Описание программы « Ilya RK -4 версия 1.43»

Программа для нахождения интегральной кривой, удовлетворяющей поставленной задаче Коши написана на языке высокого уровня Borland C ++ 3.1. Программа состоит из четырех функций. При помощи директив препроцессора #define определены максимальный шаг и величина локальной максимальной погрешности, а также номер версии программы. Рассмотрим подробнее работу программы в комплексе.

Функция title () предназначена для печати на экране названия программы.

Функция do _ step () совершает один шаг Рунге-Кутты и возвращает полученное значение. В качестве входных параметров в нее передается текущее положение, значение искомой функции, вычисленное на предыдущем шаге и величина шага, с которым требуется произвести шаг.

Функция f () задает правую часть дифференциального уравнения, левая часть дифференциального уравнения равна . В качестве аргументов функции передается  и .

Функция main () – основная функция программы. У пользователя запрашивается точка, начиная с которой необходимо отобразить решение задачи Коши, точка, правая граница интегрирования и значение в левой точке, через которое обязана проходить искомая интегральная кривая. После этого программа начинает вычислительный процесс, выводя полученные значения на экран в виде списка и в текстовый файл “ rk 4. txt ” на диск. После того, как будет достигнута правая граница интегрирования, процесс остановится и пользователю будет предложено нажать на любую клавишу для того, чтобы построить график. Для построения графика программа переключается в графический режим. График масштабируется с учетом того, чтобы он всегда был виден на экране вне зависимости от того, как высоко или низко от оси абсцисс он лежит. Кроме того, программа постарается сделать его максимально наглядным. Для этого будут проведены пунктирные линии, соответствующие минимальному и максимальному значению интегральной кривой, левому и правому концам интегрирования, а также значению интегральной кривой в указанной точке . Для того, чтобы пользователь мог легко ориентироваться на графике, рядом с пунктирными линиями пишутся координатные значения с точностью до двух десятичных знаков. Как показали многочисленные тесты, проведенные на компьютере на базе процессора Intel Pentium 4B с тактовой частотой 2.4 ГГц, построение графика происходит значительно быстрее, чем первичный расчет с выводом на экран и записью в файл. В этом легко убедиться[5], если задать довольно большой отрезок интегрирования, например [-100,100].

Программа применяет следующий метод Рунге-Кутты четвертого порядка.

Для получения более точных результатов и возможно даже увеличения скорости работы в определенных ситуациях программа использует автоматическое управление длиной шага. Производятся одна итерация с шагом , а затем две итерации подряд с шагом , начиная с позиции x_cur. Разность между первым и последним упомянутым здесь результатами, взятая по модулю, считается локальной погрешностью. Если она больше, чем наперед заданная величина , то шаг делится пополам и тело цикла повторяется.

Для того, чтобы программа могла «разгоняться» после уменьшения шага, предусмотрено условие увеличения длины шага. Оно состоит в том, что если погрешность между вторым из двух значений, вычисленных с шагом  и значением, вычисленным с шагом , не превосходит , то шаг увеличивается вдвое и тело цикла повторяется. Отметим, что величина шага не может превосходить значения MAXSTEP, которое определяется директивой препроцессора #define. Если ни одно из двух описанных выше условий не выполняется, это означает, что шаг оптимален и программа производит вычисление значения функции с записью его в файл и отображением на экране.

Программа снабжена механизмом защиты от сбоев – в случае, если интегрируемая функция терпит разрыв (ее нельзя интегрировать на данном участке), программа останавливается и выдается сообщение о невозможности продолжать. Работоспособность этого механизма проверена на некоторых разрывных функциях, таких как тангенс и др.

Заключение

В работе детально рассмотрен метод Рунге-Кутты четвертого порядка с автоматическим выбором длины шага, приведены необходимые теоретические сведения, освещены альтернативные методы и их эффективность.

Был разработан алгоритм программного модуля, позволяющий автоматически менять величину шага интегрирования при решении задачи Коши в зависимости от требуемой точности, что является непременным требованием, предъявляемым ко всем хорошим современным программам данного класса, написано приложение, решены примеры.