Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Обсуждение методов порядка 4

 

Подойдем теперь вплотную к определению 4-стадийных методов Рунге-Кутты (2.3.1) с таким расчетом, чтобы они имели порядок 4. Для этого необходимо вычислить производные порядков 1, 2, 3 и 4 от  при  и сравнить их с производными точного решения. Теоретически при известных правилах дифференциального исчисления это совершенно тривиальная задача. Однако с использованием (2.3.2) получаются следующие условия:

 

 


Эти вычисления очень утомительны и емки. Их громоздкость очень быстро растет для более высоких порядков.

Лемма 1.

Если

 

 (2.4.2)

 

то уравнения d), g) и h) являются следствием остальных.

Доказательство.

Покажем это для g). C помощью уравнений c) и e) получим:

 

 

Для уравнений d) и h) процедура аналогична.

Покажем, что в нашем случае условие

 

 

является и необходимым.

Лемма 2.

При  (2.4.2) следует из уравнений (2.4.1) и уравнений (2.3.2).

Для доказательства потребуется следующая лемма 3.

Лемма 3.

Пусть  и  суть 3x3-матрицы, такие что

 

, (2.4.3)


тогда либо , либо , где .

Доказательство.

Если , то из  следует . Если же , то существует вектор , такой, что , и поэтому . Но тогда из (2.4.3) следует, что  должен быть пропорционален вектору .

Докажем теперь предыдущую лемму. Введем величины  для . Итак, надо доказать, что . Введем теперь матрицы

 

 (2.4.4)

 

Перемножение этих матриц с использованием условий (2.4.1) дает

 

, (2.4.5)

 

причем

 


Далее последний столбец  не может быть нулевым, так как из того, что , следует

 

 

в силу условия h). Таким образом, из последней леммы следует, что . Последнее тождество  вытекает из равенства , которое является следствием условий a) и b).

Теорема.

Если выполнены предположения , то уравнения (2.4.1) эквивалентны следующим:

 

 (2.4.6)

Доказательство.

Из j) и h) следует, что

 

. (2.4.7)

 


Отсюда, в частности, вытекает, что в силу k) .

Решение уравнений (2.4.6). Уравнения a)-e) и k) выражают тот факт, что коэффициенты  и  являются весами и узлами квадратурной формулы четвертого порядка при  и . В силу (2.4.7) возможны следующие четыре случая:

 

1) . (2.4.8)

 

Тогда уравнения a)-e) образуют невырожденную линейную систему для определения . Эта система имеет решение:

 

 

Остальные три случая с двойными узлами основаны на правиле Симпсона:

 

2) ;

3) ;

4) .

 


После того, как выбраны  и , получаем  из уравнения j), и тогда два уравнения f) и i) образуют линейную систему для определения  и .

Определитель этой системы

 

,

 

согласно (2.4.7) не равен нулю. Наконец, из того, что  находим ,  и .

Особенно популярными стали два варианта, которые выбрал Кутта в 1901 году. Это случай 3) при  и случай 1) при . Оба метода обобщают классические квадратурные формулы, сохраняя их порядок. Первый из них более популярен, однако второй более точен.

Правило 3/8

 

Классический метод Рунге-Кутты

 

Оптимальные» формулы

 

Предпринималось много исследования, чтобы выбрать возможно «лучшие» из множества различных формул Рунге-Кутты 4-го порядка.

Первой попыткой в этом направлении был очень популярный метод, который в 1951 году предложил Гилл. Он преследовал цель уменьшить на сколько возможно количество требуемой машинной памяти («регистров»). Этот метод широко использовался на первых компьютерах в пятидесятых годах и представляет поэтому исторический интерес. Гилл заметил, что больше всего машинной памяти нужно при вычислении , когда «требуются регистры для хранения в какой-либо форме» величин

 

.

 

Ясно, что для третьей стадии будет достаточно трех регистров, если подлежащие хранению величины линейно зависимы, то есть если

 

.


Гилл заметил, что это условие удовлетворяется для методов типа 3), если . Получающийся метод можно в таком случае переформулировать следующим образом:

 

 

В настоящее время производительность компьютеров очень сильно возросла по сравнению с машинами 50-х годов, что привело к прекращению использования данного метода на практике при расчетах. Справедливости ради стоит отметить, что этот метод все-таки рационально употреблять в случаях, когда требуется решать системы дифференциальных уравнений очень высокой размерности со сложными функциями.

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...