сильно возросла по сравнению с машинами 50-х годов, что привело к прекращению использования данного метода на практике при расчетах. Справедливости ради стоит отметить, что этот метод все-таки рационально употреблять в случаях, когда требуется решать системы дифференциальных уравнений очень высокой размерности со сложными функциями.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|